高二數(shù)學(xué)
2024.11
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 圓圓心和半徑分別是（ ）
A. ，1B. ，3C. ，2D. ，2
【答案】C
【解析】
【分析】直接由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，即可得到答案．
【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑為2.
故選：C.
2. 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以直線的斜率為，
故選：A.
3. 橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用橢圓的定義表達(dá)式，代值計(jì)算即得.
【詳解】由橢圓方程：，可知，
因，故.
故選：D.
4. 已知雙曲線的離心率大于實(shí)軸長(zhǎng)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式求解即可.
【詳解】由題意得，解得．
故選：A.
5. 兩平行直線與之間的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；
【詳解】由題意知，所以，
則化為，
所以兩平行直線與之間的距離為．
故選：C．
6. 已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 1或B. 1C. 3D. 或3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圓方程可得，確定或，再根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱可得圓心在直線上即可求解.
【詳解】因?yàn)槭菆A的方程，
所以，解得或，
又因?yàn)閳A的圓心為，
且圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以，
即，解得，（舍）或，
故選：C.
7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足，，則（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義及焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離列方程求參數(shù)即可.
【詳解】
過分別向軸和準(zhǔn)線做垂線,垂足分別為，
根據(jù)拋物線定義，有，
所以.
故選：A
8. 如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與該雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)（在線段上），⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓，其半徑分別為、，則的取值范圍是：（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，進(jìn)而可得.可求得，進(jìn)而求得的范圍即可.
【詳解】設(shè)，
，，
.在△與△中：，
即：，
，
當(dāng)雙曲線的斜率為正的漸近線時(shí)，取最大，此時(shí)，，
當(dāng)與軸重合時(shí)，取最小，此時(shí)，
經(jīng)上述分析得：，
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題，考查焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓，解題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的性和圓的切線的性質(zhì)得到的范圍，數(shù)形結(jié)合的思的應(yīng)用.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，且直線不經(jīng)過第二象限，則，
B. 方程（）表示的直線都經(jīng)過點(diǎn)
C. ，直線不可能與軸垂直
D. 直線的橫、縱截距相等
【答案】BD
【解析】
【分析】將直線方程化為斜截式，從而得到的不等式組，求解可判斷A，利用直線過定點(diǎn)的求法可判斷B，直接舉例可判斷C，求出直線的橫、縱截距可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以可化為?br>若直線不經(jīng)過第二象限，則即，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線方程可整理為，
由得
所以直線恒過定點(diǎn)2,1，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)與軸垂直，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線的橫、縱截距均為，故正確．
故選：BD．
10. 已知曲線．點(diǎn)，，則以下說法正確的是（ ）
A. 曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 曲線C存在點(diǎn)P，使得
C. 直線與曲線C沒有交點(diǎn)
D. 點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q向作垂線，垂足分別為A，B，則
【答案】CD
【解析】
【分析】分的零的大小討論，得到曲線方程，并畫出圖形，由對(duì)稱性可得A錯(cuò)誤；由雙曲線的定義可得B錯(cuò)誤；由漸近線方程可得C正確；由點(diǎn)到直線的距離公式可得D正確；
【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線，即；
當(dāng)時(shí)，曲線，即；不存在；
時(shí)，曲線，即；
時(shí)，曲線，即；
畫出圖形如下：

對(duì)于A，由圖可得A錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，方程是以為上下焦點(diǎn)的雙曲線，
當(dāng)時(shí)，曲線C存在點(diǎn)P，使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，一三象限曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線C沒有交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)，設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線，
則由點(diǎn)到直線的距離公式可得
，，
所以，
又點(diǎn)Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，
代入曲線方程可得，故D正確；
故選：CD.
11. 已知集合.由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論，正確的有（ ）
A. 白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點(diǎn)間距離的最大值為；
B. 在陰影部分任取一點(diǎn)，則到坐標(biāo)軸的距離小于等于3；
C. 陰影部分的面積為；
D. 陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由“水滴”形狀性質(zhì)可得其與軸的上下兩交點(diǎn)之間的距離最大，可得A正確；利用圓的參數(shù)方程以及三角函數(shù)值域可得B正確；由陰影面積形狀并利用割補(bǔ)法求出陰影部分面積，可判斷C錯(cuò)誤；利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得D正確.
【詳解】對(duì)于A，由于，令時(shí)，整理得，
解得，“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記為A，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)，
白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點(diǎn)間距離的最大值為，故A正確；
對(duì)于B，由于，整理得：，
所以，所以到坐標(biāo)軸的距離為或，
因?yàn)椋?br>所以，，
所以到坐標(biāo)軸的距離小于等于3，故B正確；
對(duì)于C，由于，令時(shí)，整理得，
解得，
因?yàn)楸硎疽詾閳A心，半徑為的圓，
則，
且，則在x軸上以及x軸上方，
故白色“水滴”的下半部分的邊界為以為圓心，半徑為1的半圓，陰影的上半部分的外邊界是以為圓心，半徑為3的半圓，
根據(jù)對(duì)稱可知：白色“水滴”在第一象限的邊界是以以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，則，即所對(duì)的圓心角為，
同理所在圓的半徑為2，所對(duì)的圓心角為，
陰影部分在第四象限的外邊界為以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，可得，所對(duì)的圓心角為，
同理所在圓的半徑為2，所對(duì)的圓心角為，
故白色“水滴”圖形由一個(gè)等腰三角形，兩個(gè)全等的弓形，和一個(gè)半圓組成，
所以它的面積是.
軸上方的半圓（包含陰影和水滴的上半部分）的面積為，
第四象限的陰影和水滴部分面積可以看作是一個(gè)直角三角形和一個(gè)扇形的面積的和，
且等于，
所以陰影部分的面積為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，軸上方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，
軸下方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，
所以陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長(zhǎng)為，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題有三個(gè)關(guān)鍵，其一是寫出圓的參數(shù)方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，其二是利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，其三是利用三角函數(shù)的值域求出圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo).
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由離心率公式可得，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及斜率公式即可求解.
【詳解】由題意，即，可得，
所以漸近線的斜率為，所以兩條漸近線的傾斜角為和，
所以雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為.
故答案為：.
13. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為________．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，利用橢圓定義和題設(shè)條件推得，再借助于，利用勾股定理計(jì)算即可求得離心率.
【詳解】
如圖，設(shè)，因?yàn)椋裕?br>由橢圓定義可知，，
由，可得，所以．
在中，由，可得，
即得，故得．
故答案為：.
14. 已知為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)曲線方程，三角換元，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)后求最值即可.
【詳解】曲線即，
由于在曲線上，令，
則，
（其中，，不妨設(shè)），
，又，，
當(dāng)時(shí)取得最大值.
故答案為：
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)是為的中點(diǎn).
（1）求中線方程；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式方程即可得解；
（2）先求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>故的方程是，即；
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€的斜率，
所以經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為，即.
16. 已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值.
【答案】（1）
（2）23
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式列和離心率列方程求，即可得到雙曲線的方程；
（2）根據(jù)雙曲線的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可.
【小問1詳解】
由題意知，解得，
則，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，
可得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
且最小值為.故的最小值為.
17. 已知，是拋物線：上的兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）若斜率為的直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）．
（2）
【解析】
【分析】（1）由點(diǎn)在曲線上，建立方程組解出對(duì)應(yīng)參數(shù)值，得到拋物線方程；
（2）由（1）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達(dá)定理建立關(guān)系式，再利用基本不等式求出最小值.
【小問1詳解】
∵，是拋物線C：上的兩點(diǎn)，
∴，則，整理得，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，故拋物線C方程為；
【小問2詳解】
由（1）知C的焦點(diǎn)為，故直線l的方程為，
聯(lián)立，得，必有，
設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，則，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．

18. 橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)直線與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù).
①證明：動(dòng)直線恒過軸上的某個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）①證明見解析，定點(diǎn)；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)及橢圓過的點(diǎn)列方程求解即可；
（2）①先聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理再計(jì)算斜率和即可；②結(jié)合定點(diǎn)列出面積再換元得出面積的最大值.
【小問1詳解】
橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)也為，即得焦距為，
∵橢圓過點(diǎn)，
∴，
∴，，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線：（），
由，得，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以
，
因?yàn)橹本€和的斜率互為相反數(shù)，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因?yàn)椋?，所以?dòng)直線恒過軸上的定點(diǎn)
②由①知，，
且，即，
又
令，則，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）
∴
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求面積最值的關(guān)鍵點(diǎn)是令換元得出再結(jié)合基本不等式計(jì)算即可得出最值.
19. 定義：M是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，N是圓C外一點(diǎn)，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點(diǎn)”；若G同時(shí)是圓E和圓F的“黃金點(diǎn)”，則稱G為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點(diǎn)”
（1）求點(diǎn)P所在曲線的方程.
（2）已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”.
（?。┣笾本€的方程.
（ⅱ）若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點(diǎn)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，在y軸上是否存在一點(diǎn)W，使得y軸平分？若存在，求出點(diǎn)W的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)新定義建立方程，化簡(jiǎn)即可判斷軌跡為圓，得出軌跡方程；
（2）（?。└鶕?jù)P，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，可知為兩圓的公共弦，作差即可得解；
（ⅱ）由題意求出圓H的方程為，假設(shè)存在，根據(jù)及根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)為是否對(duì)任意成立，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)P為圓A的“黃金點(diǎn)”，
所以，即，
所以點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，
故點(diǎn)P所在曲線的方程為
【小問2詳解】
（?。┮?yàn)镻為圓B的“黃金點(diǎn)”，則
所以，即點(diǎn)P在圓上，
則P是圓和的交點(diǎn).
因?yàn)镻，Q均為圓“”的“鉆石點(diǎn)”，
所以直線即為圓和公共弦所在直線，兩圓方程相減可得，
故直線的方程為.
( ii )設(shè)的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為.
直線的方程為，得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)S到直線的距離為，
則，所以圓H的方程為.
假設(shè)軸上存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，.
若軸平分，則，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式對(duì)任意的都成立，所以.
故軸上存在點(diǎn)，使得軸平分.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在（2）( ii )中，求出圓圓H的方程為后，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，能夠轉(zhuǎn)化為，再由斜率公式化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入后得，題目對(duì)運(yùn)算能力要求很高，屬于難題.

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