?專題10 導(dǎo)數(shù)壓軸解答題（綜合類）

導(dǎo)數(shù)中的解答類壓軸題繞不開的兩大永恒問題：不等式的證明和參數(shù)范圍問題，由于上一專題我們著重講了不等式的證明，本專題我們重點就相關(guān)的參數(shù)問題和函數(shù)零點等諸多綜合性問題作一個系統(tǒng)性的研究，方便大家學(xué)習(xí)掌握。

一、熱點題型歸納
題型1.含參問題之端點效應(yīng)
題型2.含參問題之分離變量法
題型3.含參問題之分類討論法
題型4.含參問題之最值定位法
題型5.雙變量-轉(zhuǎn)化同構(gòu)
題型6.雙變量-齊次換元法
題型7.同構(gòu)函數(shù)法
題型8.函數(shù)零點型問題
題型9.隱零點問題
二、最新?？碱}組練
三、十年高考真題練

【題型1】含參問題之端點效應(yīng)
【解題技巧】
假設(shè)題于給出含參不等式在上恒成立，讓求參數(shù)的取值范圍，這類問題俗稱含參不等式愝成立問題.若恰好滿足，則稱該不等式具有端點效應(yīng).具有端點效應(yīng)的含參不等式恒成立問題的一種常用的解題方法是帶參討論，尋找討論的分界點是解題的關(guān)鍵.既然要恒成立，且，那么在右側(cè)附近函數(shù)值不能減少，所以，由此可得到成立的必要條件（不一定是充分條件），從而找到討論的分界點.
注意
1.端點賦值法（函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關(guān)重要的作用）
2.為了簡化討論，當端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍。注意，開區(qū)間不一定是充分條件。有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論。
【典例分析】
1.（2022.河南高三期中）設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，
所以或，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）解法1：令，
則，
所以在上単調(diào)遞減，，
（i）當時，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，
結(jié)合知，即，符合題意，
（ii）當時，，設(shè)，則且，
因為，所以，從而，
又，所以，故，所以，
因為，所以，從而當時，必有，
所以在上有唯一的零點，且當邛，，故在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，即，不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
解法2：令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，
（i）當時，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，
結(jié)合知，即，符合題意，
（ii）當時，，所以在上有唯一的零點，
且當時，，所以單調(diào)遞增，
結(jié)合知當時，，即，不合題意，
（iii）當時，不能恒成立，不合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
【變式演練】
1.（2023.廣西高三模擬）已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).（1）當時，求的最小值；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，當時，，所以，從而在上單調(diào)遞增，故的最小值為.
（2）當時，成立，
當時，等價于（1），
當時，等價于（2），
設(shè)，則，
當時，設(shè)，則，
當時，由（1）可得，所以在上單調(diào)遞增，結(jié)合知恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，
而在上，，從而，滿足（1），
當時，，
易得在上為增函數(shù)，，
所以在上有一個零點，當時，；當時，，
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，
所以在上有一個零點，且當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，
所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
又，所以在恒成立，從而，滿足（2），所以當時，滿足題意，
當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以在上有一個零點，且當時，，從而在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，不滿足（1），不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

2.設(shè)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，，求的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
當時，，當時，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）當時，，設(shè)，
則，由（1）可得，所以，故在上單調(diào)遞增，
又，所以恒成立，從而，符合題意，
當時，，因為，所以，
從而當時，，所以在上單調(diào)遞減，
而，所以當時，，故在上單調(diào)遞減，
又，所以當時，，故在上不能恒成立，不合題意，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

【題型2】含參問題之分離變量法
【解題技巧】
1）利用分離參數(shù)法來確定不等式,（,為實參數(shù)）恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:①將參數(shù)與變量分離,即化為（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最值”；③解不等式(或) ,得的取值范
2)重要結(jié)論
≥f(x)恒成立?≥f(x)max；≤f(x)恒成立?≤f(x)min ；
≥f(x)能成立?≥f(x)min；≤f(x)能成立?≤f(x)max。
3）參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：
（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個字母的關(guān)系過于“緊密”，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法.
（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。
注意：
1.若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處”，則選填題可以通過洛必塔法則求出“最值”，若解答題最好不用此法，轉(zhuǎn)入分類討論或最值定位即可。
【典例分析】
1．（2022·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)證明：對，直線都不是曲線的切線；
(2)若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析 (2)
（1）若直線與曲線相切，直線過定點，設(shè)切點，
由得定義域為，，
所以，整理得①，
又在上單調(diào)遞增，
當且僅當時，①成立，這與矛盾，結(jié)論得證．
（2）原不等式可整理為：，
令，在上單調(diào)增，，
當時，，令，
當時，，單調(diào)遞減，∴；
當時，不存在；當時，
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
∴，∴；綜上．
【變式演練】
1．（2022·河南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若在上恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1) (2)1
【詳解】（1）解：因為當時，所以，則
因為，所以切點坐標為，
所以曲線在點處的切線方程為，即，
所以切線與坐標軸的交點坐標分別為 所以，所求三角形的面積為
（2）解：由可得在上恒成立
令，則令，
所以在上恒成立，所以，在為減函數(shù)
因為，所以，存在，使得，即
所以，時，，，在上單調(diào)遞增，
當時，，，在上單調(diào)遞減，所以，，
因為，所以，，
因為，可知，，
所以，因此整數(shù)的最小值為1.
2．（2022·四川·蓬溪高三階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)時，求函數(shù)在點處的切線方程(2)若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
（1）解：時，，，所以，，
所以，函數(shù)在點處的切線方程為，即.
（2）解：因為函數(shù)在處取得極值，，
所以，解得，此時，
時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；
在處取得極小值，滿足題意. 所以
因為對，恒成立 所以對恒成立，
即對恒成立，令，則，
當時，；當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即.所以，實數(shù)的取值范圍為

【題型3】 含參問題之分類討論法
【解題技巧】
如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解：如果能轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題，可以考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(，或，)來進行分類討論。
【典例分析】
1.（2022·江西江西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得，對恒成立？若存在，請求出的所有值；若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)答案見解析 (2)存在，整數(shù)的所有值為
（1）由題意知：定義域為，，
令，則；
當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當時，若，；若，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知：對恒成立，即對恒成立；
令，則；
①當且時，，在上單調(diào)遞增，
，解得：（舍）；
②當且，即時，，不合題意；
③當且時，若，；若，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又，，，，
滿足且，的所有整數(shù)為；綜上所述：的所有值為.
【變式演練】
1．（2022·山東·滕州市高三階段練習(xí)）已知函數(shù)。(1)當時，求在上的值域；(2)當時，，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) (2)
（1）由題意知，，
時，，，
時，恒成立，所以單調(diào)遞增，
∴，即所以的值域為.
（2）注意到，，
若，，
由（1）知，當時，；
當時，，所以恒成立，符合題意；
若，，當時，，不合題意，舍去；
若，因為當時，，所以單調(diào)遞增，
而，，故存在滿足，
且時，，單調(diào)遞減，，不合題意，舍去；綜上可知，.
2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）函數(shù).(1)若有三個解，求的取值范圍；
(2)若，且，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
（1）的定義域為，由得，當或時，；
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
故有極大值，有極小值.
時，；時，；
若有三個解，則.
（2）因為，，即，得，
令，則在上恒成立.
由得，且.
①當即時，由，得，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，所以符合題意.
②當時，令，得；
令，得，此時遞增，所以，
這與相矛盾，所以不合題意.綜上知，.

【題型4】 含參問題之最值定位法
【解題技巧】
1.注意是同一變量還是不同變量。 2.各自對應(yīng)的是最大值還是最小值。
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【典例分析】
1．（2022·山東聊城·高三期中）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，當時，對任意，存在，使，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析 (2)
【詳解】（1）定義域為，
，令，得或．
當即時：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當，即時：
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當即時：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當即時：
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，；
當時，單調(diào)遞增區(qū)間有，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，．
（2）當時，
由（1）得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
從而函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，則，
由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，所以．
【變式演練】
1．（2022·成都市錦江區(qū)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中，．(1)試討論函數(shù)的極值；(2)當時，若對任意的，，總有成立，試求b的最大值．
【答案】(1)答案見解析 (2)
【詳解】（1）由題意得的定義域為，．
當時，在區(qū)間內(nèi)恒成立，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，無極值．
當時，令，得；令，得．
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
在處取得極大值，且極大值為，無極小值．
綜上，當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值．
（2）由知當時，的最大值為．
由題意得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
又，，根據(jù)零點存在定理可得，
存在，使得，
且當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，
．
，，兩邊取對數(shù)可得，
．
令，則當時，，
即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，
，即，即．對任意的，，總有成立，，即，，即．
又，故的最大值為0．
2．（2022·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對、，使恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)
(1)的定義域為，，
設(shè)，則，，
所以在上為增函數(shù)，
所以當時，，即，所以在上單調(diào)遞增；
當時，，即，所以在上為減函數(shù).
綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
(2)對，使恒成立，即對，
成立.
由（1）知在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，所以，
為和中的較大者，
∵，，，
又∵，得.∴，即.
∴在[0，2]上
∴，
即，解之，得或，
∴對，使恒成立時，a的取值范圍為.

【題型5】雙變量-轉(zhuǎn)化同構(gòu)
【解題技巧】
若題干給出對任意的在區(qū)間上，關(guān)于和的某不等式恒成立，且該不等式對和具有輪換對稱性，求參數(shù)取值范圍.這類問題一般根據(jù)不等式的等價變形，將原不等式化為這種同構(gòu)形式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來進一步研究參數(shù)的取值范圍.
注意：1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值。
2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)。
【典例分析】
1.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，對任意的且，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題意，的定義域為，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，
當時，或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）若，則，當時，，
故在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，
從而，
所以，設(shè)，
則是增函數(shù)，故在上恒成立，所以，
設(shè)，則，所以，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，
因為恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.
【變式演練】
1．（2022·安徽·合肥市高二期中）已知的圖象在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極大值為，無極小值；（2），．
【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，
可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，
由切線與直線平行，可得，即，，，
由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，
可得在處取得極大值為，無極小值；
（2）可設(shè)，若，，，可得，
即有，設(shè)在為增函數(shù)，
即有對恒成立，可得在恒成立，
由的導(dǎo)數(shù)為得：當，可得，
在遞減，在，遞增，即有在處取得極小值，且為最小值，
可得，解得，則實數(shù)的取值范圍是，．
2．（2022·四川一模（理））已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)在遞增，在遞減(2)
(1)的導(dǎo)數(shù)為，
可得的圖象在處的切線斜率為，
由切線與直線平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．
(2)因為，若，由，
即有恒成立，設(shè)，
所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，
可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，
當，可得，在遞減，在遞增，
即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得
則實數(shù)m的取值范圍是．

【題型6】 雙變量-齊次換元法
【解題技巧】
若問題的不等式或等式中含有兩個變量，稱這類題型為雙變量問題，前面幾個小節(jié)已經(jīng)涉及了雙變量問題的一些細分題型，這一小節(jié)主要針對用換元法解決雙變量問題的題型.若能將要證明的不等式或目標代數(shù)式通過變形成關(guān)于（或等）的整體結(jié)構(gòu)，通過將（或等）換元成把問題化歸成單變量問題來處理.這一方法也稱為“齊次換元”。
【典例分析】
1.已知函數(shù)，其中.（1）若對于一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）在函數(shù)的圖象上取兩定點，記直.線的斜率為，是否存在，使得成立?若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由.
【解析】（1）若，則當時，不可能恒成立，故，，令得：，令得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
因為恒成立，所以，即，
令，則，令得：，令得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，
所以，故只能，且，所以.
（2）由題意，，
令，
則，
令，則，所以，
從而在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，故當時，，即，
從而，
又，所以，
又，所以在上單調(diào)遞增，
故存在唯一的使，解得：，
故當且僅當時，，即，
綜上所述，存在使成立，且的取值范圍為.
【變式演練】
1．（2022春·甘肅張掖·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)為常數(shù)，且在定義域內(nèi)有兩個極值點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為，求的范圍.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)求出的導(dǎo)函數(shù)，由此探討函數(shù)在內(nèi)有兩個不同的零點即可得解；
(2)由(1)中信息確定出并將用表示出，換元構(gòu)造函數(shù)即可作答.
【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，，
因在定義域內(nèi)有兩個極值點，則有二不等的正實根，
從而得，解得，所以的取值范圍是；
(2)由(1)知，而，則，

，
令，則，，
從而得在上單調(diào)遞增，即有，的值域是，
所以的范圍是.
2．（2022·遂寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，有，求證：對，有；(3)若，且，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點斜式方程即可求出切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，令()，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求出即可.
【詳解】（1）因為，所以點即為點
，，故切線方程為，即；
（2）因為當時，，，
故在上單調(diào)遞增，所以，
當時，，此時；
當時，在上單調(diào)遞減，此時，
故，所以成立；
（3）由題意得：，又因為，所以，
又，即，
即，所以①
設(shè)，則①式變形為
，所以單調(diào)遞增，所以，
因為，所以，令，，則，
當時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，有，
故．即實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】破解含雙參不等式證明題的3個關(guān)鍵點:（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.
3．（2022·四川成都·高三校考期中）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，設(shè)，，函數(shù)有兩個極值點．①求m的取值范圍；②若，求的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)① ；②
【分析】（1）求導(dǎo)，分，和三種情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①由題意函數(shù)有兩個變號零點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，從而可得出答案；②由已知，則，令，將分別用表示，，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在的值域即可.
【詳解】（1）解：，
當時，或時，，時，，
所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是，
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，或時，，時，，
所以的增區(qū)間是，，減區(qū)間是；
（2）解：①，因為函數(shù)有兩個極值點，
所以有兩個變號零點，
令，則，
當時，，單減，當時，，單增，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
當時，，當時，，
所以只需即可，所以；
②由已知，則，令，得，
，令，，則，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，又因為，
所以當時，，即，所以函數(shù)在上遞增，
由洛必達法則，，所以的范圍是.
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值點的關(guān)系，考查了分類討論思想和計算能力及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

【題型7】同構(gòu)函數(shù)法
【解題技巧】
在某些函數(shù)方程、不等式問題中，可以通過等價變形，將方程或不等式變成左右兩端結(jié)構(gòu)一致的情形，進而構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題，這種處理問題的方法叫做同構(gòu)。同構(gòu)一般用在方程、不等式、函數(shù)零點、反函數(shù)等相關(guān)問題中，用好同構(gòu)，需要較強的觀察能力和一定的解題經(jīng)驗。常見同構(gòu)體：；；；；；。
【典例分析】
1．（2022·遼寧·大連市模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為(2)
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）同構(gòu)處理，為設(shè)函數(shù)，則，結(jié)合的單調(diào)性得到有兩個根，結(jié)合第一問中的結(jié)論，列出不等關(guān)系，求出a的取值范圍.
【解析】(1)函數(shù)的定義域為，．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．
(2)要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，
即有兩個實根．即．
整理為，設(shè)函數(shù)，則上式為，
因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以．
所以只需使有兩個根，設(shè)．
由（1）可知，函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，
故函數(shù)在處取得極大值，．
當時，；當時，，
要想有兩個根，只需，解得：．所以a的取值范圍是．
【變式演練】
1．（2022·云南昆明·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中
(1)若，求的極值；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)極小值為，無極大值；(2).
【分析】（1）求出定義域，二次求導(dǎo)，先得到在上單調(diào)遞增，再根據(jù)得到當時，，當時，，求出在處取得極小值1，無極大值；
（2）設(shè)，利用同構(gòu)思想對不等式變形得到，結(jié)合單調(diào)性得到，構(gòu)造，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，得到，從而求出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，定義域為，
則，令，
則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，極小值為，無極大值；
（2）由題意得：，
因為，所以不等式兩邊同除以得：，
變形為，即，
設(shè)，則上式為，
因為恒成立，所以單調(diào)遞增，
故，即，構(gòu)造函數(shù)，，
則，當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值，也是最小值，
故，所以，解得：，由于，故實數(shù)a的取值范圍為.
【點睛】同構(gòu)思想在導(dǎo)函數(shù)壓軸題目中經(jīng)常出現(xiàn)，通常函數(shù)中同時出現(xiàn)了和的相關(guān)項時，考慮同構(gòu)來處理，本題第二問的難點在于先把不等式兩邊同除以得到，再變形得到，從而得到同構(gòu)式，構(gòu)造函數(shù)進行求解即可.

【題型8】函數(shù)零點型問題
【解題技巧】
已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)移項討論法（找點或者極限法）：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)（回避找點）：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)分離函數(shù)法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
【典例分析】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當a＝1，函數(shù)在內(nèi)有2個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，即恒成立或恒成立，參變分離即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與在內(nèi)有2個公共點來求解.
（1）函數(shù)是R上單調(diào)函數(shù)
恒成立或恒成立
等價于恒成立或恒成立
設(shè)， ∴或 ∵
∵ ，∴ ，∴
∴或.即實數(shù)a的取值范圍為
（2）當a＝1時，
在內(nèi)有2個零點
等價于與在內(nèi)有2個公共點
令，則
當時，；當時，
∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
當時，取極小值 當時，取極大值
∵， ∴
要使與在內(nèi)有2個公共點
需滿足或
∴或 ∴或
即實數(shù)m的取值范圍為
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值；(3)當時，設(shè)函數(shù)，，判斷的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)(2)極小值，無極大值(3)有且只有一個零點，證明見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而求出切線方程；（2）求出定義域，求導(dǎo)后，分與兩種情況進行求解得到極值情況；（3）判斷出有且僅有一個零點，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理得到結(jié)論.
【詳解】（1），所以，，所以切點為，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）定義域為
當時，對恒成立，在上為增函數(shù)，無極值
當時，令，所以，，





-
0
+

↘
極小值
↗
在處取得極小值，無極大值
（3）有且只有一個零點 證明如下：時，
，
令，，則 令
所以對恒成立 所以在上為增函數(shù)
由知， 所以在上有唯一零點





-
0
+


極小值

， 而在上單調(diào)遞增，
所以在上有且只有一個零點 當時，，無零點
所以在上有且只有一個零點 所以在上有且只有一個零點.
【點睛】函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值情況，結(jié)合零點存在性定理作出判斷.
2．（2022·青海·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若，證明：當時，恒成立；(2)已知函數(shù)在R上有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析； (2).
【分析】（1）把代入函數(shù)，在給定條件下，等價變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)推理作答.（2）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個都不是0的零點，再利用導(dǎo)數(shù)探討最大值，并結(jié)合零點存在性定理推理判斷作答.
【詳解】（1）當時，，因，，
令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，因此，當時，恒成立，
所以當時，恒成立.
（2）依題意，，由，得，顯然是函數(shù)的一個零點，因函數(shù)在R上有三個零點，則有兩個都不是0的零點，
，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，在上最多一個零點，不符合題意，
當時，在上單調(diào)遞減，，則當時，，當時，，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
要有兩個零點，必有，即，得，
因，則存在，使得，即函數(shù)在上有一個零點，
令，，求導(dǎo)得：，令，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即在時，恒成立，當時，在時恒有成立，
因此，，，令，
則，
于是得，則存在，使得，
即函數(shù)在上有一個零點，因此在上有一個零點，
從而得，當時，在上有兩個零點，即函數(shù)在R上有三個零點，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】涉及由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，結(jié)合零點存在性定理推理求解.

【題型9】隱零點問題
【解題技巧】
解題思路：
（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根x0但不可解。但得到參數(shù)和x0的等量代換關(guān)系備用；（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點處，可代入虛根x0；（3）利用x0與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出x0不等式，求得x0范圍；（4）再代入?yún)?shù)和x0互化式中求得參數(shù)范圍。
【典例分析】
1．（2022·甘肅·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù) 。（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在，使成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）5
【詳解】（1）由題意可知，，，
當時，令，或；
時，，在單調(diào)遞增；
時，，在單調(diào)遞減；
綜上所述，的增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）原式等價于，即存在，使成立．
設(shè)，，則，
設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增．
又，，
根據(jù)零點存在性定理，可知在上有唯一零點，
設(shè)該零點為，則，且，即，
∴.由題意可知，又，，∴a的最小值為5．
【變式演練】
1．（2022·陜西·安康市室高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
所以.
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增.
綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因為對恒成立，即對恒成立.
設(shè)，其中，所以，，
設(shè)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為，，所以，存在，使得，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以.
因為，則，
設(shè)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，則，則，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.所以實數(shù)a的取值范圍為.
2．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)， 其中．
(1)討論的單調(diào)性；(2)令， 若在上恒成立， 求的最小值．
【解析】（1），
①當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；
②當時，在上單調(diào)遞增，且當時，，
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
（2）因為，
所以若，，與在上恒成立矛盾，所以，
則，令，
則由可知在上單調(diào)遞減，
又當時，，，，
又，，使得，
，，，，
且當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，

，
又，，解得，令，
則在上恒大于0，在上單調(diào)遞增，．



1.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，的定義域為，且，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增
當時，或，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），設(shè)，
則，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以在上單調(diào)遞增，
當時，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
結(jié)合知恒成立，符合題意，
當時，，所以在上有一個零點，
且當時，，所以在上單調(diào)遞減，
結(jié)合知當時，，從而，不合題意，
綜上所述，的取值范圍為.
2．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析 (2)
【詳解】（1），
當時，由，得出，．
當，由，得或，由，得，
∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，，由，得或，由，得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，，由，得，由，得，
此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞增．
（2）由可轉(zhuǎn)化為，
令，，令，，
當 時，，故在上單調(diào)遞減，
又 所以時，在內(nèi)存在唯一零點，
當時，，，單調(diào)遞減，
當時，，，單調(diào)遞境，故．
因為，所以，所以，
所以，即．
3．（2022·黑龍江·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；
（2）若在上存在一點，使得成立，求的取值范圍.
【答案】（1）當時，極大值為，無極小值；當時，無極值；（2）或.
【詳解】（1）依題意，定義域為，
∴，
①當，即時，令，∵，∴，
此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得.
此時，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
②當，即時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
綜上，當時，在處取得極大值，無極小值；
當時，在區(qū)間上無極值.
（2）依題意知，在上存在一點，使得成立，
即在上存在一點，使得，故函數(shù)在上，有.
由（1）可知，①當，即時，在上單調(diào)遞增，
∴，∴，∵，∴.
②當，或，即時，在上單調(diào)遞減，
∴，∴.
③當，即時，
由（2）可知，在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值，
即，
∵，∴在上恒成立，此時不存在使成立.
綜上可得，所求的取值范圍是或.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知（且），．
(1)求在上的最小值；(2)如果對任意的，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)-1(2)
【分析】（1）對求導(dǎo)，因為為偶函數(shù)，求出在的單調(diào)性，即可求出上的最小值；
（2）由（1）知，在上的最小值為 ，所以，使得成立，即成立，即，設(shè)，，即只需即可．
（1），顯然為偶函數(shù)，當時，
時，，，∴在單調(diào)遞增；
時，，，∴在單調(diào)遞減；
，，，∴在上的最小值為．
由偶函數(shù)圖象的對稱性可知在上的最小值為．
（2）先證，設(shè)，則，
令，令，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
故①恒成立．
由題意可得，使得成立，
即成立．由①可知，
參變分離得，設(shè)，，即只需即可．

由①知得，∴
令，令，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
∴，∴，
又已知故a的取值范圍為．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若，，且，使得，求的最大值.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后對分、、三種情況討論即可求解；
（2）由題意，當滿足時，取得最大值，令，求出的值即可得答案.
(1)解：因為，所以，
當時，令，可得或，令，可得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，，所以在R上單調(diào)遞增；
當時，令，可得或，令，可得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)解：因為，所以由（1）知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，且，使得，
所以當滿足時，取得最大值，
令，
所以當時，，
同理可得，
所以當時，，
所以此時，即的最大值為.
6．（2022·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若任意，， 求a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性即可；
（2）令，則任意，等價為任意，，分別討論、、、，通過導(dǎo)數(shù)法討論即可
（1），令，解得，
當，，，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）令，則任意，等價為任意，，，設(shè)，
當時，，不合題意；
當時，由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性易得在單調(diào)遞減，又，不合題意；
當時，則為增函數(shù)，令得
當時，，則， 所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意．
當時，時，，又，，∴在上單調(diào)遞增；所以，所以在上單調(diào)遞增；所以，符合題意.
綜上所述，.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）先求出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)，然后再分別討論和兩種情況下的符號，從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得，令，可得關(guān)于的一元二次方程，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出圖象，分析可得關(guān)于的一元二次方程的根的范圍，討論分析，從而可得出答案.
（1）解：，則，
當時，，則在上單調(diào)遞增，
當時，當時，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，
當時，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，
綜上：當時，在上單調(diào)遞增，
當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）解：因為函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，
所以方程有3個不同的解，即，
令，則，所以①，
由，當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，
當時，，當時，，作出的圖象，如圖所示，
由題意可得方程①的根，有一個必在內(nèi)，另一個根或或，
當時，方程①無意義，當時，，則不滿足題意，
所以當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得， 解得，
綜上：實數(shù)a的取值范圍為.

【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值最值得方法，并靈活運用，難點在于將零點問題轉(zhuǎn)化為方程得根的問題，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.
8．（2022·河南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使對恒成立，若存在，求出a的值或取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；(2)存在，.
【分析】（1）由題可得，構(gòu)造，進而判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，求出單調(diào)區(qū)間；（2）由題可得恒成立，通過分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，進而可得.
（1）因為，
所以，即.
當時，，令，則，
所以在單調(diào)遞增，因為，
所以，當時，，；當時，，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）法一：設(shè)，則，
①當時，，，即，故不符合題意.
②當時，當時，.·
令，即，
取，則，即，.
故不符合題意.
③當時，令，，則，
故在單調(diào)遞增.
因為，，
所以存在唯一的使得，
所以，時，，；時，，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以的最小值為，
因為，即，兩邊取對數(shù)得，
所以.
令，則，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，當且僅當時，等號成立，
故當且僅當時，在恒成立，綜上，存在a符合題意，.
法二：設(shè)，則，
設(shè)，易知在單調(diào)遞增，
①當時，因為，，
所以存在唯一，使得，即，.
所以當，，即，單調(diào)遞減；
當，，即，單調(diào)遞增.
故，即，符合題意.
②當時，，，
所以存在唯一，使得，
所以當，，即，單調(diào)遞減，
故，即，故不符合題意.
③當時，，，
所以存在唯一，使得，所以當，，即.
所以在單調(diào)遞增，故，即，故不符合題意.
④當時，，不符合題意.
⑤當時，，不符合題意. 綜上，存在a符合題意，.
法三：①當時，，故在上單調(diào)遞增.
因為在單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一，使得，即，即，故，
所以任意，都有. 故不符合題意.
②當時，，
對于函數(shù)，.所以時，；時，.
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，所以，
故，故符合題意.
③當且時，對于函數(shù)，
因為在單調(diào)遞增，且，，
所以存在，使得，即，
所以.
令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
故，當且僅當時，“=”成立.
所以當時，，即，，
故不符合題意.綜上，存在a符合題意，.
法四：設(shè)，，易知在單調(diào)遞增.又當時，，所以的值域為；
當時，的值域為.所以的值域為.
故對于上任意一個值，都有唯一的一個正數(shù)，使得.
因為，即.
設(shè)，，所以要使，只需.
當時，因為，即，所以不符合題意.
當時，當時，，在單調(diào)遞減；
當時，，在單調(diào)遞增.
所以.設(shè)，，
則，當時，，在單調(diào)遞增；
當時，，在單調(diào)遞減.
所以，所以，，當且僅當時，等號成立.
又因為，所以，所以.綜上，存在a符合題意，.
9．設(shè)函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并說明理由；（2）記，討論的單調(diào)性；（3）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）由題意得：，，故在遞增；
又（1），（e），故函數(shù)在內(nèi)存在零點，
的零點個數(shù)是1；
（2），，
當時，，在遞減，
當時，由，解得：（舍取負值），
時，，遞減，，時，，遞增，
綜上，時，在遞減，時，在遞減，在，遞增；
（3）由題意得：，問題等價于在恒成立，
設(shè)，若記，則，
時，，在遞增，（1），即，
若，由于，故，故，
即當在恒成立時，必有，當時，設(shè)，
①若，即時，由（2）得，遞減，，，遞增，
故（1），而，即存在，使得，
故時，不恒成立；
②若，即時，設(shè)，，
由于，且，即，故，
因此，故在遞增，
故（1），即時，在恒成立，
綜上，，時，在恒成立．
10．（2022·重慶·臨江中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)當時，證明；(2)若存在極值點，且對任意滿足的，都有，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，定義域為，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以，，當且僅當時等號成立，
所以，且等號不同時成立，所以；
（2）函數(shù)，，
若存在極值點，則，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，不妨設(shè)，若，則；
若，由可得，則，
所以，即對恒成立，
令，則，
則

，
設(shè)，則，

，
令，，
則，，
令，
則，
令，則，
當時，令，
則
，
設(shè)，
所以，所以，
所以當時，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，
，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，
，符合題意；
當時，，存在，單調(diào)遞減，，
，，單調(diào)遞增，，，不符合題意；
所以，由單調(diào)遞增可得.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）結(jié)合已知條件分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，即可得出原函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2） 分析可得，構(gòu)造函數(shù)，即在上恒成立，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.
（3） （1）解：依題意，令，，
則，令，解得或.
當時，即時，恒成立且不恒為零，所以函數(shù)的增區(qū)間為；
當時，即時，由可得或，由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
當時，即時，由可得或，由可得.
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
（2）解：當時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且.因為，所以，
則不等式可化為，
即.令，則問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
即在上恒成立，
即，.令，，
則.令，解得，
所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以當時，函數(shù)取得最小值，且，
所以當時，，所以.
【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），.






1．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
【答案】（1）當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）
【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.
(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】(1)當時，，，
由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.
(2) [方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
由得，，其中，
①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；
②.當時，分離參數(shù)a得，，
記，，
令，則，，
故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，
由可得：恒成立，
故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；
因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.
[方法二]：特值探路
當時，恒成立．
只需證當時，恒成立．當時，．
只需證明⑤式成立．
⑤式，令，
，
所以當時，單調(diào)遞減；
當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減．
從而，即，⑤式成立．
所以當時，恒成立．綜上．
[方法三]：指數(shù)集中
當時，恒成立，
記，
，
①.當即時，，則當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，，不合題意；
②.若即時，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，
所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；
③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，
所以時，滿足題意. 綜上，.
【整體點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：
方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；
方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；
方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！
2．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間
【分析】（1）[方法三]不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進而進行求解即可；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個新函數(shù) ，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負，判斷 的單調(diào)性，進而確定的正負性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1）
[方法一]【最優(yōu)解】：
等價于．設(shè)，則．
當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當時恒成立，
而在點處的切線為，從而有，
當時恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數(shù)的定義域為：
，
設(shè)，則有 ，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)有最大值，即，
要想不等式在上恒成立，只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設(shè) ，則有，
當時，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，即
，所以單調(diào)遞減；
當時，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，即 ，所以單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.
【整體點評】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；
方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎(chǔ).
方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
3．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，又，則切線方程為；
（II）令，則，令，則，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：

所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，
當時，，則，單調(diào)遞增，
當時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
4．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.
【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.
【詳解】（1）當時，，則，，，
此時，曲線在點處的切線方程為，即；
（2）因為，則，
由題意可得，解得，
故，，列表如下：













增
極大值
減
極小值
增
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.
當時，；當時，.所以，，.
5．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，
因為，故，當時，；當時，；
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.
【點睛】不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.
6．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.
【詳解】（1）當時，,
令得,當時，,當時，,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)
,設(shè)函數(shù),
則,令，得,
在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,
又，當趨近于時，趨近于0，
所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.
[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)
由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．
構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．
當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；
當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
由于，
當時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．
構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．
所以，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法三]分離法：一曲一直
曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．
因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．
①當時，與只有一個交點，不符合題意．
②當時，取上一點在點的切線方程為，即．
當與為同一直線時有得
直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．
記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．
[方法四]：直接法
．因為，由得．
當時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；
當時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
因為，且，所以，即，
即，兩邊取對數(shù)，得，即．
令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．
【整體點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.
7．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．
【答案】(1)答案見解析；(2) 和.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；
(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
導(dǎo)函數(shù)的判別式，
當時，在R上單調(diào)遞增，
當時，的解為：，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增；
綜上可得：當時，在R上單調(diào)遞增，
當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由題意可得：，，
則切線方程為：，
切線過坐標原點，則：,
整理可得：，即：，
解得：，則，
切線方程為：,
與聯(lián)立得，
化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為
解得,，
綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.
8．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，由（1）得，即，所以，
當時，，
則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當時，，，所以，
此時
存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
9．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．
【答案】(1)3(2)
【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設(shè)出上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設(shè)出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知，，，，
則在點處的切線方程為，
即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，
則，解得；
（2），則在點處的切線方程為，
整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，
則切線方程為，整理得，
則，整理得，
令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：




0

1



0

0

0










則的值域為，故的取值范圍為.
10．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域為
當時,,所以切點為,
所以切線斜率為2 所以曲線在點處的切線方程為
（2） 設(shè)
若,當,即
所以在上單調(diào)遞增, 故在上沒有零點,不合題意
若,當,則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增, 故在上沒有零點,不合題意
若 (1)當,則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當單調(diào)遞減 當單調(diào)遞增
所以當 當 所以在上有唯一零點
又沒有零點,即在上有唯一零點
(2)當 設(shè)
所以在單調(diào)遞增 所以存在,使得
當單調(diào)遞減 當單調(diào)遞增,
又 所以存在,使得,即
當單調(diào)遞增,當單調(diào)遞減
有 而,所以當
所以在上有唯一零點,上無零點
即在上有唯一零點 所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為

【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.


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