一、錯位相減法
類型一：（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）
類型二：（其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列）
二、裂項相消法
類型一：等差型
= 1 \* GB3 ①；②
類型二：無理型
類型三：指數(shù)型
裂項相消進(jìn)階
1、裂項相加：(-1)n
例：，本類模型典型標(biāo)志在通項中含有乘以一個分式.
對于可以裂項為
2、等差數(shù)列相鄰2兩項之積構(gòu)成的的新數(shù)列
例如：
一般式，當(dāng)公差為k時：
3、一次乘指數(shù)型：分母為一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘
例子：
一般結(jié)構(gòu)
三、分組求和法
3.1如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.
3.2如果一個數(shù)列可寫成的形式，在求和時可以使用分組求和法.
四、倒序相加法
即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和
【題型1】錯位相減
已知，若數(shù)列滿足，求和：．
記數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)m為整數(shù)，且對任意，，求m的最小值．
差比數(shù)列的其它處理方式（待定系數(shù)法）
已知，求.
【題型2】裂項相消（常規(guī)）
已知，證明：.
已知，數(shù)列前項和，記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證
已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，
(1)求，(2)求
已知，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
對式子變形后再裂項：一般是分離常數(shù)
已知，設(shè)，求數(shù)列的前項和．
已知，記，數(shù)列的前項和為，求.
已知，若，求數(shù)列的前項和.
已知，證明：.
【題型3】分組求和
已知，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．
已知，設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
已知，設(shè)為數(shù)列在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列前100項的和.
已知數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足，其中．
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和．
【題型4】裂項相消（進(jìn)階）
一、裂項相加：(-1)n
例：，本類模型典型標(biāo)志在通項中含有乘以一個分式.
對于可以裂項為
二、等差數(shù)列相鄰2兩項之積構(gòu)成的的新數(shù)列
例如：
一般式，當(dāng)公差為k時：
三、一次乘指數(shù)型：分母為一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘
例子：
一般結(jié)構(gòu)
若，數(shù)列滿足，的前n項和為，求
已知，若，求的前n項和.
已知，，求數(shù)列{}的前n項和
已知，，求數(shù)列{}的前n項和.
已知，設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.
已知，若，求數(shù)列的前n項和
已知，，求數(shù)列的前項和．
已知，記，為數(shù)列的前n項和，求．
已知，設(shè)，證明：.
【題型5】并項求和
一般來說，并項求和的計算量比分組求和要小
已知，若，求數(shù)列的前項和.
（2023秋·湖南長郡中學(xué)?？迹┮阎菙?shù)列的前項和，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則 .
已知，記，求數(shù)列的前30項的和.
已知，設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和.
【題型6】倒序相加
“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，在數(shù)論?代數(shù)學(xué)?非歐幾何?復(fù)變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).我們高中階段也學(xué)習(xí)過很多高斯的數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法等等.已知某數(shù)列的通項，則（ ）
A．B．C．D．
【題型7】S2n與S2n-1下標(biāo)的討論和處理
已知數(shù)列
（1）求數(shù)列的前20項和
（2）求數(shù)列的前項和.
（3）求數(shù)列的前項和.
（4）求數(shù)列的前項和
已知，記的前n項和為，，求n的最小值.
（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知，若，求數(shù)列的前n項和．
【題型8】通項含有(－1)n的類型
已知，若，求數(shù)列的前項和．
解題思路點撥：代入得：注意到通項中含有“”，會影響最后一項取“正還是負(fù)”，通過討論的奇偶，結(jié)合分組求和.
奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧
（注意到本例求解的，代入最后一項，是正，還是負(fù)，需要討論）（討論時優(yōu)先討論為偶數(shù)）
為奇數(shù)
為偶數(shù)
當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)
，即：
注意到為偶數(shù)，所以可使用偶數(shù)項和的結(jié)論，代入左側(cè)求和結(jié)果：，則：
，整理：
綜上：
已知，設(shè)數(shù)列，數(shù)列化的前項和為
思路點撥：，注意到通項中含有“”，會影響最后一項取“正還是負(fù)”，通過討論的奇偶，結(jié)合分組求和.
奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧
（注意到本例求解的為偶數(shù)項和，代入最后一項，一定是正，故不需要討論）
分組求和
在數(shù)列{an}中，若，則數(shù)列{an}的前12項和等于_________.
已知，若，求數(shù)列的前項和．
已知數(shù)列中，.
（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；
（2）令為數(shù)列的前項和，求使得的的最小值.
已知數(shù)列的前項和，，，．
(1)計算的值，求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
已知，，求{}的前64項和.
【題型9】奇偶數(shù)列求和
重慶一中月考
已知數(shù)列滿足，若，求.
2021·新高考1卷T17
已知數(shù)列滿足，，求的前20項和.
（廣東實驗中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，且的前100項和
(1)求的首項；
(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：.
【題型10】隔項數(shù)列求和（一般并項求和）
已知數(shù)列滿足，，則________
若數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．684B．682C．342D．341
（深圳一模）記，為數(shù)列的前n項和，已知，求．
【題型11】和為等比數(shù)列求和
已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前n和.
思路點撥：根據(jù)題意： ，可推出 ，兩式作差
變換下標(biāo)，寫成
所以 ， ，．．．．．．．
累加，得
累加
求通項
所以數(shù)列 的前n和為
求和
已知數(shù)列滿足，，．
(1)求的通項公式．
(2)若數(shù)列的前項和為，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2023·杭州二模
設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和．
【題型12】插入新數(shù)列混合求和
已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則（ ）
A．4043B．4044C．4045D．4046
已知對所有正整數(shù)m，若，則在ak和ak＋1兩項中插入2m，由此得到一個新數(shù)列{bn}，求{bn}的前40項和.
已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為 ．
已知數(shù)列，在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記這個等差數(shù)列的公差為，求數(shù)列的前項和.
已知，在與之間插入一項，使，，成等比數(shù)列，且公比為，求數(shù)列的前項和.
已知，在數(shù)列中的和之間插入i個數(shù)，，，…，，使，，，，…，，成等差數(shù)列，這樣得到一個新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求．
己知數(shù)列滿足，在之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
【題型13】通項含絕對值的數(shù)列求和
已知，求數(shù)列的前項和為．
已知，求數(shù)列的前項和為．
已知，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【題型14】取整數(shù)列求和
已知數(shù)列滿足，記為不小于的最小整數(shù)，，則數(shù)列的前2023項和為（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
已知，，設(shè)，求數(shù)列的前9項的和．（注：表示不超過的最大整數(shù)）
已知，設(shè)，求數(shù)列的前10項和.（表示不超過的最大整數(shù)）
（重慶八中月考）已知，若表示不超過的最大整數(shù)，如，求的值.

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