江蘇省揚州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．圓的圓心和半徑分別是（）
A．，1B．，3C．，2D．，2
2．經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（）
A．B．C．D．
3．橢圓x225+y216=1的焦點為為橢圓上一點，若，則（）
A．B．C．D．
4．已知雙曲線的離心率大于實軸長，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．兩平行直線與之間的距離為（）
A．B．C．D．
6．已知圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)（）
A．1或B．1C．3D．或3
7．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為，若拋物線上一點滿足|MF|=2，∠OFM=60°，則（）
A．3B．4C．6D．8
8．如圖，雙曲線的左右焦點分別為、，過的直線與該雙曲線的兩支分別交于、兩點（在線段上），⊙與⊙分別為與的內(nèi)切圓，其半徑分別為、，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．0，+∞
二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列說法正確的是（）
A．若，且直線不經(jīng)過第二象限，則，.
B．方程（）表示的直線都經(jīng)過點.
C．，直線不可能與軸垂直.
D．直線的橫、縱截距相等.
10．已知曲線．點，，則以下說法正確的是（）
A．曲線C關(guān)于原點對稱 B．曲線C存在點P，使得
C．直線與曲線C沒有交點
D．點Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點，過點Q向作垂線，垂足分別為A，B，則.
11．已知集合.由集合中所有的點組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如美麗的“水滴”.給出下列結(jié)論，正確的有（）
A．白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為.
B．在陰影部分任取一點，則到坐標軸的距離小于等于3.
C．陰影部分的面積為.
D．陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若雙曲線的離心率為2，則其兩條漸近線所成的銳角的大小為 .
13．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，過點的直線交橢圓于A、B兩點，
若，則該橢圓的離心率為 .
14．已知為曲線y=1+4-x2上的動點，則的最大值為 .
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知△ABC的頂點坐標是為的中點.
(1)求中線的方程；(2)求經(jīng)過點且與直線平行的直線方程.
16．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為為雙曲線的右焦點，且點到直線的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點，點為雙曲線左支上一點，求的最小值.
17．已知，是拋物線：上的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若斜率為的直線經(jīng)過的焦點，且與交于，兩點，求的最小值．
18．橢圓與橢圓：有相同的焦點，且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓的右焦點為，設(shè)動直線與坐標軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點，且直線和的斜率互為相反數(shù).
①證明：動直線恒過軸上的某個定點，并求出該定點的坐標.
②求△OMN面積的最大值.
19．定義：M是圓C上一動點，N是圓C外一點，記的最大值為m，的最小值為n，若，則稱N為圓C的“黃金點”；若G同時是圓E和圓F的“黃金點”，則稱G為圓“”的“鉆石點”.已知圓A：，P為圓A的“黃金點”
(1)求點P所在曲線的方程.
(2)已知圓B：，P，Q均為圓“”的“鉆石點”.
①求直線的方程.
②若圓H是以線段為直徑的圓，直線l：與圓H交于I，J兩點，對于任意的實數(shù)k，在y軸上是否存在一點W，使得y軸平分？若存在，求出點W的坐標；若不存在，請說明理由.
江蘇省揚州中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中試卷
高二數(shù)學(xué)（參考答案） 2024.11
參考答案：
8．【詳解】設(shè)，
∴S△AF1F2=12r18+2m=4+mr1，S△ABF2=12r22m+2p=m+pr2，
.在△與△中：，
即，，
當雙曲線的斜率為正的漸近線時，取最大，此時，，
當與軸重合時，取最小，此時，經(jīng)上述分析得：，.故選：C.
10．【詳解】當時，曲線，即；
當時，曲線，即；不存在；
時，曲線，即；
時，曲線，即；
畫出圖形如右：對于A，由圖可得A錯誤，故A錯誤；
對于B，方程是以為上下焦點的雙曲線，
當時，曲線C存在點P，使得，故B錯誤；
對于C，一三象限曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線C沒有交點，故C正確；
對于D，設(shè)，設(shè)點在直線上，點在直線，
則由點到直線的距離公式可得，，
所以，
又點Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點，
代入曲線方程可得，故D正確；故選：CD.
11．【詳解】對于A，由于，令時，整理得，解得，“水滴”圖形與軸相交，最高點記為A，則點A的坐標為，點，
白色“水滴”區(qū)域（含邊界）任意兩點間距離的最大值為，故A正確；
對于B，由于，整理得：，
所以，所以到坐標軸的距離為或，
因為，
所以，，
所以到坐標軸的距離小于等于3，故B正確；
對于C，由于，令時，整理得，
解得，因為表示以為圓心，半徑為的圓，
則，且，則在x軸上以及x軸上方，
故白色“水滴”的下半部分的邊界為以為圓心，半徑為1的半圓，陰影的上半部分的外邊界是以為圓心，半徑為3的半圓，
根據(jù)對稱可知：白色“水滴”在第一象限的邊界是以以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，則，即AN所對的圓心角為，同理AM所在圓的半徑為2，所對的圓心角為，陰影部分在第四象限的外邊界為以為圓心，半徑為2的圓弧，
設(shè)，可得，DG所對的圓心角為，
同理DH所在圓的半徑為2，所對的圓心角為，
故白色“水滴”圖形由一個等腰三角形，兩個全等的弓形，和一個半圓組成，
所以它的面積是.
軸上方的半圓（包含陰影和水滴的上半部分）的面積為，
第四象限的陰影和水滴部分面積可以看作是一個直角三角形和一個扇形的面積的和，
且等于，
所以陰影部分的面積為，故C錯誤；
對于D，軸上方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為，
軸下方的陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為，
所以陰影部分的內(nèi)外邊界曲線長為，故D正確.故選：ABD.
12． 13．
【詳解】如圖，設(shè)，因為，所以．
由橢圓定義可知，，
由，可得，所以．
在Rt△F1BF2中，由，可得，
即得，故得．故答案為：.
14．
【詳解】曲線即，
由于在曲線上，令，
則，
（其中，，不妨設(shè)），，又，，當時取得最大值
15．【詳解】（1）因為，所以，
故的方程是，即；
（2）因為直線的斜率，
所以經(jīng)過點且與直線平行的直線方程為，即.
16．【詳解】（1）由題意知，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
（2）記雙曲線的左焦點為，則，
可得，
當三點共線時，最小，且最小值為.故的最小值為.
17．【詳解】（1）∵，是拋物線C：上的兩點，
∴，則，整理得，解得，
當時，，解得，不合題意；
當時，，解得．故拋物線C方程為y2=6x．
（2）由（1）知C的焦點為，故直線l的方程為，
聯(lián)立，得，必有，
設(shè)，，則，∴，
∴，當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為．
18．【詳解】（1）橢圓：的焦點坐標為，
所以橢圓的焦點坐標也為，即得焦距為，
∵橢圓過點，∴，
∴，，∴橢圓的標準方程為.
（2）①設(shè)直線：（），
由，得，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，所以，，
所以，
因為直線和的斜率互為相反數(shù)，所以，所以，
所以，所以.
即，所以，
因為，所以，所以動直線恒過軸上的定點
②由①知，，且，即，
又S△OMN=12?OT?y1-y2=12?4?y1+y22-4y1y2
令，則，
∴S△OMN=24?n3n+162≤24?n2?3n?162=24?n4?3n?16=3（當且僅當時取“＝”）
∴S△OMNmax=3.
19．【詳解】（1）因為點P為圓A的“黃金點”，所以，即，
所以點P的軌跡是以A為圓心，為半徑的圓，故點P所在曲線的方程為
（2）①因為P為圓B的“黃金點”，則
所以，即點P在圓上，
則P是圓和的交點.
因為P，Q均為圓“”的“鉆石點”，
所以直線即為圓和的公共弦所在直線，
兩圓方程相減可得，故直線的方程為.
②設(shè)的圓心為，半徑為，
的圓心為，半徑為.
直線的方程為，得的中點坐標為，點S到直線的距離為，
則，所以圓H的方程為.
假設(shè)軸上存在點滿足題意，設(shè)，.
若軸平分，則，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以x1+x2=-23kk2+1,x1x2=-89k2+1，代入①并整理得，此式對任意的都成立，所以.
故軸上存在點，使得軸平分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
C
C
A
C
BD
CD
題號
11

答案
ABD

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