2025揚(yáng)州中學(xué)高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．圓的圓心和半徑分別是（）
A．，1B．，3C．，2D．，2
2．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為（）
A．B．C．D．
3．橢圓x225+y216=1的焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，若，則（）
A．B．C．D．
4．已知雙曲線的離心率大于實(shí)軸長(zhǎng)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．兩平行直線與之間的距離為（）
A．B．C．D．
6．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（）
A．1或B．1C．3D．或3
7．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足|MF|=2，∠OFM=60°，則（）
A．3B．4C．6D．8
8．如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與該雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)（在線段上），⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓，其半徑分別為、，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．0，+∞
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列說法正確的是（）
A．若，且直線不經(jīng)過第二象限，則，.
B．方程（）表示的直線都經(jīng)過點(diǎn).
C．，直線不可能與軸垂直.
D．直線的橫、縱截距相等.
10．已知曲線．點(diǎn)，，則以下說法正確的是（）
A．曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．曲線C存在點(diǎn)P，使得
C．直線與曲線C沒有交點(diǎn)
D．點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q向作垂線，垂足分別為A，B，則.
11．已知集合.由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論，正確的有（）
A．白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點(diǎn)間距離的最大值為.
B．在陰影部分任取一點(diǎn)，則到坐標(biāo)軸的距離小于等于3.
C．陰影部分的面積為.
D．陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為 .
13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
若，則該橢圓的離心率為 .
14．已知為曲線y=1+4-x2上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是為的中點(diǎn).
(1)求中線的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程.
16．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值.
17．已知，是拋物線：上的兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)若斜率為的直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，求的最小值．
18．橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)直線與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù).
①證明：動(dòng)直線恒過軸上的某個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
②求△OMN面積的最大值.
19．定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”
(1)求點(diǎn)P所在曲線的方程.
(2)已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.
①求直線的方程.
②若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中試卷
高二數(shù)學(xué)（參考答案） 2024.11
參考答案：
8．【詳解】設(shè)，
∴S△AF1F2=12r18+2m=4+mr1，S△ABF2=12r22m+2p=m+pr2，
.在△與△中：，
即，，
當(dāng)雙曲線的斜率為正的漸近線時(shí)，取最大，此時(shí)，，
當(dāng)與軸重合時(shí)，取最小，此時(shí)，經(jīng)上述分析得：，.故選：C.
10．【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線，即；
當(dāng)時(shí)，曲線，即；不存在；
時(shí)，曲線，即；
時(shí)，曲線，即；
畫出圖形如右：對(duì)于A，由圖可得A錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，方程是以為上下焦點(diǎn)的雙曲線，
當(dāng)時(shí)，曲線C存在點(diǎn)P，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，一三象限曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線C沒有交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線，
則由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，
所以，
又點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，
代入曲線方程可得，故D正確；故選：CD.
11．【詳解】對(duì)于A，由于，令時(shí)，整理得，解得，“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)，
白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點(diǎn)間距離的最大值為，故A正確；
對(duì)于B，由于，整理得：，
所以，所以到坐標(biāo)軸的距離為或，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以到坐標(biāo)軸的距離小于等于3，故B正確；
對(duì)于C，由于，令時(shí)，整理得，
解得，因?yàn)楸硎疽詾閳A心，半徑為的圓，
則，且，則在x軸上以及x軸上方，
故白色“水滴”的下半部分的邊界為以為圓心，半徑為1的半圓，陰影的上半部分的外邊界是以為圓心，半徑為3的半圓，
根據(jù)對(duì)稱可知：白色“水滴”在第一象限的邊界是以以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，則，即AN所對(duì)的圓心角為，同理AM所在圓的半徑為2，所對(duì)的圓心角為，陰影部分在第四象限的外邊界為以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，可得，DG所對(duì)的圓心角為，
同理DH所在圓的半徑為2，所對(duì)的圓心角為，
故白色“水滴”圖形由一個(gè)等腰三角形，兩個(gè)全等的弓形，和一個(gè)半圓組成，
所以它的面積是.
軸上方的半圓（包含陰影和水滴的上半部分）的面積為，
第四象限的陰影和水滴部分面積可以看作是一個(gè)直角三角形和一個(gè)扇形的面積的和，
且等于，
所以陰影部分的面積為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，軸上方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，
軸下方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，
所以陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD.
12． 13．
【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)椋裕?br>由橢圓定義可知，，
由，可得，所以．
在Rt△F1BF2中，由，可得，
即得，故得．故答案為：.
14．
【詳解】曲線即，
由于在曲線上，令，
則，
（其中，，不妨設(shè)），，又，，當(dāng)時(shí)取得最大值
15．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>故的方程是，即；
（2）因?yàn)橹本€的斜率，
所以經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，即.
16．【詳解】（1）由題意知，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
（2）記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，
可得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為.故的最小值為.
17．【詳解】（1）∵，是拋物線C：上的兩點(diǎn)，
∴，則，整理得，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得．故拋物線C方程為y2=6x．
（2）由（1）知C的焦點(diǎn)為，故直線l的方程為，
聯(lián)立，得，必有，
設(shè)，，則，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．
18．【詳解】（1）橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為，即得焦距為，
∵橢圓過點(diǎn)，∴，
∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①設(shè)直線：（），
由，得，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以，
因?yàn)橹本€和的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，
所以，所以.
即，所以，
因?yàn)椋?，所以?dòng)直線恒過軸上的定點(diǎn)
②由①知，，且，即，
又S△OMN=12?OT?y1-y2=12?4?y1+y22-4y1y2
令，則，
∴S△OMN=24?n3n+162≤24?n2?3n?162=24?n4?3n?16=3（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）
∴S△OMNmax=3.
19．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，所以，即，
所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點(diǎn)P所在曲線的方程為
（2）①因?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則
所以，即點(diǎn)P在圓上，
則P是圓和的交點(diǎn).
因?yàn)镻，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，
所以直線即為圓和的公共弦所在直線，
兩圓方程相減可得，故直線的方程為.
②設(shè)的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為.
直線的方程為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)S到直線的距離為，
則，所以圓H的方程為.
假設(shè)軸上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，.
若軸平分，則，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以x1+x2=-23kk2+1,x1x2=-89k2+1，代入①并整理得，此式對(duì)任意的都成立，所以.
故軸上存在點(diǎn)，使得軸平分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
C
C
A
C
BD
CD
題號(hào)
11

答案
ABD

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