3.三角形“四心”與應(yīng)用一．重要結(jié)論1.重心：三角形三條中線的交點，重心為證明：是所在平面內(nèi)一點，=0點G是△ABC的重心.證明:作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線. 將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））重心性質(zhì)1．是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心.證明：∵G是△ABC的重心∴=0=0，即，由此可得.（反之亦然（證略））重心性質(zhì)2. 如圖，已知點G是的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且，，則.     證明：點G是的重心，知O，得O，有.又M，N，G三點共線（A不在直線MN上），于是存在，使得， 有=，得，于是得2．外心：三角形三條中垂線的交點.外心外心性質(zhì)：如圖，為的外心，證明：1.；，同理可得等.2.，同理可得等.3.，同理可得等.證明：結(jié)合三角形中線向量公式及極化恒等式即可完成證明.附：如圖，直角三角形中，.           3．內(nèi)心.三角形三條角平分線的交點.內(nèi)心為內(nèi)心性質(zhì).是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P點的軌跡一定通過的（    ）A.外心      B.內(nèi)心      C.重心          D.垂心解：因為是向量的單位向量設(shè)與方向上的單位向量分別為，  又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.4．垂心：三角形三條高線的交點.垂心為垂心性質(zhì).點是△ABC所在平面內(nèi)任一點，點是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（證略））二．典例分析1．若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（     ）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心解析：且，，化簡得，設(shè)，又與分別為和方向上的單位向量，平分，又共線，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的內(nèi)心.故選：C.2．在中，向量與滿足，且，則為（       ）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形解析：∵，∴的角平分線垂直于，根據(jù)等腰三角形三線合一定理得到為等腰三角形，又∵，∴，則為等腰直角三角形，故選：D.3．已知是內(nèi)部（不含邊界）一點，若，，則（       ）A． B． C． D．1解析：如圖，連接AD并延長交BC與點M,設(shè)點B到直線AD的距離為,點C到直線AD的距離為,因為，所以設(shè)，因為AM與向量AD共線，設(shè),,所以，即，,所以故選：A4．已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（       ）A． B．2 C． D．解析：表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，所以點在的平分線上，即為的角平分線，在中，，，利用正弦定理知：同理，在中，，，其中，分析可知當(dāng)時，取得最小值，即5．已知點是銳角的外心，，，，若，則（       ）A．6 B．5 C．4 D．3解析：如圖所示，過點分別作，，垂足分別為，；則，分別為，的中點，∴，；又，∴，∵，∴，，化為①，②，聯(lián)立①②解得，；∴．故選：B6．已知外接圓圓心為， G為所在平面內(nèi)一點，且．若，則（       ）A． B． C． D．解析：取的中點，連接AD， 由，知為的重心，則G在AD上，所以，而，所以，，，四點共線，所以，即，不妨令，則，．所以．故選：C．7．設(shè)H是的垂心，且，則______.解析：是的垂心由題設(shè)得.再由，得，.故.故答案為:8．已知點為三角形所在平面內(nèi)的一點，且滿足，，則___．解析：∵， ，∴，兩邊同時平方可得，，∴，∵，則，故答案為． 

相關(guān)試卷

2023屆高三數(shù)學(xué)寒假二輪微專題45講10三角形四心及應(yīng)用：

這是一份2023屆高三數(shù)學(xué)寒假二輪微專題45講10三角形四心及應(yīng)用，共7頁。試卷主要包含了重心，，同理可得等等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 09.對邊對角模型及應(yīng)用：

這是一份高中數(shù)學(xué)全冊綜合練習(xí)題，共6頁。試卷主要包含了結(jié)合余弦定理，注意到其在焦點三角形中的應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 08.解三角形中的基本結(jié)論與應(yīng)用：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊全冊綜合當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測題，共3頁。試卷主要包含了正弦定理，正弦定理的變形公式，解三角形所涉及的其它知識，誘導(dǎo)公式在中的應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 04.奔馳定理及應(yīng)用

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 04.奔馳定理及應(yīng)用
高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 01.等和線及應(yīng)用

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 01.等和線及應(yīng)用
高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 25.復(fù)雜概率計算

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)微專題25講 25.復(fù)雜概率計算
2023屆高三寒假數(shù)學(xué)二輪微專題45講 10.三角形四心及應(yīng)用

2023屆高三寒假數(shù)學(xué)二輪微專題45講 10.三角形四心及應(yīng)用
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊電子課本

全冊綜合

版本： 人教B版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部