專題3. 三角與導(dǎo)數(shù)壓軸的五大類型（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個核心專題）-教案下載-教習網(wǎng)

專題3.三角與導(dǎo)數(shù)壓軸的五大優(yōu)質(zhì)基因一．基本原理三角與導(dǎo)數(shù)壓軸是近年來比較熱門的題型之一，它為導(dǎo)數(shù)壓軸題目帶來了新的活力，既然如此，這個題型也一定有它獨到的地方，本文就詳細地梳理了我認為它可能會被選擇作為壓軸的五大特色優(yōu)質(zhì)基因，它們分別是：1.逐段討論. 三角函數(shù)的周期性和有界性導(dǎo)致了一些綜合問題中需要逐段討論，這樣的討論中對取點，估計，以及函數(shù)的性質(zhì)等考察力度均很大，對考生要求很高.2.無窮零點. 用一個正余弦函數(shù)去乘指對函數(shù)，就會導(dǎo)致有無窮多個零點出現(xiàn)，這是其他指對函數(shù)沒有的特性，我們甚至可進一步討論這無窮個零點直接的關(guān)系.3.震蕩上行，以為例，由于的有界性，若出現(xiàn)三角函數(shù)+增函數(shù)結(jié)構(gòu)時，會出現(xiàn)震蕩上行，會出現(xiàn)存在實數(shù)，使得當時，有能成立，這樣的命題形式，此時，必要性分析是一個很重要的手段.4.配合三角恒等式. 配合三角恒等式就可以做到更強的綜合性，需要考生有很強的觀察能力.5.三角不等式與放縮.一些重要的三角不等式，例如，，以及均值不等式等等，在一些三角恒成立或者極值點偏移問題中會用到.二．典例分析特色1. 逐段討論三角與導(dǎo)數(shù)綜合的零點個數(shù)問題的處理的關(guān)鍵就是零點存在唯一性定理，即弄清楚單調(diào)性和端點值.前者通過導(dǎo)數(shù)完成，這一塊要注意往往可能需要高階導(dǎo)數(shù)，這是由三角函數(shù)求導(dǎo)的特征所決定的！后者要注意三角函數(shù)的有界性，往往過了某個范圍后，函數(shù)恒正或者恒負，不再出現(xiàn)零點，這就決定了分段討論，而分段的依據(jù)主要是由三角函數(shù)的取值象限來進行，等.除此之外，有的區(qū)間上找點時注意不等式放縮，從而減少找點的難度！總結(jié)起來，有關(guān)三角函數(shù)的零點問題處理主要手段有：（1）分段處理；（2）討論好單調(diào)性與端點（特殊點），注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直到能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；（3）關(guān)注有關(guān)三角的不等式放縮，有時候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點過程！；；.例1.（全國1卷）已知函數(shù).（1）若為的導(dǎo)函數(shù)，證明：在上存在唯一的極大值點；（2）證明：有且僅有兩個零點.解答：（1）由題意知：定義域為：且，令，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.下面考慮端點值：因為，，使得. 當時，；時，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點. 即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點.（2）由（1）知：，.下面分區(qū)間逐次討論：①．當時，由（1）可知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點.②．當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點.又，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.考慮端點值：由于.在上恒成立，此時不存在零點.③．當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減又，.即，又在上單調(diào)遞減.在上存在唯一零點.④.當時，，，，即在上不存在零點. 綜上所述：有且僅有個零點.特色2. 無窮零點例2（天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明：；（3）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，試證明：.解析：（3）首先我們需要把區(qū)間內(nèi)的零點搬到熟悉的區(qū)間上來，這一點可通過變換實現(xiàn)，令，故，且.這樣我們就把題干轉(zhuǎn)化到第（2）問的條件下了.下面我們來利用改寫題干條件，即證：.由于，故只需證①即可.由于，故證明①成立，只需等價于證明：②，結(jié)合的表達式可知，不等式②成立等價于③即可，看到這里，是不是發(fā)現(xiàn)跟第（2）問的神似之處！另一方面，注意到以及第（2）問的結(jié)論，可得：④.故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能說明，整個題目就解決了！而這個步驟，就需要第（1）問，由于且滿足對于，，且在上減，故，證畢！特色3.震蕩上行函數(shù)的拐點分析例3.（2021武漢高三畢業(yè)班二診）．已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若存在實數(shù)，使得當時，有能成立，求的值．解析：（1）時，．．∴切線方程為：．整理得：．（2）．令，得．．（ⅰ）當時，為上的減函數(shù)，．∴時，，遞增．又此時，故時，，遞減．時，，遞增．∴時，，遞增．由．故時，．時，．此時，存在使時，，滿足條件．（ⅱ）當時，，，遞增．此時，．故存在使得．當時，遞增．∴時，，遞減．即時，，不存在，使時，．（ⅲ）當時，，令，得．∴時，遞減，遞減．即時，，不存在，使時，．（ⅳ）當時，在遞減．遞減．故時，，不存在，使時，．綜上所述：．特色四.三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式例4．定義在上的函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積；(2)將的所有極值點按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.解析：（1）當時，，故.曲線在點處的切線的斜率為，曲線在點處的切線方程為，令.所以切線與軸的交點.此時所求三角形的面積為.（2），當時，.由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域為，故存在唯一，使得.此時當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.此時當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，因此.由.同理：.由，整理得：. 又，故，則有，由，故或.又，當時，不滿足，舍去. 所以，即，則. 綜上所述，.特色5.三角放縮例7.設(shè)，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A． B．C． D．解析：由于，故.另一方面，由于，故.再對也用帕德逼近故，故.例8（1）求證時，；（2）當時，，證明不等式恒成立.解析：（1）證明：令，，顯然對恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而，故在上單調(diào)遞增，從而即時，恒有成立. （2）對于由（1）得①②，故對，，要證，只要證即證（*），當時，（*）顯然成立；當時，即證.令，則，時有，故在上單調(diào)遞增，所以從而在上單調(diào)遞增，所以，即(*)成立.終上所述:當時，，不等式恒成立.