\l "_Tc17644" 二、典型題型 PAGEREF _Tc17644 \h 2
\l "_Tc3611" 題型一：隔項等差數(shù)列 PAGEREF _Tc3611 \h 2
\l "_Tc3241" 題型二：隔項等比數(shù)列 PAGEREF _Tc3241 \h 3
\l "_Tc29341" 三、專題04 數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練 PAGEREF _Tc29341 \h 5
一、必備秘籍
1、隔項等差數(shù)列
已知數(shù)列，滿足，
則；
（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等差數(shù)列，其中：
①構成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
②構成以為首項的等差數(shù)列，公差為；
2、隔項等比數(shù)列
已知數(shù)列，滿足，
則；
（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項等比數(shù)列，其中：
①構成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
②構成以為首項的等比數(shù)列，公比為；
二、典型題型
題型一：隔項等差數(shù)列
例題1．（2023春·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的前100項和；
(2)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)10000
(2)an＝2n－1
【詳解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)
＝4×502＝10 000.
（2）an＋1＋an＝4n，①
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，
由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.
當n為奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)時，，
綜上所述，.
例題2．（2020·高二單元測試）數(shù)列滿足，，求.
【答案】為奇數(shù)，為偶數(shù)
【詳解】由，得，
兩式作差得，即
又
∴數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項構成以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
偶數(shù)項構成以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.
則當n為奇數(shù)時，；
當n為偶數(shù)時，.
∴.為奇數(shù)，為偶數(shù)
例題3．（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知數(shù)列，，，，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和；
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
當時，
當時，
所以
則當為偶數(shù)時，
累加得：，所以
當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，則此時，
綜上可得
所以，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
其前n項和
題型二：隔項等比數(shù)列
例題1．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1），，
兩式相比得．
，．
數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列是以為首項，4為公比的等比數(shù)列．
．
綜上，的通項公式為．
例題2．（2023春·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項和，，．
(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)是等比數(shù)列，
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
又，所以，
因為，
所以，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以.
例題3．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學考試）在數(shù)列中，，且．
(1)證明：，都是等比數(shù)列．
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為，且，所以，．
因為，故，
所以，，
則，都是公比為16的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，都是公比為16的等比數(shù)列，所以，，
故對任意的
三、專題04 數(shù)列求通項（隔項等差（等比）數(shù)列）專項訓練
一、單選題
1．（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題設，且，
所以，即，
當且時，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則；
當且時，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則；
.
故選：B
二、多選題
2．（2023春·廣東韶關·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．是的前項和，則
C．當為偶數(shù)時D．的通項公式是
【答案】AD
【詳解】數(shù)列滿足，，
因為，，所以，
，B錯；
由題意，①，②，
由②①得，，由，，所以，
當為奇數(shù)時，設，
則，
當為偶數(shù)時，設，
則，
綜上所述，對任意的，，C錯D對；
，A對.
故選：AD.
三、解答題
3．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知為數(shù)列的前項和，，．
(1)證明：．
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
【詳解】（1）當時，，則，而，則，
當時，由，得，兩式相減得，
又，滿足上式，
所以當時，．
（2），
因此的奇數(shù)項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，
的偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，，于是，
所以的通項公式是．
4．（2023春·四川德陽·高二統(tǒng)考期末）已知正項等比數(shù)列對任意的均滿足．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）設公比為，
由，得當時，，
兩式相除得，所以，
又，則，所以（舍去），
所以；
5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項公式.
【答案】.
【詳解】在數(shù)列中，由，得，當時，，
兩式相除得：，因此數(shù)列構成以為首項，為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列構成以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是，
所以數(shù)列的通項公式是.
6．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列滿足：，求通項.
【答案】
【詳解】因為，
所以當時，，
當時，，
兩式相減得：，
構成以為首項，2為公差的等差數(shù)列；
構成以為首項，2為公差的等差數(shù)列，
，
，
7．（2023春·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：由，
當時，，
∴，
又，，
∴。
當時，，
∴為奇數(shù)時， ；
當時，，
∴為偶數(shù)時，
∴；
8．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：.
(1)當時，求數(shù)列中的第10項；
(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，證明見解析
【詳解】（1）由已知，
所以，
相除得；
又，
所以，
所以.
（2）假設存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，
由得，
由，得，
因為是等比數(shù)列，，即，
下面證明時數(shù)列是等比數(shù)列，
由（1）知數(shù)列和都是公比是的等比數(shù)列，
所以，；
所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，
所以對一切正整數(shù)，都有，
所以，
所以存在正數(shù)使得數(shù)列是等比數(shù)列.
9．（2022秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校?？计谀┰跀?shù)列中，已知，．
(1)求證：是等比數(shù)列．
【答案】(1)證明詳見解析
(2)
【詳解】（1）由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
10．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
【答案】(1)
【詳解】（1）解:由題知①,
因為,
所以,
解得,
當時,②,
①-②可得:
,
所以當為奇數(shù)時,
,,,
以上式子相加可得:
,
化簡可得,滿足上式，
所以當為偶數(shù)時,
,,,
以上式子相加可得:
,
化簡可得,滿足上式，
綜上: ;
11．（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知等比數(shù)列對任意的滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
【答案】(1)
【詳解】（1）設等比數(shù)列公比為q，則有，兩式相除化簡得，解得，
又，可得.
∴數(shù)列的通項公式.
12．（2022秋·湖北襄陽·高二襄陽四中?？茧A段練習）已知數(shù)列，且滿足，有.
(1)求數(shù)列的通項公式：
【答案】(1)
【詳解】（1）由題設知，且，
易得，所以.
因為，①
所以，②
①②得，，
所以數(shù)列分別以為首項，公比都是4的等比數(shù)列，
從而，
所以.
即所求數(shù)列的通項公式為所以.
13．（2022秋·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）數(shù)列中，．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由①②，
②-①，
∴的奇數(shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，
由，∴，
∴，∴，n為奇數(shù)，
，∴，n為偶數(shù)．
∴.

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