2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_10數(shù)列放縮通項(xiàng)證明不等式與數(shù)列不等式恒成立問題練習(xí)學(xué)生版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．常見的裂項(xiàng)公式：必須記
例如：或者等
2.一個(gè)重要的指數(shù)恒等式：
次方差公式
這樣的話，可得：，就放縮出一個(gè)等比數(shù)列.
3.糖水不等式
分子分母同加常數(shù)：
常見放縮公式：（太多了，不一定要全部記，自行選擇）
一、等差型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
二、根式型
（5）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
三、指數(shù)型
（10）；
（11）；
（12）；
（13）．
（14）．
題型一求和后放縮
已知，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：
已知為，證明：．
已知，設(shè)，記，證明：.
已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.
題型二放縮通項(xiàng)再裂項(xiàng)相消求和
已知，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且，設(shè)，求證：．
設(shè)求證：
已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：
已知，記，，．證明：當(dāng)時(shí)，．
已知，若，為的前n項(xiàng)和，證明：．
已知數(shù)列，設(shè)，求證：
已知，的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
【詳解】，則，.
，則.
∴
.
∴
題型三放縮成等比數(shù)列
（2014全國2卷）已知，證明：.
已知，證明：
已知，記，求證：．
【解析】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
所以．
記，證明：．
已知，數(shù)列，證明：.
已知數(shù)列，，求證：對(duì)任意的且，有
已知，求證：對(duì)任意的，．
題型四根式的放縮
的整數(shù)部分是（）
A．3B．4C．5D．6
2023屆·廣東省綜合素質(zhì)測(cè)試（光大聯(lián)考）
已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：
已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：
（2021浙江卷）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
題型五跳過第一項(xiàng)再放縮求和
已知，設(shè)數(shù)列，證明：．
已知數(shù)列滿足且，求證：．
已知，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.
已知，證明：．
題型六利用重要不等式放縮
設(shè)求證
題型七通過糖水不等式進(jìn)行放縮
求證
題型八放縮后錯(cuò)位相減求和
2024屆·廣州·仲元中學(xué)?？?br>已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為是公比大于0的等比數(shù)列，，
(1)求和的通項(xiàng)公式：
(2)記，證明：
題型九數(shù)列恒成立問題
已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足,數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍.
已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
已知數(shù)列{an}對(duì)任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實(shí)數(shù)λ的最大值為 .
數(shù)列滿足，若對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
已知，若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）
A．B．C．D．
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
已知，，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，求使得不等式成立的的最小值.
已知數(shù)列中，，滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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