1、與
2、前n項積
3、因式分解型
如果式子中出現(xiàn)了2次項或者正項數(shù)列這些條件，可能需要因式分解
例：設(shè)正項的前項和為
（1）若滿足,,數(shù)列的通項公式為__________
（2）若，，的通項公式為_____________
（3）若，，的通項公式為____________
【答案】（1）；（2）；（3）
4、累加法（疊加法）
若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項時，利用累加法求通項公式。
具體步驟：
，將這個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=
5、累乘法（疊乘法）
若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法
具體步驟：
，
將這個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
6、構(gòu)造法
類型1： 用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列
形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式.
類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可求得的通項公式.
（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項公式.
（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，便可求得的通項公式.
7、倒數(shù)型
用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列
類型1：形如：（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列）
8、隔項等差數(shù)列（和為等差）
已知數(shù)列，滿足，（k≠0）
則；
；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：
①構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
②構(gòu)成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
9、隔項等比數(shù)列（積為等比）
已知數(shù)列，滿足，
則；
（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：
①構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
②構(gòu)成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
10、和為等比數(shù)列（和為等比）
已知數(shù)列，滿足，
則
，再通過累加法和錯位相減求出的通項公式
【題型1】Sn與an
已知數(shù)列滿足：對任意，有，求數(shù)列的通項公式
【答案】(1)
【分析】當(dāng)時，易知，當(dāng)時，有遞推關(guān)系可知，將其與與原遞推關(guān)系作差，即可得到結(jié)果，再檢驗是否滿足，進(jìn)而得到結(jié)果；
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，故，
當(dāng)時，，則
，
故，
當(dāng)時，上式亦滿足；
綜上，
（湖南師大學(xué)附中月考）已知數(shù)列的前項和為，若，，則有（ ）
A．為等差數(shù)列B．為等比數(shù)列
C．為等差數(shù)列D．為等比數(shù)列
【答案】D
【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項；根據(jù)，得到即可判斷CD選項.
【詳解】由題意，數(shù)列的前項和滿足，
當(dāng)時，，兩式相減，可得，
可得，即，又由，當(dāng)時，，所以，
所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，所以AB錯.
當(dāng)時，，又由時，，適合上式，
所以數(shù)列的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故D正確，C錯.
已知數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式________
【答案】
【解析】當(dāng)時，，作差得，即當(dāng)時，是公比為3的等比數(shù)列，而，則，故
（重慶實驗外國語學(xué)校月考）（多選）若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項和則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列的通項，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯誤；先放縮，再利用裂項相消求和可證明D正確.
【詳解】，故A正確；
由知，，
兩式相減得，
故，故當(dāng)時，為常數(shù)列，
故，故，故，故B正確；
，故C錯誤；
，
故，故D正確
設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，求
【詳解】由題意知，，
又，得．
當(dāng)時，由，得，得．
則數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
所以．
又，則．
當(dāng)時，，
又滿足上式，
所以．
【題型2】前n項積
對于數(shù)列，前項積記為； ①；②
則①②：
已知數(shù)列的前n項和為，在數(shù)列中，，，，求數(shù)列，的通項公式
【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時
.
∴
當(dāng)時，，也滿足上式．所以
當(dāng)時，，∴
當(dāng)時，，符合上式
當(dāng)時，，所以，也符合上式，綜上，
∴，.
（江蘇連云港，南通調(diào)研）已知數(shù)列的前項積為，且，求的通項公式
【答案】；
【詳解】（1）由數(shù)列的前項積為，得，又，
所以，當(dāng)時，，整理得，即，
所以，當(dāng)時，為定值，
因為，令，得，，故，
所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，得.
所以，當(dāng)時，，顯然符合上式，所以.
2021·全國高考乙卷（理）——前n項積，消求
記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;
（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
[方法二]【最優(yōu)解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當(dāng)時，．
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當(dāng)n=1時，,
當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【題型3】因式分解型（正項數(shù)列）
正項遞增數(shù)列的前項和為，，求的通項公式；
【答案】或
【詳解】當(dāng)時，，解得或.
當(dāng)時，，即，解得或，∴.
當(dāng)時，，即，解得.
由，
當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
當(dāng)時，，所以，即，
∴或.
已知各項都是正數(shù)的數(shù)列，前項和滿足，求數(shù)列的通項公式.
【答案】
【詳解】當(dāng)時，，所以或（舍去），
當(dāng)時，有
兩式相減得，
整理得，
因為的各項都是正數(shù)，所以，
所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以
已知為數(shù)列的前n項和，，,求數(shù)列的通項公式.
【答案】
【詳解】當(dāng)時,，,則,
當(dāng)時，，則,
兩式相減得：
即
即
∵，∴,
∴數(shù)列是2為首項，公差為2的等差數(shù)列，∴.
【題型4】已知等差或等比求通項
注意與消Sn的方法進(jìn)行區(qū)分
（湖北省黃岡市9月調(diào)研）設(shè)等差數(shù)列前項和，，滿足，，求數(shù)列的通項公式
【答案】
【詳解】依題意有，
，，
又為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
，
（蘇州市期初調(diào)研）已知等比數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式及它的前n項和.
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，∵，
∴，解得，，
∴，
（佛山二模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項和為，滿足，求數(shù)列的通項公式
【答案】.
【詳解】設(shè)的公比為，則，又，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
兩式相減可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比數(shù)列的通項公式為
（濰坊一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足，求的值及數(shù)列的通項公式.
【答案】，
【分析】當(dāng)時，，兩式相減得，由，可求出的值
【詳解】因為，所以時，，所以.
又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，
綜上
【題型5】累加法（疊加法）
在數(shù)列中，，，則
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】試題分析：在數(shù)列中，
已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：
，
所以，則
已知數(shù)列滿足，，，且，求數(shù)列的通項公式.
【詳解】因為，，，，
可得，，
又，
則當(dāng)時，
，
上式對也成立，所以，
【題型6】累乘法（疊乘法）
數(shù)列滿足，，則
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數(shù)列的通項，再利用錯位相減法求其前2021項的和，從而得到結(jié)果.
【詳解】由得：，
；
設(shè)，
則，
，
，
，即，，，
.
已知數(shù)列的首項為1，前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式 .
【答案】n
【詳解】解：∵，∴
當(dāng)時，，
當(dāng)時，成立，
∴，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，滿足上式，
∴.
（2022·新高考1卷）為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列，求的通項公式.
【答案】(1)
【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，∴的通項公式
已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，求的通項公式.
【答案】(1)，
【詳解】解：時，，解得.
當(dāng)時，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通項公式為，.
【題型7】構(gòu)造：等差、等比，常數(shù)列
（2020·全國Ⅲ卷）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，，求an.
【詳解】［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即．
證明如下：
當(dāng)時，成立；
假設(shè)時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
［方法二］：構(gòu)造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構(gòu)造法
，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數(shù)列，故，即．
【點評】方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項從而歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項公式；
方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項公式；
方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項，歸納得出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項公式
已知數(shù)列的前n項和為，且，求數(shù)列的通項公式；
【詳解】（1）當(dāng)時，，即.
當(dāng)時，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以數(shù)列為常數(shù)列，
所以，即.
已知數(shù)列的前n項和為，，且，求通項公式．
【解答】
又
是以2為公比和首項的等比數(shù)列
，即
已知數(shù)列中，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】
所以所以數(shù)列是一個以2為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
所以.
數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為 .
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
在數(shù)列中，，且對任意的，都有，求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【詳解】由，可得
又，，
所以.
所以首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以.
所以.
又滿足上式，所以
廣東省廣州市2023屆高三綜合測試（一）
已知數(shù)列的前項和為，且，求.
【答案】(2)
【詳解】（1）由，得，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
兩式相減得，即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以
2023·廣東惠州一模
已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【詳解】當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，．
可得，
整理得：，
從而，
又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；
所以，
所以，經(jīng)檢驗，滿足，
綜上，數(shù)列的通項公式為.
已知數(shù)列滿足，，則=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，即可得解.
【詳解】解：因為，
所以，即，
等式兩邊開方可得：，即，
所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以.
【題型8】取倒數(shù)型
已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】由兩邊取倒數(shù)可得，即．
所以數(shù)列是首項為2，公差為3等差數(shù)列.
所以，所以．
在數(shù)列中，若，則 .
【答案】
【分析】通過取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列是等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得.
【詳解】取倒數(shù)得:，
所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，所以.
已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對所給式子化簡、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式，即可得到答案.
【詳解】因為，由遞推知，，所以，
則，有，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，所以
則，所以.
【題型9】取倒數(shù)后進(jìn)行構(gòu)造
已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】對所給式子化簡、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式，即可得到答案.
【詳解】因為，由遞推知，，所以，
則，有，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，所以
則，所以.
在數(shù)列中，，，且滿足，則 .
【答案】
【分析】由遞推公式兩邊同除得到，即可得到，即可得到是以為首項、為公比的等比數(shù)列，則，再利用累加法求出，即可得到數(shù)列的通項公式；
【詳解】解：因為，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以，所以
所以
重慶市巴蜀中學(xué)校高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考（九）
（多選）已知數(shù)列的前n項和為，，且（，2，…），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】對于A選項，只需判斷；
對于B選項，通過通項公式可求得；
對于C選項，將條件轉(zhuǎn)化為，可判斷錯誤；
對于D選項，將數(shù)列放縮成等比數(shù)列求和，可判斷正確.
【詳解】由條件，兩邊同時除以，得，
∴∴，∴，
對于A選項，∵，∴，∴，故A選項正確；
，，所以B選項錯誤；
對于C選項，，等價于，由極限思想知，當(dāng)時，，故C選項錯誤；
對于D選項，，
∴
，又∵，所以D選項正確.
【題型10】隔項等差數(shù)列求通項（和為等差）
已知,求的通項公式．
【答案】；
思路點撥：根據(jù)題意： ，可推出 ，兩式作差 ，判斷為隔項等差數(shù)列
解答過程
由 ，可推出 ，兩式作差
所以 是隔項等差數(shù)列：
① 構(gòu)成以 為首項的等差數(shù)列，公差為
② 構(gòu)成以 為首項的等差數(shù)列，公差為
下結(jié)論
求通項
當(dāng) 為奇數(shù)： 為第 項：
求通項
當(dāng) 為偶數(shù)： 為第 項：
綜上：無論 為奇數(shù)還是偶數(shù)： .
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，,求數(shù)列的通項公式.
【答案】
【詳解】解：由，
當(dāng)時，，
∴，又，，∴。
當(dāng)時，，
∴為奇數(shù)時， ；當(dāng)時，，
∴為偶數(shù)時，，∴
已知數(shù)列中，對任意的,都有，，求的通項公式．
【答案】
【解析】由條件，可得：
兩式相減得： ……7分
因為，所以，數(shù)列的奇數(shù)項是首項為3，公差為4的等差數(shù)列；
……8分
偶數(shù)項是首項為1公差為4的等差數(shù)列． ……9分
綜上： ……10分
【題型11】隔項等比數(shù)列求通項（積為等比）
已知正項等比數(shù)列對任意的均滿足，，求的通項公式；
【答案】
思路點撥：根據(jù)題意： ，可推出 ，兩式作商 ，判斷為隔項等比數(shù)列
解答過程：
由 ，可推出 ，兩式作商
所以 是隔項等比數(shù)列：
① 構(gòu)成以 為首項的等比數(shù)列，公比為 ；
② 構(gòu)成以 為首項的等比數(shù)列，公比為 ；
下結(jié)論
求通項
當(dāng) 為奇數(shù)： 為第 項：
求通項
當(dāng) 為偶數(shù)： 為第 項：
綜上： .
山東省濟南市二模
（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．
【答案】ABC
【詳解】，，，即，則，A正確；
顯然有，于是得，
因此數(shù)列，分別是以1，2為首項，2為公比的等比數(shù)列，B正確；
于是得，，
則，，C正確，D不正確.
2023·廣東深圳二模
已知數(shù)列滿足，，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明:數(shù)列中的任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】(1) 由 得,分奇偶項分別求通項，最后寫出通項公式；
(2) 假設(shè)數(shù)列中存在三項數(shù)列 (其中）成等差數(shù)列，應(yīng)用反證法得出矛盾證明即可.
【詳解】（1）由 ，得
以上兩式相比，得,
由，得,
所以，數(shù)列是首項為3，公比4為的等比數(shù)列，,
數(shù)列是首項為6，公比為4的等比數(shù)列，,
綜上，數(shù)列的通項公式為 .
（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項數(shù)列 (其中）成等差數(shù)列，則 .
由（1）得，即,兩邊同時除以，得(*)
(*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)
(*）等式不成立，假設(shè)不成立.
所以，數(shù)列中得任意三項均不能構(gòu)成等差數(shù)列
【題型12】和為等比數(shù)列求通項
已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前n和.
【答案】
思路點撥：根據(jù)題意： ，可推出 ，兩式作差
變換下標(biāo)，寫成
所以 ， ，．．．．．．．
累加，得
累加
求通項
所以數(shù)列 的前n和為
求和
（2023·重慶巴南·一模）在數(shù)列中，已知，，求的通項公式．
【答案】
【分析】通過湊配法證得是等比數(shù)列.
【詳解】（由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
.
已知數(shù)列滿足，，．
(1)求的通項公式．
(2)若數(shù)列的前項和為，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）將兩邊同時加，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明可得，再構(gòu)造數(shù)列，求解首項分析即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項公式可得，參變分離可得，再根據(jù)的單調(diào)性求解最大值即可.
【詳解】（1）由可得，且，
故是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）為等比數(shù)列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
設(shè)，則，
令有，故當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小.
又，故為的最大值，為，所以，
2023·浙江杭州·統(tǒng)二模
設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項，代入題中式子求解即可；
（2）列出通項公式，根據(jù)通項求出的前n項和，再根據(jù)通項求出的前2n項和，兩式相減解得的通項公式，最后分組求和求出數(shù)列的前n項和.
【詳解】（1），設(shè)公差為d，首項為
，因為公差不為0，所以解得，
，數(shù)列的通項公式為，.
（2）
①
②
得，解得
【題型13】奇偶數(shù)列：奇偶項遞推公式不同
2021·新高考1卷T17（1）
已知數(shù)列滿足，，記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式
【答案】
【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：
顯然為偶數(shù)，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，
數(shù)列從第一項起，
若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數(shù)列滿足．
所以，
，
則
．
所以，數(shù)列的通項公式．
已知數(shù)列滿足，，記，求證：為等比數(shù)列
【分析】由可知結(jié)合可得進(jìn)而可證為等比數(shù)列；
【詳解】證明：且
，
又
，為以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.
2023·巴蜀中學(xué)高三?？?br>已知數(shù)列滿足：①；②，求的通項公式
【答案】
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，令，則，
當(dāng)為偶數(shù)時，令，則，
則，
當(dāng)時，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以，則，
當(dāng)為奇數(shù)時，由，則，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時，由，則，所以，
所以
福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考
大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，求的通項公式
【答案】
【詳解】當(dāng)為奇數(shù)且時
，
累加可得
，時也符合；
當(dāng)為偶數(shù)且時，
累加可得
；
則
山東省聊城市高三下學(xué)期第一次模擬
已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足,求數(shù)列和的通項公式．
【答案】，
【分析】由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項，從而可得的通項公式；
【詳解】，得，
因為，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
則，故，
所以
已知數(shù)列滿足，，，令，寫出，，并求出數(shù)列的通項公式；
【答案】，，
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，，，
當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，，
當(dāng)時，，即，
則，，
數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，
故.與同時存在
角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系
用，得到
例：已知，求
角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系
替換題中的
例：已知；
已知
角度3：等式中左側(cè)含有：
作差法
（類似）
例子：已知求
前n項積
角度1：已知和的關(guān)系
角度1：用，得到
例子：的前項之積.
角度2：已知和的關(guān)系
角度1：用替換題目中
例子：已知數(shù)列的前n項積為，且.

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