1．三角形的外心:
.
注：等邊三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，長(zhǎng)方形的外心.
三．正方體，長(zhǎng)方體的外接球.
正長(zhǎng)體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)
二．典例分析
一．四面體模型
1.1正四面體：由四個(gè)全等正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長(zhǎng)都相等.
1.2 正四面體的外接球和內(nèi)切球.
假設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為,其外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則.
例1．一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
解析：如圖，四面體是正四面體，棱長(zhǎng)，將其補(bǔ)形成正方體，
則正方體的棱長(zhǎng)，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，
正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A
二．等腰四面體（正棱錐）
例2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
解析：∵ 球的體積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，
則，，所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．故選：C．
三．棱臺(tái)模型
例3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
解析：設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．
四．對(duì)棱相等：補(bǔ)成長(zhǎng)方體
例4．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
解：如下圖所示，
將四面體放在長(zhǎng)方體內(nèi)，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，
則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為長(zhǎng)方體的外接球直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，上述三個(gè)等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故選：．
五．直棱柱
1.基本定義：
棱柱：上下底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等的封閉幾何體叫棱柱.
直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱.
正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是側(cè)棱都垂直于底面，且底面是正多邊形的棱柱.
2.外接球球心：
直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點(diǎn).
正棱柱外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)。
3.計(jì)算公式：
設(shè)底面小圓的半徑為，棱柱高為，則.
例5．在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為_(kāi)_____．
解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，的中點(diǎn)為，，由題，得三棱柱外接球的球心在線段的中點(diǎn)O處，由三棱柱的體積為2，得，即，
由題，得，所以，外接球表面積
．故答案為：
六．墻角模型
墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）


方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出
例6．已知是球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，，，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
解：因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，則兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，如下圖所示，
又是球面上的四個(gè)點(diǎn)，所以球的直徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，又，，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，
即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.
七．最值問(wèn)題
例7．（眉山三模）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（ ）．
A．B．C．D．
解：球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中，球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．
例8．三棱錐的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，．若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．24B．C．27D．
解析：因?yàn)槿忮F的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，故面，
又 ，故面，又面，故.球M的表面積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，
要使體積最大，即最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故體積的最大值為.故選：A.
外接球綜合模型
例9．是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為
A．B．C．D．
解析：由題,取中點(diǎn),連接,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形,故均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.連接交于.
易得為中點(diǎn),且..
又四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)球半徑最小,且球心到的距離相等.故球心在過(guò)且與平面垂直的直線上.故當(dāng)球心為時(shí),球半徑取得最小值.此時(shí)有.在中由余弦定理可得.
因?yàn)?故平面.故到平面的距離.又底面.故選：D
九.等體積法解決內(nèi)切球
即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等
第1步：
先畫(huà)出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；
第2步：
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第3步：解出
2.軸截面法：做出軸截面利用相似三角形求解.
例10.已知正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______．
解析：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點(diǎn)，在上，的邊長(zhǎng)為，
∴，∴，
所以，，
由等體積法，，
∴，解得：，
∴該球的表面積為，該球的體積為．故答案為：；.
十．軸截面法解決內(nèi)切球
例11.（2020全國(guó)3卷）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．
解析：（軸截面法）由三角形相似可得：由
則其體積：.

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