?專題16 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)經(jīng)典壓軸小題全歸類
【命題規(guī)律】
1、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形式考查，難度較?。?br /> 2、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問(wèn)題．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
核心考點(diǎn)二：函數(shù)嵌套問(wèn)題
核心考點(diǎn)三：函數(shù)整數(shù)解問(wèn)題
核心考點(diǎn)四：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
核心考點(diǎn)五：等高線問(wèn)題
核心考點(diǎn)六：分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
核心考點(diǎn)七：函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題
核心考點(diǎn)八：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題
核心考點(diǎn)九：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之三變量問(wèn)題
核心考點(diǎn)十：倍值函數(shù)
核心考點(diǎn)十一：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
核心考點(diǎn)十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題
核心考點(diǎn)十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式
核心考點(diǎn)十四：導(dǎo)數(shù)中的距離問(wèn)題
核心考點(diǎn)十五：導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)思想
核心考點(diǎn)十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法
核心考點(diǎn)十七：三次函數(shù)問(wèn)題
核心考點(diǎn)十八：切線問(wèn)題
核心考點(diǎn)十九：任意存在性問(wèn)題
核心考點(diǎn)二十：雙參數(shù)最值問(wèn)題
核心考點(diǎn)二十一：切線斜率與割線斜率
核心考點(diǎn)二十二：最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）
核心考點(diǎn)二十三：兩邊夾問(wèn)題和零點(diǎn)相同問(wèn)題
核心考點(diǎn)二十四：函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題

【真題回歸】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（????）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；
在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，
又，，，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.
故選：D
3．（多選題）（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（????）
A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，?br /> 則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，
將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，
解得或.
①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：

由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
可得，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)
因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，
即方程的兩個(gè)根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方
當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個(gè)根為
因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)
且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】∵，∴，
設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)則________；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是_________．
【答案】???? ????
【解析】由已知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
等價(jià)于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為_(kāi)___________，____________．
【答案】???? ????
【解析】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求
分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)

導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：

所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對(duì)稱直線即可.
[方法三]：
因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
9．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為_(kāi)_______；a的最大值為_(kāi)__________．
【答案】???? 0（答案不唯一）???? 1
【解析】若時(shí)，，∴；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒(méi)有最小值，不符合題目要求；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
【方法技巧與總結(jié)】
1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時(shí)首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對(duì)函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過(guò)作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點(diǎn)解不等式．
4、分段函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
5、動(dòng)態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問(wèn)題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開(kāi)口、對(duì)稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過(guò)定點(diǎn)，從而簡(jiǎn)化解題．
6、動(dòng)態(tài)二次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布問(wèn)題：
通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過(guò)對(duì)稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值等來(lái)考慮．
7、求二次函數(shù)最值問(wèn)題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見(jiàn)類型：
（1）對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間固定；
（2）對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)；
（3）對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間也變動(dòng)．
這時(shí)要討論對(duì)稱軸何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外．討論的目的是確定對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來(lái)研究原函數(shù)的圖象．如借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導(dǎo)函數(shù)的（變號(hào)）零點(diǎn)研究原函數(shù)的極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）；綜合借助導(dǎo)函數(shù)的圖象畫(huà)出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點(diǎn)…
具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于三次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，根的判別式．


判別式



圖象




單調(diào)性
增區(qū)間：，；
減區(qū)間：
增區(qū)間：
增區(qū)間：
圖象



（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒(méi)有極值點(diǎn)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個(gè)不相等的極值點(diǎn)，那么：
① 若，則有且只有個(gè)零點(diǎn)；
② 若，則有個(gè)零點(diǎn)；
③ 若，則有個(gè)零點(diǎn)．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，則地解析式為．
同理，對(duì)于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對(duì)稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當(dāng)具有對(duì)稱性，其圖象對(duì)稱中心應(yīng)當(dāng)為點(diǎn)，此結(jié)論可以由對(duì)稱性的定義加以證明．事實(shí)上，該圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)正是三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)．
10、對(duì)于三次函數(shù)圖象的切線問(wèn)題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問(wèn)題，要區(qū)分“在”與“過(guò)”的不同，如果是過(guò)某一點(diǎn)，一定要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問(wèn)題常常運(yùn)用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題．
12、如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見(jiàn)的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當(dāng)不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問(wèn)題時(shí)，還可以考慮利用函數(shù)圖象來(lái)求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點(diǎn)問(wèn)題的不同處理方法
利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．
15、利用導(dǎo)數(shù)研究方程根（函數(shù)零點(diǎn)）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等．
（2）根據(jù)題目要求，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．

【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
【典型例題】
例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)
所以有解
即有解
令，
則
因?yàn)椋矣蓤D象可知，所以
所以在上單調(diào)遞減，令得
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減
所以
且當(dāng)時(shí)
所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即
故選：A
例2．（2023·天津·耀華中學(xué)高二期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
函數(shù)定義域是， ，，設(shè)，則，設(shè)，則，，
易知，即也即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，因此是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，，函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，．故選A．
考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．
例3．（2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高三月考（文））設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依題意得，函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，且，
可構(gòu)造函數(shù)和，
因?yàn)?，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；
可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，
又因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，只需即可，即：
解得：.
故選：D.
核心考點(diǎn)二：函數(shù)嵌套問(wèn)題
【典型例題】
例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】A
【解析】
在和上單增，上單減，又當(dāng)時(shí)，時(shí)，故的圖象大致為：

令，則方程必有兩個(gè)根，且，不仿設(shè) ，當(dāng)時(shí)，恰有，此時(shí)，有個(gè)根，，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)無(wú)根，有個(gè)根，當(dāng)時(shí)必有，此時(shí)有個(gè)根，，有個(gè)根，綜上，對(duì)任意，方程均有個(gè)根，故選A.
例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設(shè)，則有四個(gè)不同的解，
因?yàn)椋?br /> 所以為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
則，
令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
又，
作出時(shí)的圖象，如圖所示：

所以當(dāng)時(shí)，的圖象與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，且設(shè)為，
作出圖象，如下圖所示：

此時(shí)與分別與有2個(gè)交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的解，滿足題意.
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：A
例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因?yàn)椋裕?br /> 當(dāng)，；當(dāng)，，
所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，，
故的大致圖象如圖所示：

關(guān)于的方程等價(jià)于，
即或，
由圖知，方程有且僅有一解，則有兩解，
所以，解得，
故選:C.
核心考點(diǎn)三：函數(shù)整數(shù)解問(wèn)題
【典型例題】
例7．（2023·福建寧德·高三）當(dāng)時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，
可得在上恒成立，
不妨設(shè)，可得，
令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?，所以，且?br /> 將代入可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.
故選：C.
例8．（2023·江蘇·蘇州大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是（ ）
A．13 B．21 C．26 D．30
【答案】B
【解析】
設(shè)，其圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，如圖所示，
若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，
則，即，解得，
又因?yàn)?，所以，故所有符合條件的a的值之和是.

故選：B.
例9．（2023·江蘇宿遷·高一月考）用符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)（稱為x的整數(shù)部分），如[﹣1.2]=﹣2，[0.2]=0，[1]=1，設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，若[x1]+[x2]+[x3]=6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設(shè)，
由，得或，
解得或，
令，，令，解得.
所以，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù).
.
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，時(shí)，，
作出的圖象：

由的圖象可知：，，，
由, ，得.
又因?yàn)椋?br /> 若，則，，舍去.
若，則，或或.
要使，則，所以.
故選：B
核心考點(diǎn)四：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
【典型例題】
例10．（2023·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，
則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
，
由于函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
則，
由，解得，
所以，，
令，其中，

，
，則，，，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，
從而可得，解得.
故選：C.
例11．（2023·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知條件可知
由函數(shù)奇偶性易知
令，為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，
單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，僅有一個(gè)極小值點(diǎn)
圖象右移一個(gè)單位，所以僅在處有極小值，
則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即，
解得，
故選：A
例12．（2023·新疆·莎車縣第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【答案】A
【解析】
解：已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關(guān)于對(duì)稱，
則關(guān)于對(duì)稱，
為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，
則關(guān)于對(duì)稱，
由于有唯一零點(diǎn)，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
核心考點(diǎn)五：等高線問(wèn)題
【典型例題】
例13．（2023·陜西·千陽(yáng)縣中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，若方程的個(gè)不同實(shí)根從小到大依次為，，，，有以下三個(gè)結(jié)論：①且；②當(dāng)時(shí)，且；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題繪制函數(shù)如圖所示，

可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又，可得且，
故結(jié)論①正確，
當(dāng)時(shí)，由解得，
即或，解得，，，，
此時(shí)和均成立，
故結(jié)論②正確，
由圖可知，
則由得，
解得，即，
同理可得，
由①有，，
則，
解得，
則結(jié)論③正確.
故選：D.
例14．（2023·江蘇省天一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，
所以在和上都遞增，在上遞減，
極大值，極小值，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)3個(gè)不同的實(shí)根為，則，．
，
設(shè)，則，
時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以，又，，
所以的取值范圍是，即為的取值范圍．
故選：A．
例15．（2023·浙江·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，其中，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根、、、，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，，可得，即，
所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的實(shí)根，則，解得，
由已知可得、是方程的兩根，則，
滿足，可得，
滿足，可得，
因此，，
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，則，
因此，.
故選：B.
核心考點(diǎn)六：分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
【典型例題】
例16．（2023·山東青島·高三期末）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不相同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】


在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)分別作出和的圖像如上圖示:
要使方程有4個(gè)不相同的解，
只需和的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，
所以00恒成立，需要，此時(shí),
當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù),
當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,
∴,即
所以當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，，
∴,
記,則,
令，解得
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴,
綜上，的最大值為：，
故答案為：.

核心考點(diǎn)十七：三次函數(shù)問(wèn)題
【典型例題】
例49．（2023·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B
【解析】由，可得，，令，得，又，所以對(duì)稱中心為，所以，…，，.
所以．
故選：B.
例50．（2023·安徽·東至縣第二中學(xué)高三月考（理））人們?cè)谘芯繉W(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)：三次整式函數(shù)都有對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心為（其中）.已知函數(shù).若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得, ,,令，解得：，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為：，又，所以.
故選：C
例51．（2023·全國(guó)·高三月考（文））已知，，，若三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
，即，
得，代入得，
∵，
，解得，
設(shè)三次函數(shù)的零點(diǎn)式為，
比較系數(shù)得，，
故
故選：D.
核心考點(diǎn)十八：切線問(wèn)題
【典型例題】
例52．（2023·云南紅河·高三月考（理））下列關(guān)于三次函數(shù)敘述正確的是（ ）
①函數(shù)的圖象一定是中心對(duì)稱圖形；
②函數(shù)可能只有一個(gè)極值點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，在處的切線與函數(shù)的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，則過(guò)點(diǎn)的切線可能有一條或者三條．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】A
【解析】①的對(duì)稱軸為的軸對(duì)稱圖形，所以必定是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為，所以①正確：（或者可用證明）
②由于函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，如果存在極大值，那么一定存在極小值，故②錯(cuò)誤；
③設(shè)切點(diǎn)為，，斜率，
切線為，所以
，化簡(jiǎn)得：，∴或者，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，切線與有唯一的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，切線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以③正確；
④過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)不一定是，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以，將，，代入化簡(jiǎn)可得：，∴或者，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，切線只有一條，當(dāng)時(shí)，切線有兩條，所以④錯(cuò)誤；
故選：A
例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函數(shù)的圖象與曲線C:存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為,該切線斜率,
所以切線方程為,
的切點(diǎn)為,所以切線方程為,
由于該兩切線方程為同一方程,利用待定系數(shù)法,可得
,解得
得到新方程為,
構(gòu)造函數(shù)解得,表示與存在著共同的交點(diǎn),而過(guò)定點(diǎn),得到過(guò)的切線方程,設(shè)切點(diǎn)為,則,該切點(diǎn)在該直線上,代入,得到,解得,
所以直線斜率為,要使得與存在著交點(diǎn),
則,結(jié)合,所以a的取值范圍為，故選A．
例54．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)切點(diǎn)，，因?yàn)椋矗?br /> 則切線方程為，
由得，
則由題意知，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解．
設(shè)，則，
由得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故的圖像如下圖所示：

故．
故選:D．
核心考點(diǎn)十九：任意存在性問(wèn)題
【典型例題】
例55．（2023·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高三月考（理））若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（ ）
A． B． C． D．.
【答案】D
【解析】
題設(shè)不等式化為，即，
，，
易知是減函數(shù)，時(shí)，，
所以由不等式上恒成立得.
故選：D.
例56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)，總有，使成立，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題意可知：，成立，即，
又對(duì)，，所以，
又可看作與在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，
由，，可取，所以的直線方程為，
設(shè)與平行且與相切于，所以，所以，所以切線為，
當(dāng)與平行且與兩條直線的距離相等時(shí)，即恰好在的中間，
此時(shí)與在縱坐標(biāo)的豎直距離中取得最大值中的最小值，
此時(shí)，則 ，
又因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)或或，
所以的范圍是，
故選：B.
例57．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若，且對(duì)任意恒成立，則k的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
因?yàn)?，且?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.
令（），則.
令（），則，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，?br /> 所以方程在上存在唯一實(shí)根，滿足.
當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，所以，故，
所以，，
所以，故整數(shù)k的最大值是4.
故選：B.
核心考點(diǎn)二十：雙參數(shù)最值問(wèn)題
【典型例題】
例58．（2023·浙江·寧波市北侖中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知，且，對(duì)任意均有，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故與的符號(hào)相同，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，與的符號(hào)相同.
，
令，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，
令，可得，，.
，分以下四種情況討論：
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，
若，若、、均為正數(shù)，
①若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；
②若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.
③若、、都不相等，記，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.
由上可知，，當(dāng)時(shí)，若使得恒成立，則，如下圖所示，

所以，當(dāng)，時(shí)，且，時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，
①若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，其中，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.
當(dāng)時(shí)，由于，則，不合乎題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)、、為正數(shù).
①當(dāng)、、都不相等時(shí)，記，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；
②若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；
③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 不合乎題意.
所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
例59．（2023·山西運(yùn)城·高三期中（理））已知在函數(shù)，，若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題意，
令，
則，恒成立，即恒成立，即

令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減.


令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減；


故選：B
例60．（2023·黑龍江·鶴崗一中高三月考（理））當(dāng)時(shí)，不等式，，恒成立，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
解：設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以，所以在遞增；
時(shí)，，與矛盾，所以不符題意；
當(dāng)時(shí)，令，可得，
當(dāng)，，遞增；
當(dāng)，時(shí)，，遞減．
所以的最大值為，
所以由題意可得，即，
因?yàn)椋裕?br /> 設(shè)（a），
則（a），
當(dāng)時(shí)，（a），（a）遞增，
當(dāng)，時(shí)，（a），（a）遞減，
所以（a）的最大值為，
所以的最大值為．
故選：C．
核心考點(diǎn)二十一：切線斜率與割線斜率
【典型例題】
例61．（2023·廣東·佛山一中高三月考）已知函數(shù) ，在函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)，若直線的斜率的絕對(duì)值都不小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，在單調(diào)遞減， 設(shè).設(shè)則在上單調(diào)遞減，則對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立， 則，解之得或.又，所以.
例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，記，若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)有：，即，解得，
∴，
對(duì)于任意的，都有，即函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減，
∴或，解得．
故選：C
例63．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，且，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可知在上呈增函數(shù)，所以，解得．
故選：D.
核心考點(diǎn)二十二：最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）
【典型例題】
例64．設(shè)二次函數(shù)在上有最大值，最大值為（a），當(dāng)（a）取最小值時(shí)，　　
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】解：在上有最大值（a），
且當(dāng)時(shí)，的最大值為，
即且（a），
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（a）有最小值2，
故選：．
例65．（2023春?紹興期末）已知函數(shù)，，，設(shè)的最大值為，若的最小值為1時(shí)，則的值可以是　　
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】解：因?yàn)?，而函?shù)，，，
因?yàn)椋?，?br /> 且，，，
則，，，，
由題意可得：存在，對(duì)于任意的，使得的最小值為1，
由于在數(shù)軸上的點(diǎn)，和點(diǎn)之間的距離恰好為2，
因此要使的最小值為1，則必有，且，
解得，．
故選：．
例66．（2023?濟(jì)南模擬）已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　
A． B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】解：存在，，使得成立，，
對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，，；
可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，
函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離，
則問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值；
如圖，

記，，連接，則圖中直線的斜率為，
直線的方程為，
設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點(diǎn)，，
又，令，解得，
切點(diǎn)，則切線的方程為，
當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時(shí)，
即恰好處于兩直線正中間的位置時(shí)，
函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離能取得最大值中的最小值，
此時(shí)，此時(shí)，，
．
故選：．
法二：記函數(shù)的最大值為，
由題意可知，對(duì)任意，恒成立，
所以，依題意，，，，，
分別令，0，2，
可得，，，，（2），
所以，，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，
所以．
故選：．
核心考點(diǎn)二十三：兩邊夾問(wèn)題和零點(diǎn)相同問(wèn)題
【典型例題】
例67．（2023春?湖州期末）若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】記，
當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
．
記，
當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以．
由題意，
又因?yàn)?，所以?br /> 故．
另解：正實(shí)數(shù)，，，
令，
當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，
所以 在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增，
所以（1），于是，
于是，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)不等式取等號(hào)，
又，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)不等式取等號(hào)，
，
所以 且，解得，所以．
故選：．
例68．（2023?上饒二模）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為　　
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【解析】不等式，
化為，
即，
所以；
設(shè)，，；
則，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的最大值為（1）；
又，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
所以的最小值為；
此時(shí)滿足，即；
令，解得，所以．
故選：．
例69．（2023?崇明區(qū)期末）若不等式對(duì)，恒成立，則的值等于　　
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】解：當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，即，又，故．
．
故選：．
核心考點(diǎn)二十四：函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題
【典型例題】
例70．（2023·天津一中高三月考）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，
當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，因此當(dāng)時(shí)，，選B.
例71．（2023·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高三期中）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　 )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)闀r(shí)，，
所以,
因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以，
所以，，
又因?yàn)?，恒成立?br /> 故，
解不等式可得或.
例72．（2023屆山西省榆林市高三二模理科數(shù)學(xué)試卷）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，又，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，從而，選C.
【新題速遞】
一、單選題
1．（2023·廣西南寧·南寧二中校考一模）已知函數(shù)，若函數(shù)，存在5個(gè)零點(diǎn)，則（????）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】A
【解析】如圖，先畫(huà)出函數(shù)的圖象.

已知有5個(gè)零點(diǎn)，即方程有五個(gè)實(shí)數(shù)根.
令，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，有三個(gè)實(shí)數(shù)根，可滿足有五個(gè)零點(diǎn).
將代入中，得，解得或.
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，
故選：A.
2．（2023春·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)， 若函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（????）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù)，
所以我們求出時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，
，，令，解得，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，而，故在有1零點(diǎn)，
，故在上有1零點(diǎn)，圖像大致如圖所示：

故在上有2個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)槠錇槠婧瘮?shù)，則其在上也有2個(gè)零點(diǎn)，且，故共5個(gè)零點(diǎn)，
故選：D.
3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的最小值為（????）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【解析】函數(shù)，則函數(shù)在和上分別單調(diào)遞減，
且，則，，
若，不妨設(shè)，且，則，同樣，則
由，得，于是得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.
故選：B.
4．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，則下列說(shuō)法中，正確的是（????）．
A． B．存在a，b，使得
C． D．存在a，b，使得直線與圓相切
【答案】C
【解析】，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)C正確；
圓心到直線的距離
由，故，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，動(dòng)點(diǎn)C在曲線T：上，若△ABC面積的最小值為1，則不可能為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，?
直線的方程為，即.
因?yàn)?，，所?
則點(diǎn)到直線的距離為.
因?yàn)?，，所?
所以.
當(dāng)時(shí)，，
可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
可得當(dāng)時(shí)，，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
可得當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
故不可能為.
故選:D.
6．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為A，B，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（????）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】設(shè)，切點(diǎn)為，
由，得，則，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，
因?yàn)?，所?br /> 在點(diǎn)處的切線方程為，即，
因?yàn)?，所?br /> 因?yàn)閮汕芯€都過(guò)點(diǎn)，
所以，，
所以直線的方程為，即，
所以原點(diǎn)到直線距離為



，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以原點(diǎn)到直線距離的最大值為，
故選：B
7．（2023春·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學(xué)?？计谥校┮阎?，，直線與曲線相切，則的最小值是（????）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以?br /> 切線方程為，
所以，，
所以，又，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值是4.
故選：D.
8．（2023春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則整數(shù)k的最大值為（????）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】對(duì)于任意恒成立
等價(jià)于對(duì)于任意恒成立
令，則
令，則
所以在上單調(diào)遞增，又
所以在有且僅有一個(gè)根，滿足，即
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以
由對(duì)勾函數(shù)可知，即
因?yàn)?，即，?br /> 所以.
故選：C
二、多選題
9．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ?????）
A．在上是增函數(shù)
B．，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為
C．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則
D．若，且，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，則，，
，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
在上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上為增函數(shù)，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，又為正實(shí)數(shù)，，
，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
則由得：，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
，則正實(shí)數(shù)的最小值為，B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，則；
不妨設(shè)，則必有，
若，則，等價(jià)于，
又，則等價(jià)于；
令，則，
，，，，即，
在上單調(diào)遞增，，即，
，可知不成立，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得：，即，
由C知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
，，則，，
，即，；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
即的最大值為，D正確.
故選：ABD.
10．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B． C．為函數(shù)的極大值點(diǎn) D．
【答案】ACD
【解析】由函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，，，
只需有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)根，
設(shè)函數(shù)，則，
令，即，；令，即或，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，，

如圖，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，觀察圖象可知，故B不正確；
對(duì)于C，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，由，即，
令，，
則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，故D正確.
故選：ACD.
11．（2023春·福建寧德·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，為實(shí)數(shù)，則下列條件能使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)的是（????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】ACD
【解析】由已知可得的定義域?yàn)?
對(duì)于A、當(dāng)時(shí)，，
則.
當(dāng)或時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，在處取得極小值.
因?yàn)?且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.
對(duì)于B、當(dāng)時(shí)，，則.
當(dāng)或時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，在處取得極小值.
又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，
故的圖象與軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，
故此時(shí)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)不合題意.
對(duì)于C、當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，
故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.
對(duì)于D、當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，且的圖象連續(xù)不斷，
故的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
故此時(shí)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故該選項(xiàng)符合題意.
故選:ACD.
12．（2023春·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（????）
A．函數(shù)為偶函數(shù)
B．
C．不等式的解集為
D．若方程有兩個(gè)根，則
【答案】ABD
【解析】，函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> 由，有，
即，函數(shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；
由，得，
即，∴，
有，得，
∴，
得，，故選項(xiàng)B正確；
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，有，即，不合題意，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
方程，即，
方程有兩個(gè)根，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，其中函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸方程為，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
若方程有兩個(gè)根，則有，
此時(shí)，即，
若且，則有，
∴，∴，得，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
13．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A，，
，時(shí)，，取得最大值，
直線是函數(shù)圖象的切線，且過(guò)點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；
B，，，時(shí)，，，，此時(shí)是函數(shù)的最大值，
直線是函數(shù)圖象的切線，且過(guò)點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；
C，，，
時(shí)，，，
過(guò)點(diǎn)的切線方程是，即，因此該切線過(guò)圖象上的兩個(gè)以上的點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；
D，，，令，
則，所以即是R增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)，它們的切線斜率相等，也就不存在切線過(guò)圖象上的兩點(diǎn)，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)”．
故選：ABC．
14．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：，曲線E：，記兩條曲線過(guò)點(diǎn)的切線分別為，，且斜率均為正數(shù)，則（????）
A．若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)
B．若，，則C與E有一個(gè)交點(diǎn)
C．若，則與E夾角的正切值為
D．若，則與夾角的余弦值為
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，若，，則，
因?yàn)殡p曲線C：的漸近線為，
所以曲線E：與雙曲線C的漸近線為平行，
所以C與E有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，若，，則曲線E：，與雙曲線C：聯(lián)立，
則，即，令，
則，則由有，由有，
所以，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，曲線E：，對(duì)于雙曲線C：，易知過(guò)點(diǎn)的切線的斜率顯然存在，
設(shè)切線方程為 ，與聯(lián)立有：，
由，解得，
因?yàn)樾甭示鶠檎龜?shù)，所以為：，
則與E夾角的正切值為，故C正確；
對(duì)于D，若，曲線E：，則，則，
則為： ，其方向向量 ，又為：，其方向向量 ，
所以 ，故D錯(cuò)誤.
故答案為：AC.
三、填空題
15．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）正實(shí)數(shù)，滿足，，則的值為_(kāi)___________．
【答案】1
【解析】解法一：由，得，又因?yàn)椋?br /> 所以，是方程的兩個(gè)解，
設(shè)函數(shù)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，
則函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，
所以，∴．
解法二：因?yàn)?，所以，，即?br /> 設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∵，，∴，
∴，，∴．
故答案為：1．
16．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，設(shè)，且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間，，內(nèi)，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，
即在上單調(diào)遞增，又，，
所以在上有唯一的零點(diǎn)，
，，，，
所以在上單調(diào)遞減，
又，
，
所以在有唯一的零點(diǎn)．
則的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
所以零點(diǎn)均在區(qū)間中的最大值為，的最小值為，
所以的最小值為．
故答案為:11.
17．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）方程有唯一的實(shí)數(shù)解，實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】令函數(shù)，依題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)且時(shí)，
，則在上存在唯一零點(diǎn)，因此，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)，因此，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
18．（2023春·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，且的最大值為4，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．
【答案】
【解析】令，
令解得，因此在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
，的另一個(gè)根在，因?yàn)?，若的最大值?，則和不能同時(shí)大于零；
令，在單調(diào)遞增
設(shè)，，的最大值為4，即時(shí)，上的一點(diǎn)切線和平行，此時(shí)這一切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，而，因此，由此可得，解得，故
，即
，解得或，因?yàn)?，所?br /> 故答案為：
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，，滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
【答案】,
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)?，與矛盾，
當(dāng)時(shí)，上式為，
令，則，，
，
令，，
，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以在上，，，單調(diào)遞減，
在上，，，單調(diào)遞增，
所以，趨向于0或時(shí)，均趨向于，
所以，即，
所以或，故的取值范圍為,．
故答案為：,．
20．（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】令，依題意對(duì)恒成立，
，
若，則對(duì)恒成立，符合題意；
若，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
所以，所以，解得.
若 ，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故.
所以，所以，所以，所以.
綜上所述：的取值范圍為.
故答案為：



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