一、直線的5種方程
二、兩點關于某直線對稱
三、其它公式
兩點距離公式：
斜率的2個公式：
點到直線距離公式：
四、阿波羅尼斯圓
定義：已知平面上兩點A，B，則所有滿足，的動點P的軌跡是一個以定比m：n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓
模塊一：直線方程
【題型1】求直線方程
（2023上·廣東深圳·高二翠園中學校考期中）過點且在軸，軸上截距相等的直線方程為
【答案】和
【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結合直線的截距式方程即可求解.
【詳解】當直線經(jīng)過原點時，此時直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，
當直線在軸，軸均不為0時，設直線方程為，
將代入得，解得，故直線方程為
（2023上·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為 .
【答案】
【詳解】因為直線與直線和的交點分別為，
設，
因為點是線段的中點，由中點公式可得，
解得，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即
（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形滿足.
(1)求直線的方程；
(2)求點的坐標.
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）由圖知，則直線的傾斜角為，直線的斜率，點，
所以直線的方程為，即.
（2）因為，則直線的方程為，而，則直線的傾斜角為，斜率，
直線的方程為，由解得，即點，
又，則有直線斜率，因此直線的方程為，即，
由解得，即點
【題型2】由兩直線的平行垂直關系求參數(shù)（易錯）
若直線和直線平行，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】由題知兩直線平行，直接列出()即可求得
【詳解】直線和直線平行，
可得，得.
（多選）已知直線，直線，則下列命題正確的有（ ）
A．直線恒過點
B．直線的方向向量為，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【分析】根據(jù)已知直線方程，逐個驗證直線過的定點、方向向量和垂直平行所需的條件.
【詳解】把代入直線的方程，等式不成立，A選項錯誤；
直線的方向向量為，則直線斜率，得，B選項正確；
直線方向向量為，直線的方向向量為，若，則有，解得，當時，與重合，C選項錯誤；
若，則有，即，D選項正確
【題型3】三角形的三線問題
（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）△ABC的三個頂點坐標為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（ ）
A．邊BC與直線平行
B．邊BC上的高所在的直線的方程為
C．過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為
D．過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點D(3，5)
【答案】BD
【分析】由直線斜率判斷A，求出相應的直線方程判斷BC，求出邊中點坐標判斷D．
【詳解】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯；
邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；
過且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為，過原點時方程為，C錯；過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點，坐標為，D正確
【題型4】直線與已知線段相交求斜率范圍
（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出圖形，數(shù)形結合可得出直線的斜率的取值范圍.
【詳解】過點作，垂足為點，如圖所示：
設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，
當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，
此時；
當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
已知點，.若直線與線段AB恒相交，則k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由直線方程，令，解得，故直線過定點，如下圖：
則直線的斜率，直線的斜率，由圖可知：.
【題型5】點，直線的對稱，光的反射相關問題匯總
直線關于點對稱的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)直線關于直線外一點的對稱直線互相平行可知其斜率，再取上一點求其關于點的對稱點，即可求出的方程.
【解答過程】由題意得，故設，
在l上取點，則點關于點的對稱點是，
所以，即，故直線的方程為.
點關于直線的對稱點Q的坐標為（ ）．
A．B．C．D．
【解題思路】利用中點和斜率來求得點坐標.
【解答過程】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得，所以點Q的坐標為.
直線關于軸對稱的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】利用對稱性質可得原直線上的點關于軸的對稱點，代入對稱點，即可得到答案.
【解答過程】設點是所求直線上任意一點，則關于軸的對稱點為，且在直線上，代入可得，即.
一條光線從點射出，傾斜角為，遇軸后反射，則反射光線的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)對稱關系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過點，利用點斜式可得直線方程.
【解答過程】點關于軸的對稱點為，
又反射光線傾斜角為，斜率，
反射光線所在直線方程為：，即.
唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為 （ ）
A．B．C．D．
【解題思路】求出點關于直線的對稱點的坐標，數(shù)形結合可得出“將軍飲馬”的最短總路程為，利用平面內兩點間的距離公式可求得結果.
【解答過程】點關于直線的對稱點為，如下圖所示：
在直線上任取一點，由對稱性可知，
所以，，
當且僅當點為線段與直線的交點時，等號成立，
故“將軍飲馬”的最短總路程為.
點關于直線的對稱點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】根據(jù)點關于線對稱的特點，利用中點坐標公式及兩直線垂直的斜率的關系即可求解.
【解答過程】設點關于直線的對稱點的坐標為，
則，解得，所以點的坐標為
求直線x＋2y－1＝0關于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【解題思路】結合兩平行線間的距離公式求得正確選項.
【解答過程】設對稱直線方程為，
，解得或（舍去）.
所以所求直線方程為.
一條沿直線傳播的光線經(jīng)過點和，然后被直線反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】首先根據(jù)兩點式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線的交點，再根據(jù)反射光線經(jīng)過入射點的對稱點，結合點關于直線對稱求得對稱點，再利用兩點式即可得解.
【解答過程】入射光線所在的直線方程為，即，
聯(lián)立方程組解得即入射點的坐標為．
設P關于直線對稱的點為，
則解得即．
因為反射光線所在直線經(jīng)過入射點和點，所以反射光線所在直線的斜率為，
所以反射光線所在的直線方程為，即．
“將軍飲馬”問題，在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】先求點關于直線對稱的點，再根據(jù)兩點之間線段最短，即可得解.
【解答過程】
如圖，設關于直線對稱的點為，則有 ，可得，可得，
依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為，此時
已知橢圓C：（），過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C，根據(jù)方向向量的直線斜率為，結合反射的性質可得，再結合等腰直角三角形的性質列式求解即可.
【詳解】設過點且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點為，右焦點為C.
因為方向向量的直線斜率為，則，，又由反射光的性質可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.
（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知直線，，且.
(1)求與之間的距離；
(2)一束光線從出發(fā)經(jīng)反射后平行于軸射出，求入射光線所在的直線方程.
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）由可得：，解得：或
當時，，，此時與重合，舍去
當時，，，此時，符合題意
故與之間的距離為.
（2）設關于的對稱點為，則
解得：，∴
聯(lián)立，解得：，∴入射點為.
故入射光線所在的直線方程為，即
模塊二 直線與圓
【題型6】求圓的方程
矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，所在直線的方程為.
(1)求邊所在直線的方程；(2)求經(jīng)過，，三點的圓的方程.
【答案】(1),(2)
【詳解】（1）由，得，則，
因為矩形ABCD兩條對角線相交于M，所以C與A關于點M對稱，
設，所以，得，則，
因為邊所在直線的方程為，斜率為，
與垂直，所以直線的斜率為，
則邊所在直線的方程為，即；
（2）由，解得，故點的坐標為，
設所求圓的方程為，且，
則，得，則所求圓的方程為：
（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知：圓過點，，，是直線上的任意一點，直線與圓交于、兩點.
（1）求圓的方程；（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）設圓的一般方程為，依題意可得，
．
所以圓的方程為：．
（2）聯(lián)立或，
不妨設，，則，
∴．
故的最小值為
（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知，．
(1)求線段的垂直平分線的直線方程；
(2)若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點，求該圓的方程．
【答案】(1),(2)
【詳解】（1）因為，，
所以的中點為，斜率，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
即的直線方程為，化簡得.
（2）聯(lián)立解得，，即圓心為，
所以圓的半徑，
所以所求圓的標準方程為
（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，.
(1)求直線BC的方程；(2)求的外接圓M的方程.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）過點作軸，垂足為，
由題意可得：，則，
故點，
延長交軸于點，
由題意可得：，則為等邊三角形，
可得，即點，
則直線的斜率，
所以直線BC的方程為，即.
（2）由（1）可得：，
設的外接圓M的方程為，
則，解得，
故的外接圓M的方程為，即.
（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，已知圓C的圓心在上，且圓C與x軸相切，直線，．
(1)若直線與圓C相切，求a的值；
(2)若直線與圓C相交于A，B兩點，將圓C分成的兩段弧的弧長之比為，且，求圓C的方程．
【答案】(1)，(2)或
【分析】（1）由題意設圓心，，分析可得，且，進而求解即可；
（2）結合題設和圓的性質可得圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，進而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，進而結合斜率關系列出方程求解即可.
【詳解】（1）因為圓心C在直線l上，可設圓心，．
因為圓C與x軸相切，所以，
又因為直線與圓C相切，所以，
即，解得.
（2）因為A，B把圓C分成的兩段弧長之比為，
所以弦AB所對劣弧圓心角為，
所以圓心C到的距離d等于圓C半徑的倍，
則，即，解得或，
又因為，所以AB的垂直平分線經(jīng)過和圓心，
所以，
當時，，圓C方程為；
當時，，圓C方程為.
綜上所述，圓C方程為或.

（2023上·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谀┮阎獔A的圓心坐標為，且圓與直線相切，過點的動直線與圓相交于兩點，點為的中點.
(1)求圓的標準方程；(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運用點到直線距離公式求出圓C的半徑；
（2）求出點P的運動軌跡，再確定 的最大值.
【詳解】（1）由題意知點到直線的距離為 ，也是圓C的半徑，
圓的半徑為，
則圓的標準方程為；
（2）
依題意作上圖，為弦的中點，由垂徑定理知： ，又過定點A，
點的軌跡為以為直徑的圓，圓心為A，C的中點，半徑為 ，
；
綜上，圓的標準方程為， 的最大值為
已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】設，，根據(jù)中點坐標公式可得，代入圓的方程，整理即可得到的軌跡方程.
【詳解】設，，則由已知可得.
又是線段的中點，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的軌跡方程是.
已知直線與圓交于A，B兩點，.
(1)求實數(shù)a的值；
(2)若點P在圓C上運動，O為坐標原點，動點M滿足，求動點M的軌跡方程.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題意得圓心到直線的距離，再列式求解即可.
（2）設，，由可得，結合點在圓上，即可得動點的軌跡方程．
【詳解】（1）圓，即，，
則圓心，半徑，記為圓心到直線的距離，
由，得，而，因此，
所以.
（2）設，，由，得，解得，
由點在圓上，得，于是，
所以動點的軌跡方程為.

已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.
(1)求圓的方程；
(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）求出圓心的坐標和圓的半徑，即得解；
（2）設點，，由得，代入圓的方程即得解.
【詳解】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，
它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；
（2）設，，由，得，
所以，又點在圓上，故，
所以，化簡得的軌跡方程為
【題型7】圓的切線性質以及求切線方程
（多選）過點作圓：的切線，切點分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．四邊形的外接圓方程為
C．直線方程為
D．三角形的面積為
【答案】BCD
【詳解】對于，由題意可得：，由勾股定理可得，，故選項錯誤；
對于，由題意知，，則為所求圓的直徑，所以線段的中點為，半徑為，則所求圓的方程為，化為一般方程為，故選項正確；
對于，由題意，其中一個切點的坐標為，不妨設為點，則，又，所以，所以直線的方程為，故選項正確；
對于，因為，且直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以兩條直線的交點坐標為，則，，
故的面積為，所以的面積為，故選項正確
（2023上·高二華中師大一附中期末）（多選）設圓，直線為上的動點，過點作圓的兩條切線，切點為為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有（ ）
A．的取值范圍為
B．四邊形的最大值為
C．滿足的點有兩個
D．的面積最大值為
【答案】AC
【詳解】圓心到直線的距離，
所以，因為圓的半徑為，
根據(jù)切線長公式可得，
當時取得等號，
所以的取值范圍為，A正確；
因為，
所以四邊形的面積等于，
四邊形的最小值為，故B錯誤；
因為，所以，
在直角三角形中，，所以，
設，因為，
整理得，
則有，所以滿足條件的點有兩個，C正確；
因為
所以當，即，面積有最大值為，
此時四邊形為正方形，則，滿足要求，故D錯誤
（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.
(1)求圓的標準方程；(2)過點作圓的切線，求該切線的方程.
【答案】(1)，(2)或.
【詳解】（1）由題意，，圓心在線段的垂直平分線，即上.
由，解得，即，從而，
所以圓的標準方程為.
（2）i.當切線的斜率不存在時，即，滿足題意；
ii.當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，
則，解得，所以切線方程為.
綜上所述，該切線方程為或.
【題型8】已知直線方程求弦長和已知弦長求直線方程
（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，△ABC的三個頂點坐標分別為，，．
(1)求BC邊上的中線AD的所在直線方程；
(2)求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）∵，
∴BC邊的中點D的坐標為，
∴中線AD的斜率為，
∴中線AD的直線方程為：，即
（2）設△ABC的外接圓O的方程為，
∵A、B、C三點在圓上，
∴
解得：
∴外接圓O的方程為，即，
其中圓心O為，半徑,
又圓心O到直線l的距離為,∴被截得的弦長的一半為
（2023上·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓.
(1)判斷與的位置關系；
(2)若過點的直線被、截得的弦長之比為，求直線的方程.
【答案】(1)外切，(2)或
【分析】（1）計算出，利用幾何法可判斷兩圓的位置關系；
（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率不存在時，直線驗證即可；在直線的斜率存在時，設直線的方程為，利用勾股定理結合點到直線的距離公式可得出關于的方程，解出的值，即可得出直線的方程.
【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為.
因為，所以圓與圓外切.
（2）解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與圓相離，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設的方程為，即，
則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，
所以，直線被圓截得的弦長為，
直線被圓截得的弦長為，
由題意可得，
即，解得或，
經(jīng)檢驗，或均符合題意.
所以直線的方程為或
（2023上·福建龍巖·高二統(tǒng)考期末）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過和兩點．
(1)求圓的方程；
(2)過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的斜率．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設出圓的方程，代入已知點，列方程組求解即可；
（2）設出直線方程，利用垂徑定理，列方程求出直線的斜率.
【詳解】（1）由圓的圓心在軸上，設圓的方程為，
，解得，
所以圓的方程為；
（2）由（1）得圓的標準方程為，圓心，半徑，
設直線的斜率為，則直線的方程為，即，
直線被圓截得的弦長為，則，解得或.
【題型9】直線與圓的位置關系
（2023上·廣東深圳·高二深圳大學附屬中學校考期末）圓上到直線的距離為1的點有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．0個
【答案】C
【詳解】化為，得圓心坐標為，半徑為圓心到直線的距離直線與圓相交.注意到，可知圓上有3個點到直線的距離為1.
（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）（多選）已知點在圓：上，直線，則（ ）
A．直線與圓相交B．直線與圓相離
C．點到直線距離最大值為D．點到直線距離最小值為
【答案】BC
【詳解】解：圓：，即，圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，
又點在圓上，所以點到直線距離最大值為，點到直線距離最小值為，故正確的有B、C
（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1，請寫出滿足上述條件的一條直線方程 .（寫出一個正確答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【詳解】圓的圓心為，半徑為2，
若要使圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離應該為1，
則直線可以為：，
此時由圓得圓心為：，半徑為2，
則如圖所示：
由圖可知圓上只有點到直線的距離為1，
故答案為：（答案不唯一）.
（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知圓被直線所截得的兩段圓弧的弧長之比為，且圓上恰有三個不同的點到直線的距離為，則直線被圓所截得的弦長為 .
【答案】
【詳解】設圓的半徑為，因為圓被直線所截得的兩段圓弧的弧長之比為，
則劣弧所對的圓心角為，所以，圓心到直線的距離為，
將直線平移，使得平移后的直線與直線之間的距離為，如下圖所示：
假設平移后的直線為、，則這兩條直線一條與圓相切，一條與圓相交，
不妨設直線與圓相切，則直線與之間的距離為，可得，
所以，直線截圓所得弦長為.
（2023·湖南·衡陽市八中高二期末）已知圓的圓心為，且有一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，若直線與交于兩點，，則實數(shù) ．
【答案】或
【詳解】圓的一條直徑的兩個端點分別在兩坐標軸上，該圓一定過原點，半徑為，
又圓心為，故圓的方程為
圓心到直線的距離為即，解得或．
（2023上·浙江臺州·高二期末）從①②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答該題．①經(jīng)過點；②圓心C在直線上．
已知圓心為C的圓經(jīng)過兩點，且___________．
(1)求該圓的標準方程；
(2)若過點的直線與該圓有交點，求直線的斜率的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)條件選擇見解析，，(2)
【詳解】（1）若選①：令圓方程為，則，
解得．
圓方程為，標準方程為．
若選②：圓過，，中點為，
則垂直平分線為，即，故圓心在上，
又知圓心在直線上，，解得圓心．
可得半徑為，圓的標準方程為．
（2）因為直線l與圓有交點，所以圓心到直線l的距離小于等于半徑．
當直線l的斜率不存在時，不符合題意，
當直線l的斜率存在時，令直線，即．
圓心到直線的距離，解得
所以直線l的斜率取值范圍為．
已知圓心為，且經(jīng)過點的圓.
(1)求此圓C的方程；
(2)直線與圓相交于、兩點.若為等邊三角形，求直線的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用待定系數(shù)法進行求解即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質，結合點到直線距離公式進行求解即可.
【詳解】（1）因為圓心為，
所以圓的方程設為，該圓過，
所以有，所以圓C的方程為；
（2）由（1）可知該圓的半徑為
因為為等邊三角形，且邊長為，
所以該等邊三角形的高為，
所以圓心到直線的距離為，即，
所以直線的方程為或
【題型10】圓與圓的位置關系：公切線，公共弦
（2023上·浙江臺州·高二期末）已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為 ．
【答案】
【分析】利用兩圓相減即可得出兩圓公共弦所在直線的方程.
【詳解】依題意，
①
②
①②得：，
故公共弦方程為：
設圓，圓，則圓，的公切線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】B
【分析】先根據(jù)圓的方程求出圓心坐標和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關系即可判斷出兩圓的位置關系，從而得解．
【詳解】由題意，得圓，圓心，圓，圓心，∴，∴與相交，有2條公切線
（長沙雅禮中學月考）（多選）圓和圓的交點為A，B，則有（ ）
A．公共弦AB所在直線方程為
B．公共弦AB的長為
C．線段AB中垂線方程為
D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為
【答案】AC
【分析】A選項，兩圓方程作差即可求出公共弦方程；
B選項，求出一個圓的圓心到公共弦的距離，利用垂徑定理計算即可；
C選項，線段AB的中垂線即為兩圓圓心的連線，利用點斜式求解即可；
D選項，求出到公共弦的距離，加上半徑即可求出最值.
【詳解】因為圓：和圓：的交點為A，B，
作差得，
所以圓與圓的公共弦AB所在的直線方程為，故A正確；
因為圓心，，所在直線斜率為，
所以線段AB的中垂線的方程為，即，故C正確；
圓：的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以P到直線AB的距離的最大值為，圓與圓的公共弦AB的長為，故B,D錯誤
（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知圓，寫出滿足條件“過點且與圓相外切”的一個圓的標準方程為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】設滿足條件的圓的標準方程為（），由點在圓上及外切關系可得方程組，化簡取值即可得其中一個符合的結果.
【詳解】設滿足條件的圓的標準方程為（），則有，即，兩式相減化簡得.
不妨取，則，故滿足條件的圓的標準方程為
【題型11】直線與圓的綜合問題
（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獔AC：，直線l：，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線的傾斜角為
B．當時，直線與圓相交所得弦長為
C．圓與圓：相外切
D．當，時，過直線上任意一點作圓的兩條切線、，切點分別為、，則弦長度的最小值為
【答案】ACD
【詳解】因為圓：，化為標準方程：.
對于，當時，直線l：可化為，直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，故選項正確；
對于，當時，直線的方程為：，圓心到直線的距離，由垂徑定理可得：弦長為，故選項錯誤；
對于，圓與圓的圓心距，因為，所以兩圓相外切，故選項正確；
對于，當，時，直線的方程為：，設直線上任意一點，過圓外一點引圓的切線，
設切點坐標為，因為，所以切點的軌跡是以的中點為圓心，以為直徑的圓上，因為，，
所以切點的軌跡方程為：，也即，
又因為圓：，
兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程，，
則圓心到直線的距離，
由垂徑定理可知：，要使弦長度最小，則最大，
當時，取最大值，
此時弦長，故選項正確
（2023上·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）（多選）設為實數(shù)，若方程表示圓，則（ ）
A．
B．該圓必過定點
C．若直線被該圓截得的弦長為2，則或
D．當時，該圓上的點到直線的距離的最小值為
【答案】BCD
【詳解】對A，，由方程表示圓，則有，A錯；
對B，將代入方程，符合，B對；
對C，圓心為，則圓心到直線的距離為，故直線被該圓截得的弦長為或，C對；
對D，，則圓半徑為1，圓心到直線的距離為，故該圓上的點到直線的距離的最小值為，D對
在平面直角坐標系中，已知圓，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，已知直線關于直線對稱，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)題目意思畫出圖像，結合圖像和條件關于直線對稱得到，再求出，最后根據(jù)二倍角公式求解即可.
【詳解】如圖所示，
，
設直線分別交軸于點，連接，
因為是圓的兩條切線，所以≌，
所以，
又因為直線關于直線對稱，所以，
所以，即，
所以為點到直線的距離，即，
又且，所以，
所以，所以
【題型12】與基本不等式結合，乘“1”法求最值
（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若直線（，）平分圓，則的最小值是（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】C
【分析】直線平分圓，得到a,b關系，再根據(jù)基本不等式，即可求解.
【詳解】解：直線平分圓，則直線過圓心，即，
所以(當且僅當時，取等號)
若直線（，）平分圓，則的最小值是________
【答案】2
【詳解】由題意可知，直線過圓過圓心，即，
所以，即a=2b時，等號成立，的最小值是2．
【題型13】阿波羅尼斯圓
（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）已知，，為平面內的一個動點，且滿足，求點的軌跡方程.
【答案】(1),(2)
【分析】(1)首先設點，利用兩點間距離表示，化簡求軌跡方程；
【詳解】（1）由題意可設點的坐標為，由及兩點間的距離公式可得
，整理得.
（2023上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）數(shù)學著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內，到兩個定點距離之比是常數(shù)的點的軌跡是圓.若兩定點，動點滿足，點的軌跡圍成區(qū)域的面積為 ，面積的最大值為 .
【答案】
【分析】設出，利用兩點間距離公式列出方程，求出的軌跡方程，從而得到的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，求出點的軌跡圍成區(qū)域的面積，數(shù)形結合得到點到軸的距離的最大值，從而求出面積的最大值.
【詳解】設，則，，
化簡得：，
的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
故點的軌跡圍成區(qū)域的面積為；
設點到軸的距離為，則，
故面積的最大值為.
兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意建立坐標系，由題意可得點M的軌跡方程，進而可得M點的軌跡長．
【詳解】以點A為坐標原點，直線AB為x軸，建立直角坐標系，如圖，

則，設點，
由，得，化簡并整理得：，
于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，
所以M點的軌跡長為.
已知平面內兩定點，，點滿足，則動點的軌跡方程為 ；若平面內兩動點，（）滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】設，用兩點間距離公式表示，化簡可得動點的軌跡方程；使用向量垂直表示，由幾何意義求解的最大值即可.
【詳解】設動點，則，，
∵點滿足，
∴，化簡，整理得.
∴動點的軌跡方程為.
若平面內兩動點，（）滿足，則，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴的幾何意義為點到原點的距離，
∵動點的軌跡為圓心為，半徑為的圓，
∴如圖，當點位于處時，到原點距離最大值為，
即的最大值為.
故答案為：，.
（2023上·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，，，P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為 ；若點Q為拋物線上的動點，拋物線C的焦點為F，則的最小值為 ．
【答案】 2
【分析】設點坐標，根據(jù)題意寫出關于與的關系式化簡即可；利用拋物線的定義可知等于Q到拋物線準線的距離，進而轉化為點到準線的距離，即可求得.
【詳解】設，則，即，化簡得．
②拋物線的準線為，因為等于Q到拋物線準線的距離，
所以的最小值轉化為點到準線的距離，又P是阿氏圓上的任一點，
所以點到準線的距離的最小，最小值為2．
即的最小值為2.
故答案為：①；②2
故直線過定點，點到直線的距離最大值為，D正確.
已知N為拋物線上的任意一點，M為圓上的一點，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，由圖中幾何關系取線段中點，中點，連接，可證得所以，即，可得，即可將轉化為，然后根據(jù)當、、三點不共線時，，當、、三點共線時，，將問題轉化為的最小值即為的最小值，再根據(jù)兩點間距離公式求出的最小值即可.
【詳解】
根據(jù)題意可得拋物線與圓都關于軸對稱，且圓的圓心坐標為，半徑為.
因為，圓下方與軸交點坐標為，
取線段中點，中點，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.
因為、分別為和的中點，
所以，，所以，
又因為，，
所以，所以，
因為，所以，
所以，
當且僅當、、三點共線時取到等號，此時點為線段與圓的交點.
所以的最小值即為的最小值.
因為N為拋物線上的任意一點，設，，
因為，
則，
當時，，即的最小值為
【題型14】直線與圓的雙切線模型
已知直線與圓，過直線上的任意一點作圓的切線，切點分別為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由題意可知，當點到圓心的距離最小時，最大.利用點到直線距離公式.
【詳解】由題意可知，當點到圓心的距離最小時，最大.
圓心原點到直線的距離為.所以點到圓心的距離最小值為.
所以，的最大值為.
（2023四川外國語附屬學校月考）已知是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，當直線AB與l平行時，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)跟定條件，利用圓的切線的性質，結合面積法求解作答.
【詳解】
連接，由切圓于A，B知，，
因為直線AB與l平行，則，
，而圓半徑為1，于是，
由四邊形面積，得，所以.
過直線上的點P作圓的兩條切線，，當直線，關于直線對稱時，兩切點間的距離為（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由兩條切線關于直線對稱，可確定與直線互相垂直，即可求得得長，再結合直角三角函數(shù)和垂徑定理，即可求解.
【詳解】依題意，設兩切點分別為、，并連接交于點，作出示意圖：

當直線，關于直線對稱時，則兩條直線，與直線的夾角相等，且與直線互相垂直，
的長為圓心到直線的距離，即，
又圓的半徑，在中，，故，
結合垂徑定理得，即兩切點間的距離為
（多選）已知圓，過直線上一點P作圓O的兩條切線，切點分別為，則（ ）
A．若點，則直線AB的方程為
B．面積的最小值為
C．直線AB過定點
D．以線段AB為直徑的圓可能不經(jīng)過點O
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系、圓的幾何性質、三角形的面積、直線過定點、圓的方程等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，若，則直線的方程為，
，以為圓心，為半徑的圓的方程為，
即，
由，兩式相減得，所以A選項正確.

B選項，到直線的距離為，
而，所以的最小值為，
所以三角形面積的最小值為，所以B選項正確.

C選項，設，，
線段的中點坐標為，
所以以為直徑的圓的方程為，
，
由，兩式相減得，
由，解得，所以直線過定點，C選項正確.
D選項，由A選項，
由，解得或，
即，，
即此時以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點，D選項正確.
故選：ABCD
21．（2023上·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)九江中學?？茧A段練習）（多選）已知圓：，過直線：上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（ ）
A．若點，則直線的方程為
B．面積的最小值為
C．直線過定點
D．以線段為直徑的圓可能不經(jīng)過點
【答案】BCD
【分析】對A：計算出過、、三點的圓的方程，再兩圓方程相減即可得到；
對B：當最小時，的面積會有最小值；
對C：設出點坐標，再計算出直線的方程，求定點即可得到；
對D：可尋找特殊點，如A選項中，計算發(fā)現(xiàn)不經(jīng)過點即可得到.
【詳解】A選項，若，則直線的方程為，，以P為圓心，4為半徑的圓的方程為，即，

由，兩式相減得，，故A錯誤；
B選項，到直線：的距離為，
而，所以的最小值為，
所以面積的最小值為，故B正確；
C選項，設，，
線段的中點坐標為，
所以以為直徑的圓的方程為，
化簡得：，
由，兩式相減得，
即，
由，解得，
所以直線過定點，故C正確；
D選項，由A選項，由，
解得或,
即，，，
即此時以線段為直徑的圓不經(jīng)過點，故D正確．
22．（2023上·河南·高二漯河高中校聯(lián)考階段練習）（多選）已知圓O：，過點M作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，且直線恒過定點，則（ ）
A．點M的軌跡方程為
B．的最小值為
C．圓O上的點到直線AB的距離的最大值為
D．
【答案】CD
【分析】設，以OM為直徑的圓的方程，結合已知圓的方程求直線的方程，進而確定M的軌跡方程，由直線所過定點、圓的性質求最短弦長、圓上點到直線距離的最大值，討論M的位置，結合圓的切線性質研究角的范圍.
【詳解】設，以OM為直徑的圓的方程為，化簡得，與聯(lián)立，
兩式相減得：直線的方程為．直線恒過定點，
所以M的軌跡方程為，即，A錯誤．
因為，即時弦長最小，所以，B錯誤．
因為直線恒過定點，所以圓O上點到直線距離的最大值為，C正確．
如圖，圓心O到直線的距離為，記l：，
當M運動到時，，，則．
當M位于直線l其他位置時，，，，則．
綜上，，D正確．

已知直線l：x+y-6=0，過直線上一點P作圓x2+y2=4的切線，切點分別為A，B，則四邊形PAOB面積的最小值為 ，此時四邊形PAOB外接圓的方程為 ．
【答案】 2 （x-）2+（y-）2=
【分析】求出O到直線l的最短距離即可得出四邊形的最小面積，求出此時P的坐標，得出OP的中點坐標，從而得出外接圓方程．
【詳解】圓x2+y2=4的半徑為2，圓心為（0，0），
由切線性質可知OA⊥AP，，
又△OAP的面積，
∴當OP取得最小值時，△OAP的面積取得最小值，
又OP的最小值為O到直線l的距離d=3．
∴四邊形PAOB面積的最小值為：．
此時，四邊形PAOB外接圓直徑為d=3．
∵OP⊥直線l，
∴直線OP的方程為x-y=0．聯(lián)立方程組，解得P（3，3），∴OP的中點為，
∴四邊形PAOB外接圓的方程為（x-）2+（y-）2=．
故答案為，（x-）2+（y-）2=．
41．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考二模）已知直線l：與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為C，D兩點，則直線CD恒過定點坐標為 ；記M是CD的中點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】利用圓的性質，結合圖像，把問題轉化為跟圓有關的最值問題進行處理.
【詳解】由題意設點，，，
因為，是圓的切線，所以，，
所以在以為直徑的圓上，其圓的方程為:
，又在圓上，
將兩個圓的方程作差得直線的方程為：，
即，所以直線恒過定點，
又因為，，，，四點共線，所以，
即在以為直徑的圓上，
其圓心為，半徑為，如圖所示:
所以，所以的最小值為.
模塊三：直線與圓的最值問題
【題型15】定點到含參直線距離最短問題
點到直線距離的最大值為
A．1B．C．D．2
【解答】解：方法一：因為點到直線距離；
要求距離的最大值，故需；
，當且僅當時等號成立，
可得，當時等號成立．
方法二：由可知，直線過定點，
記，則點到直線距離．
點到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．3D．
【解題思路】由題意，求得直線所過定點，由兩點之間距離公式，可得答案.
【解答過程】由直線，整理可得，
令，解得，
點到直線距離的最大值為點到定點的距離，則，
【題型16】過定點的弦長最短
（2023上·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）直線l：與圓C：交于A，B兩點，則當弦AB最短時直線l的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線方程，求所過定點，探究弦在垂直時取的最短，結合垂直直線斜率乘積為，由點斜式方程，可得答案.
【詳解】由，，則令，解得，故直線過定點，由，則圓心，半徑，
當時，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，
故直線為，則
若直線與圓分別交于M、N兩點. 則弦MN長的最小值為 .
【答案】4
【詳解】由圓可得圓心，半徑為3，
直線，即，
直線過定點P，
又因為，
所以點在圓的內部，
當圓心到直線MN距離最大時，弦長MN最小，此時，
此時
已知直線：和圓C：.
(1)直線恒過一定點M，求出點M坐標；
(2)當m為何值時，直線被圓C所截得的弦長最短，求出弦長.
【答案】(1)
(2)當時，直線被圓C所截得的弦長最短，弦長為
【分析】（1）將直線化為，聯(lián)立，即可求解定點坐標；
（2）根據(jù)圓的性質知時，直線l被圓C所截得的弦長最短，利用幾何法求解弦長即可.
【詳解】（1）由得，
因為，所以有，解得，所以直線l恒過一定點， 即；
（2）由得，
所以，半徑，當時，直線l被圓C所截得的弦長最短，
所以有即，解得，
化為，
所以，所以，此時直線l的方程為即，
所以點到直線l的距離，
因此直線l被圓所截得的弦長最短為.
直線被圓截得的最短弦長為 .
【答案】
【分析】求出直線過定點，當時直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.
【詳解】直線，即，
令，解得，所以直線恒過點，
又圓的圓心為，半徑，
因為，
當時直線被圓截得的最短弦長，
最短弦長為.

【題型17】點圓型最值
設是圓上任意一點，則的最大值為
A．6B．25C．26D．36
【答案】D
【解答】解：表示圓上的點到點的距離的平方，
圓的圓心，半徑為1，
圓心到點的距離為，
的最大值是．
若直線：，：（）相交于點，過作圓的切線，切點為，則的最大值為 ．
【答案】7
【分析】根據(jù)已知確定的軌跡為，再由圓切線性質將問題轉化為求的最大值，結合圓與圓的位置關系求其最大值，即可確定的最大值.
【詳解】由題設，，即，
又、分別恒過、，故交點在以線段為直徑的圓上，
圓心為，半徑為，故的軌跡為，
由到的距離為，即兩圓相離，如下圖，
由圓切線性質，，
要使的最大值，只需最大，且為，
所以.
已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：如圖示：
半徑為1的圓經(jīng)過點，可得該圓的圓心軌跡為為圓心，1為半徑的圓，
故當圓心到原點的距離的最小時，
連結，在上且，此時距離最小，
由，得，
即圓心到原點的距離的最小值是4
在平面直角坐標系中，從點向直線作垂線，垂足為，則點與點的距離的最小值是
A．B．C．D．17
【答案】A
【解答】解：直線過定點，
，
可知點是在以為直徑的圓上，
又，
可得：
【題型18】直線與圓上的點距離最值
已知，，直線：與直線：相交于點，則的面積最大值為（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【分析】根據(jù)直線和的方程得到點為以為直徑的圓上的點，然后根據(jù)三角形面積公式得到當點到直線的距離最大時，的面積最大，然后求最大值即可.
【詳解】
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點，
直線的方程可整理為，令，解得，
所以直線恒過定點，
因為，所以，
所以點為以為直徑的圓上的點，
，中點為，
則點的軌跡方程為，
，
所以當點到直線的距離最大時，的面積最大，
，直線的方程，即，
設點到直線的距離為，圓心直線的距離為，半徑為，
則，
所以的面積最大值為.
【題型19】由直線與圓心的距離求參數(shù)的范圍
（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知，，若直線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可得直線與圓：有公共點（公共點不能是、），結合直線與圓的位置關系分析運算.
【詳解】若，則點在以，為直徑的圓上（點不能是、），
∵以，為直徑的圓的圓心為，半徑，則圓的方程為，
即直線與圓：有公共點（公共點不能是、），
當直線與圓：有公共點時，則，解得；
當直線與圓：的公共點為A或B時，則直線即為x軸，即；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
（2023上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，點是直線上任意一點，若以為圓心，半徑為的圓與圓沒有公共點，則整數(shù)的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由題意可得圓心到直線的距離大于，利用點到直線的距離公式求得的范圍，可得結論.
【詳解】圓即，則圓心為，半徑，
依題意圓心到直線的距離大于，即，
解得，又，所以或或
古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，已知，，若動點P滿足，設點的軌跡為，過點作直線，上恰有三個點到直線的距離為1，則滿足條件的一條直線的方程為 .
【答案】或（寫出一條即可）
【分析】結合定義應用直譯法求得圓方程，結合點到直線的距離即可求解.
【詳解】因為，點滿足，設，
則，化簡得，
因為圓上恰有三個點到直線的距離為1，
所以圓心到直線的距離為1.
若直線的斜率不存在，
直線的方程為;
若直線的斜率存在,
設直線的方程為，
即， ，解得,
直線的方程為:.
故答案為：或（寫出一條即可）

【題型20】三角換元求最值
已知，直線：過定點A，：過定點B，與交于點M，則下列結論正確的是（ ）
A．B．的最大值是25
C．點M的軌跡方程是D．的最大值為
【答案】AD
【分析】根據(jù)直線垂直求參判斷A選項，應用基本不等式判斷B選項，根據(jù)兩條線垂直及求軌跡方法判斷C選項，應用三角換元及輔助角公式判斷D選項.
【詳解】對于A，，∴，A正確；
對于B，恒過定點，恒過定點，
由選項A正確可推得，時等號成立，∴的最大值是，B錯誤；
對于C，設，則，
化簡有，C錯誤；
對于D，設，，則，，
∴，即的最大值為，D正確.
已知、是圓上的兩個不同的動點，且，則的最大值為 ．
【答案】15
【詳解】由已知，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），
因為、是圓上的兩個不同的動點，
可令，；，，且，
所以、，
由可得：，
又因為，所以，
所以
，
其中，，所以，當時，取得最大值15.
已知實數(shù)，滿足方程．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圓，圓心，半徑為，
令，即，的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時的的值，
，解得，的最大值為，最小值為．
（2）圓，圓心，半徑為，
，
，
的最大值是，最小值是．
（3），
的最大值為，最小值為．斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（當時，記為）
垂直
k1·k2=-1
（當時，記為）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（當時，記為）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（當時，記為）

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