一、平行證明：
中位線(xiàn)法，平行四邊形法，構(gòu)造平行平面法
證明四點(diǎn)共面一般轉(zhuǎn)化為證明平行
二、垂直證明
證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直：
1、如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)。這是證明直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直最常用的方法。
2、如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一條直線(xiàn)，那么另一條也垂直于這條直線(xiàn)。
3、三垂線(xiàn)定理及其逆定理。
4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)是一組勾股數(shù)，則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。
5、等腰三角形三線(xiàn)合一：等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、頂角角平分線(xiàn)和底邊上的高是同一條線(xiàn)段。
6、菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直。
7、矩形的相鄰兩邊垂直。
8、全等或相似三角形中的垂直
證明直線(xiàn)與平面垂直：
1、如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面。
2、如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。
3、如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。
4、如果一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線(xiàn)也垂直于另一個(gè)平面。
證明平面與平面垂直：
1、如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直。
2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個(gè)面所在的平面互相垂直。
3、直棱柱的底面垂直于側(cè)面。
三、點(diǎn)到平面的距離
（1）法一：等體積法
（2）法二：法向量：如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，交平面于點(diǎn)，則是直線(xiàn)的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線(xiàn)上的投影向量的長(zhǎng)度.
四、異面直線(xiàn)所成角
已知，為兩異面直線(xiàn)，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，所成的角為，則
①②.
五、線(xiàn)面角
范圍：，公式：
設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為，則有
六、面面角
范圍：，公式：
七、二面角
范圍：，公式：
模塊一 平行證明（拆分練習(xí)）
母題：如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中點(diǎn)．
方法一：作相交平面找線(xiàn)
證明BE//平面PAD

解析：模型鋪墊：AB∥平面β?AB∥DE
【簡(jiǎn)析】若BE//平面PAD，則必有BE//PG，所以所以要證明BE//平面PAD，只需證明BE//PG即可.（中位線(xiàn)）
若F是DC的中點(diǎn)，證明PA//平面BEF
【簡(jiǎn)析】若PA//平面BEF，則必有PA//EM，所以要證明PA//平面BEF，只需證明PA//EM即可.（中位線(xiàn)）
方法二：BE//平面PAD（正向平移法：構(gòu)造平行四邊形）
【簡(jiǎn)析】將BE向平面PAD中平移，易知將線(xiàn)段BE沿BA平移，可得E點(diǎn)軌跡，取PD中點(diǎn)M，由平行四邊形可得BE∥AM，故BE//平面PAD.
（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：構(gòu)造面面平行）
【簡(jiǎn)析】將PD，AD平移，使之與BE共面，可得平面BEH，易知BH∥AD，EH∥PD，則平面EHB//平面PAD，故BE//平面PAD.
【題型1】由中位線(xiàn)得出平行關(guān)系
如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

證明：平面；
【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面

【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系
如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿(mǎn)足，證明：直線(xiàn)平面
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
由，故，所以，所以，
所以，所以為中點(diǎn)，
又且，且，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
【題型3】由面面平行得出線(xiàn)面平行
如圖，四邊形ABCD為矩形，P是四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)在PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PCD，并說(shuō)明理出
【答案】在PA上存在中點(diǎn)G，使得EG∥平面PCD，理由如下：
取PA、PD的中點(diǎn)G、H，連接EG、GH、CH
∵G、H是PA，PD的中點(diǎn)，∴△PAD中，可得GH∥AD且GH＝ AD
又∵E是BC的中點(diǎn)，且四邊形ABCD為矩形，
∴EC∥AD且EC＝AD，
∴EC、GH平行且相等，可得四邊形ECHG是平行四邊形
∴EG∥CH，
又∵CH?平面PCD，EG?平面PCD，
∴EG∥平面PCD．
如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，
DG⊥平面ABCD，，若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
求證：MN//平面．

【答案】證明：設(shè)H是DG的中點(diǎn)，連接NH，MH，
由于M是CF的中點(diǎn)，所以MH∥CD，
由于MH?平面CDE，CD?平面CDE，
所以MH∥平面CDE．
由于N是EG的中點(diǎn)，所以NH∥DE，
由于由于NH?平面CDE，DE?平面CDE，
所以NH∥平面CDE．
由于NH?MH＝H，
所以平面MNH∥平面CDE，
由于MN?平面MNH，所以MN∥平面CDE．
【題型4】構(gòu)造2個(gè)平面的交線(xiàn)
如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，證明：平面EFC．
【答案】證明：連結(jié)PB1，交CE于點(diǎn)D，連結(jié)DF，EP，CB1，

因?yàn)镋，P分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，故EP∥CB1且EP＝CB1，
故 ，又B1F＝2，A1B1＝3，故，
所以FD∥A1P，又FD?平面EFC，A1P?平面EFC，
故A1P∥平面EFC；
如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l． 證明：l∥CB
【證明】證明：因?yàn)?ABCD 為正方形，∴ BC∥AD，
又∵ BC?平面 PAD，AD?平面 PAD．
∴ BC∥平面PAD
又 ∵BC ?平面 PCB，平面 PAD∩平面 PCB＝l，
∴ l∥CD．
模塊二 垂直證明（拆分練習(xí)）
【題型5】證明線(xiàn)面垂直
如圖，在四棱錐中，已知、，，，平面，求證：平面.
【解答】證明：（1）面，又面，，
取中點(diǎn)，連接，則，且，
在中，，在中，，
，，
，平面．
如圖，在四棱錐中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．求證：平面
【解答】解：證明：取的中點(diǎn)，連接，，
則，．又，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以．
又平面，平面，所以，所以．
又，，，平面，所以平面．
【題型6】證明異面直線(xiàn)垂直
已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．證明：；
【解答】證明：連接，
，分別為直三棱柱的棱和的中點(diǎn)，且，
，，
，，
，，
，即,△ABC為等腰直角三角形.
取BC中點(diǎn)G，因?yàn)镋G∥AB，所以BF⊥EG，
又∵△BFC≌△B1GB，故B1G⊥BF
∴BF⊥平面EGB1D
∵DE?平面EGB1D
∴BF⊥DE
如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．證明：；
【解答】證明：在平行四邊形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，
，
則，即，
又，，平面，
而平面，，
，.
如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).證明：
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，
等邊中，，則，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，
由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，
由線(xiàn)面垂直的判定定理可得：平面，
結(jié)合?平面，故.
【題型7】證明面面垂直
在四棱錐中，底面是正方形，若，，，求證：平面平面
【解答】證明：中，，，，所以，所以；
又，，平面，平面，所以平面；
又平面，所以平面平面．
圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面
【解答】解：證明：由已知可得，，即有，
則，確定一個(gè)平面，從而，，，四點(diǎn)共面；
由四邊形為矩形，可得，
由為直角三角形，可得，
又，可得平面，
平面，可得平面平面
【題型8】平行垂直的向量證明方法
如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面；
【分析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量證明即可.
【詳解】證明：因?yàn)榈酌?，底面，且底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，
所以?xún)蓛纱怪保?br>所以以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取可得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，所以平?
如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．證明：.
【詳解】因?yàn)槠矫妫矫妗矫?
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)椋詢(xún)蓛纱怪保?br>所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以，所以，
故
如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.求證：PB平面AEC；
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】由題意可得AB，AD，AP兩兩互相垂直，所以以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量證明即可.
【詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以，
所以AB，AD，AP兩兩互相垂直，
如圖，以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，，.
設(shè)平面AEC的法向量為，
則，取，可得，
所以平面AEC的一個(gè)法向量為，
可知，即，
又因?yàn)槠矫鍭EC，所以PB//平面AEC，
模塊三 點(diǎn)與面
【題型9】證明四點(diǎn)共面
如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，2DE＝ED1 ，
BF＝2FB1 ，證明：點(diǎn)在平面內(nèi)．
【解答】證明：在EQ AA\S\DO(1)上取點(diǎn)M，使得EQ A\S\DO(1)M＝2AM，連接EQ EM,B\S\DO(1)M,EC\S\DO(1),FC\S\DO(1),
在長(zhǎng)方體EQ ABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQ DD\S\DO(1)∥AA\S\DO(1)∥BB\S\DO(1),且EQ DD\S\DO(1)＝EQ AA\S\DO(1)＝EQ BB\S\DO(1)．
又2DE＝EQ ED\S\DO(1),A\S\DO(1)M＝2AM，BF＝EQ 2FB\S\DO(1),∴DE＝AM＝EQ FB\S\DO(1)．
∴四邊形EQ B\S\DO(1)FAM和四邊形EDAM都是平行四邊形．
∴EQ AF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQ MB\S\DO(1),AD∥ME,且AD＝ME．
又在長(zhǎng)方體EQ ABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQ AD∥B\S\DO(1)C\S\DO(1),且AD＝EQ B\S\DO(1)C\S\DO(1),
∴EQ B\S\DO(1)C\S\DO(1)∥ME且EQ B\S\DO(1)C\S\DO(1)＝ME，則四邊形EQ B\S\DO(1)C\S\DO(1)EM為平行四邊形，
∴EQ EC\S\DO(1)∥MB\S\DO(1),且EQ EC\S\DO(1)＝EQ MB\S\DO(1),
又EQ AF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQ MB\S\DO(1),∴EQ AF∥EC\S\DO(1),且AF＝EQ EC\S\DO(1),
則四邊形EQ AFC\S\DO(1)E為平行四邊形，
∴點(diǎn)EQ C\S\DO(1)在平面AEF內(nèi)
如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說(shuō)明理由．
【詳解】取DG中點(diǎn)P，連接PA，PF，如圖示：
在梯形EFGD中，F(xiàn)P∥DE且FP＝DE．
又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF
∴四邊形ABFP為平行四邊形，
∴AP∥BF
在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，
∴B，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．
如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.
(1)證明：四點(diǎn)共面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而求證；
（2）求出平面的法向量，結(jié)合空間向量知識(shí)求解即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，平面?br>所以，
又四邊形為正方形，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由，
得，
則.
所以，，
設(shè)，
則，解得，
所以，
故四點(diǎn)共面.
（2）設(shè)平面的法向量為，
由，得，
取，則，
又，所以點(diǎn)到平面的距離.
【題型10】求點(diǎn)到平面的距離
如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離
【答案】
【詳解】在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，
則，
解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為
如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.
(1)證明：平面.(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【分析】（1）由線(xiàn)面垂直的判定定理證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量，由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所?
因?yàn)榈酌?，所以?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>又，所以平面.
（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即令，得.
因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離.
如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求得兩直線(xiàn)的方向向量坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算數(shù)量積為，從而可證；
（2）求得和平面的法向量，利用點(diǎn)面距離的向量公式即可求解.
【詳解】（1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系．
∵，，，，
∴，，
∴，∴；
（2）∵，，∴，
設(shè)面的法向量為，
∵，，
∵，，∴，
令，則，，∴，
設(shè)到面的距離為d，
∴.

如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要條件直接得出空間異面直線(xiàn)垂直.
（2）由向量法求空間距離公式直接得出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.
【詳解】（1）建立直角坐標(biāo)系，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊所在直線(xiàn)為軸，以邊所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

依題意得，
因?yàn)椋?br>所以．
（2）
模塊四 空間中的角
【題型11】異面直線(xiàn)夾角
如圖，三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，點(diǎn)滿(mǎn)足．若，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的余弦值即可求出異面直線(xiàn)CD與AB所成角的余弦值.
【詳解】
三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，
以A為原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，因?yàn)?，則，
，，，，，
，
,，，，
設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則，
故異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.
如圖，在四棱錐中，平面，，，，且直線(xiàn)與所成角的大小為.
(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)2，(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出，利用直線(xiàn)與所成角的大小為求出的長(zhǎng)即可；
（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出距離即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，且?br>所以建立如圖分別以為軸的空間直角坐標(biāo)系，
則，令，則，
所以，
所以，
因?yàn)橹本€(xiàn)與所成角的大小為，所以，
即，解得（舍）或者，
所以的長(zhǎng)為2；
（2）由（1）知，
令平面的法向量為，因?yàn)椋?br>所以，令，則，所以，
又，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.
【題型12】線(xiàn)面角
在四棱錐中，底面．
(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．
(1)證明：
(2)若平面平面PCD，且，求直線(xiàn)AC與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)
【詳解】（1）如圖1，連接BD，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，所以，
又因?yàn)?，，BD，PD平面PBD，
所以平面PBD，
因?yàn)镻B平面PBD，所以，
因?yàn)?，所以?br>（2）如圖2，設(shè)平面PAB和平面PCD的交線(xiàn)為直線(xiàn)l，
因?yàn)椋珻D平面PAB，AB平面PAB，所以平面PAB，
因?yàn)镃D平面PCD，平面PAD平面，
所以，
因?yàn)槠矫鍼BD，所以平面PBD，
因?yàn)镻B，PD平面PBD，所以∠BPD是平面PAB與平面PCD的二面角，
因?yàn)槠矫嫫矫鍼CD，所以，即
在Rt△ABP中，因?yàn)椋?，所?br>在Rt△BPD中，因?yàn)?，則，所以△BPD為等腰直角三角形，
方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如圖3，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于平面ABCD的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面PBC的法向量為，
則，
取，則，得，
記直線(xiàn)AC與平面PBC所成角為θ，
則，
所以直線(xiàn)AC與平面PBC所成角的正弦值為．
方法二：在△ABC中，因?yàn)?，，，則
，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，
由（1）知CD⊥平面PBD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC，
所以，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，由（1）知CD⊥平面PBD，
所以，
在△PBC中，，，，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，解得，
記直線(xiàn)AC與平面PBC所成角為θ，則，
所以直線(xiàn)AC與平面PBC所成角的正弦值為．
【題型13】求二面角（重點(diǎn)）
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法
平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則、、、、，
則，，
，則，解得，故；
[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法
如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以?br>又因?yàn)?，，所以平面?br>又平面，所以．
從而．
因?yàn)?，所以?br>所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：幾何法+三角形面積法
如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法
設(shè)平面的法向量為，則，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值為.
[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法
如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線(xiàn)，垂足記為G．
聯(lián)結(jié)，由三垂線(xiàn)定理可知，
故為二面角的平面角．
易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．
，
由等積法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值為．
如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿(mǎn)足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)?，所以，即有?br>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
如圖，在三棱臺(tái)中，.
(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【詳解】（1）（1）延長(zhǎng)三條側(cè)棱交于點(diǎn).因?yàn)樗裕?分別為中點(diǎn)，且.
因?yàn)?，所?
取的中點(diǎn)，則.
因?yàn)?br>所以所以.
，則，故，
即.
因?yàn)椋?平面,平面,
所以平面.
又平面，故平面平面.
（2）因?yàn)?，所?
而,
所以，解得：.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
設(shè)為面的一個(gè)法向量，
因?yàn)椋裕?br>不妨設(shè)，則面的一個(gè)法向量.
同理可求得面的一個(gè)法向量.
由圖示，二面角的平面角為銳角，
所以，所以二面角的余弦值為.
【題型14】求面面角（重要）
如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【詳解】（1）連接，∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
∴，又面，面，
∴面，
在中，，，，
∴，即，
在中，，，∴，，
在中，，，，，
∴，，∴，
∵F為AB中點(diǎn)，∴，，
∴，又∵面，面，
∴面，又∵，CF，面，
∴平面平面；
（2）解法一：延長(zhǎng)與交于，連，則面面，
在中，，，，所以，
又，，，面，
∴面，面，
∴面面，
在面內(nèi)過(guò)作，則面，
∵面，∴，
過(guò)作，連，∵，面，面，
∴面，面，
∴，
∴即為面與面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，又，
∴，， ，
∴.
解法二：在中，，，，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
又∵，，
∴，
以為軸，為軸，過(guò)且垂直于面的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量，，，
，令，則，∴，
設(shè)平面的法向量，，
令，則，，
∴，
所以，
∴平面與平面所成角的余弦值為.
【題型15】已知線(xiàn)面角或二面角，求其它量（重要）
如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線(xiàn)段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【詳解】（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO、OB，在正和正中，，
則，而平面平面ABC，
平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，
又平面ABC，即有，而．因此四邊形DOBE是平行四邊形，則，
從而平面ABC，平面ADC，
所以.
（2）由（1）知，平面ADC，為EM與平面ADC的所成角，即，
在中，，即M為DC中點(diǎn)，
由（1）知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，

顯然平面DAC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
，所以平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值為．
如圖（1）所示，在中，，過(guò)點(diǎn)作，垂足在線(xiàn)段上，且，，沿將折起（如圖（2）），點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若二面角所成角的正切值為，求二面角所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析 ,（2）
【小問(wèn)1詳解】
證明：翻折前，，則，，
翻折后，則有，，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫妫?，?br>在四棱錐中，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，則，
因此，.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，，則二面角的平面角為，即，
因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸，
平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，，則，
又因?yàn)椋瑒t、、、、
、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，則，
取，可得，所以，，
由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.
如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線(xiàn)上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令 ，得，
，
，
化簡(jiǎn)可得，，
解得或，或，.
如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)存在，點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）證明平面，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)可證得，再利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）連接、、，推導(dǎo)出平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，平面平面，則，
因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?
（2）解：連接、、，
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以，平面，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為的菱形，則，
又因?yàn)?，則為等邊三角形，則，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
設(shè)，其中，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，
，
則，
取，則，，所以，，
由題意可得，
整理可得，即，因?yàn)椋獾茫?br>故當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的正弦值為.
如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，
(1)證明：平面平面；
(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用平面，證明平面，從而平面平面；
（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，
因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，
所以且，又，，
所以且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，所以，
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，
是正三角形，，，又平面，
所以以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，
則，，，，，，
則設(shè)，，
所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
則，即，令，，
得
平面的法向量可以為，
，解得，
所以，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，得，
所以點(diǎn)到平面的距離.
如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得結(jié)論；
（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線(xiàn)面角與向量夾角互余得結(jié)果．
【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．
連結(jié)．
因?yàn)椋詾榈妊苯侨切危?br>且 ，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 ．
由已知得
取平面的法向量．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量為．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以與平面所成角的正弦值為．
［方法二］：三垂線(xiàn)＋等積法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．
設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．
［方法三］：三垂線(xiàn)＋線(xiàn)面角定義法
由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．
在中，過(guò)N作，在中，過(guò)N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)?，所以?br>由平面，可得平面平面，交線(xiàn)為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線(xiàn)與平面所成的角．
設(shè)，則，又，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．
［方法四］：【最優(yōu)解】定義法
如圖7，取的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)，則．過(guò)C作平面的垂線(xiàn)，垂足記為T(mén)（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．
聯(lián)結(jié)，則為直線(xiàn)與平面所成的角．在中，，所以．
如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且，

(1)求證：平面PAD；
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
(3)點(diǎn)F是線(xiàn)段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿(mǎn)足異面直線(xiàn)EF與AC所成角為，求AF的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)
【詳解】（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面，所以，
因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪保?br>所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且，
所以．
所以所以，
所以，又，所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）．
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
由題意，平面的一個(gè)法向量可取，
設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角為，
則，
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．
（3）設(shè)，，
即，
可得，
所以，又，
由題意有，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以，
所以.
【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題（難點(diǎn)）
如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C為圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)設(shè)PA=AB=2AC=4，D為PB的中點(diǎn)，M為AP上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).
【分析】（1）推導(dǎo)出AC⊥BC，PA⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理即可得證．
（2）過(guò)A作Ax⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)M（0，0，t），利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當(dāng)余弦值取得最大時(shí)，正切值求得最小值；
【詳解】（1）證明：因?yàn)镻A⊥⊙O，面⊙O，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AC，，平面PAC，平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）過(guò)A作Ax⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），，B（0，4，0），設(shè)M（0，0，t），
，，
則平面AMB的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面BMC的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，∴，
如圖二面角A—BM—C的平面角為銳角，設(shè)二面角A—BM—C為，
則，
∴時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)取得最小值為．
在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若點(diǎn)P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點(diǎn)，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，通過(guò)等腰三角形三線(xiàn)合一結(jié)合勾股定理可證，，再利用面面垂直的判定方法可得平面平面.
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，首先得到點(diǎn)的軌跡是的中位線(xiàn)，點(diǎn)的軌跡是的中位線(xiàn)，從而得到線(xiàn)面角的正弦表達(dá)式，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出其最值.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，.
因?yàn)?，，則，
而，，故.
在正方形中，因?yàn)?，故，故?br>因?yàn)?，故，故為直角三角形且?br>因?yàn)椋移矫妫?br>故平面，
因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，因?yàn)?，則.
結(jié)合（1）中的平面，且平面，
則，故直線(xiàn)兩兩互相垂直，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
故，，.
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)辄c(diǎn)為四棱錐的側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），
所以點(diǎn)的軌跡是的中位線(xiàn)，
設(shè)，則，，
設(shè)與平面所成角為，
則，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以與平面所成角的正弦值的最小值為.
如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，由已知可證，再利用線(xiàn)面垂直和面面垂直的判定定理可證平面平面；
（2）法1：設(shè)，利用向量法求出平面的一個(gè)法向量，并根據(jù)線(xiàn)面角的公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題分析最值即可；法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等面積法得到，進(jìn)而得到，分析取最小值的情況，即可求出的最大值.
【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作于，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面?br>又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>（2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，
平面的一個(gè)法向量為，，
，所以，，即，
得 令，得，
，所以，
顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值，
綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為．
法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，平面?br>所以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離也為，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四邊形中，當(dāng)時(shí)，取最小值，
此時(shí)四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．
模塊五 探究類(lèi)問(wèn)題
【題型17】 驗(yàn)證滿(mǎn)足平行條件的點(diǎn)是否存在
如圖，在正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，，分別為棱，的中點(diǎn)，若平面，求．
【答案】
【解答】解：如圖所示，取A1D1，D1C1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則有平面DEF∥平面，則平面DEF與D1B的交線(xiàn)即為點(diǎn)P，取EF中點(diǎn)M，則DM交于P，易知△D1MP∽△BDP，故,故
如圖1所示，在矩形中，，，點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，現(xiàn)將沿折起，將點(diǎn)折到點(diǎn)位置，使得點(diǎn)在平面上的射影在線(xiàn)段上，得到如圖2所示的四棱錐．在圖2中，線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解答】解：（1）在上取點(diǎn)，使得，
過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，，
因?yàn)榍遥?br>又且，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，
故，
又平面，平面，
所以平面
如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)棱⊥平面ABCD，．

(1)求平面與平面的夾角的余弦值．
(2)設(shè)E是的中點(diǎn)，在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）設(shè)M是AB的中點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可；
（2）設(shè)，從而得，根據(jù)直線(xiàn)方向向量和平面法向量數(shù)量積為0列方程可解.
【詳解】（1）由題意，是正三角形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，連接DM，則，所以，．
由平面ABCD，平面ABCD，
得，，即，DM，DC兩兩垂直．
如圖，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，．
則，，
顯然，平面的一個(gè)法向量是．
設(shè)平面的法向量為，
則令，得平面的一個(gè)法向量．
設(shè)平面與平面的夾角為，則．
所以，平面與平面的夾角的余弦值為．
（2）設(shè)，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，顯然與平面PDB相交，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?br>又，，所以，．
設(shè)平面PDB的法向量為，則
令 ，得．
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫鍼DB，所以，
即，解得，
所以線(xiàn)段上存在點(diǎn)P，使得平面PDB，此時(shí)
【題型18】 驗(yàn)證滿(mǎn)足垂直條件的點(diǎn)是否存在
如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，在對(duì)角線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】在對(duì)角線(xiàn)上存在點(diǎn)，且，使得平面．
證明如下：因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)椋云矫妫?br>因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>作于，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面?br>由△，得．
所以當(dāng)時(shí)，平面．
如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在線(xiàn)段上，，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為．
（1）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）由已知，
，
在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，則（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)與所成的角．
在中，，，，
由余弦定理得，．
（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，為垂足，連結(jié)，又因?yàn)椋?br>平面，，
由平面平面，
平面，
，
由得：，
，
由，可得．
三棱柱被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，平面，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面交于點(diǎn)，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說(shuō)明理由．
【解答】存在點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面．
證明如下：
，
．
平面，平面，
．
，
．
平面．
平面平面．
斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【答案】存在，
【分析】連接，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求解即可.
【詳解】連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
由題意知平面ABC，，
又，，所以，
以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，
由得，同理得，
設(shè)，得，
又，，
由，則，可得，
得，又，即，
所以存在點(diǎn)D且滿(mǎn)足條件.
斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【答案】存在，
【分析】連接，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn)，故平面，
連接，由題意為正三角形，故，
以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
可得，，，
設(shè)，
可得，
假設(shè)在棱（含端點(diǎn)）上存在一點(diǎn)使，
則，解得
如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)判斷在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)在線(xiàn)段上不存在一點(diǎn)，使平面平面，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）首先證明平面，即可得到，再由，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面、平面的法向量，根據(jù)得到方程，解得，即可判斷.
【詳解】（1），，
，
，，平面，
平面，平面，
，
，，平面，
平面；
（2）由題意，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，， ，，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令， 則，
設(shè)，，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
平面平面，
，解得，
，
在線(xiàn)段上不存在一點(diǎn)，使平面平面．

【題型19】 驗(yàn)證滿(mǎn)足角度條件的點(diǎn)是否存在
已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.
(1)證明：；
(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，
【詳解】（1）依題意矩形，，，是中點(diǎn)，
所以，
又，所以，，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面，
又平面，所以.
（2）
以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
設(shè)是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br>又平面平面，平面平面，
所以平面，，
假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的，則由.
可得，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，可得，，即，
設(shè)與平面所成的角為，所以
解得（舍去），
綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.
如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．
(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿(mǎn)足題意.
【詳解】
（1）
取中點(diǎn)，連接，
分別為的中點(diǎn)，
，
底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，
，．
，，
故四邊形是平行四邊形，
．
又平面，平面，
平面．
（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，
在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，則是四棱錐的高．
設(shè)，則，，
，所以.
以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
故，，．
設(shè)，
．
設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，
則
?。?br>易知平面的一個(gè)法向量為，，
，
故存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿(mǎn)足題意.
如圖甲，在矩形中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，沿直線(xiàn)折起，使得，如圖乙.
(1)求證：平面；
(2)線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)
【詳解】（1）證明：連接，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
（2）過(guò)作的平行線(xiàn)，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為，
設(shè)的坐標(biāo)為，
則，
設(shè)平面的法向量為，
，
所以，
令，則，
由已知，
解之得：或9（舍去），所以點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn).
【題型20】已知點(diǎn)到平面距離，求參數(shù)
如圖：在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)求：二面角的余弦值；
(3)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面MBC的距離為，若存在求此時(shí)的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）取中點(diǎn)D，連接DN、，證明四邊形為平行四邊形，得，從而可得證線(xiàn)面平行；
（2）分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；
（3）用空間向量法求點(diǎn)面距，從而得出結(jié)論．
【詳解】（1）取中點(diǎn)D，連接DN、，
∵D、N分別為、∴且，
∵與平行且相等，M為中點(diǎn)，∴與平行且相等，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平面 平面，
∴平面；
（2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC，
∴、，
∵即，
∴、CB、CA兩兩垂直，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴ ，
則 ，
易知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令則，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
由圖知為鈍角，∴；
（3）設(shè)，，
∵，
∴，
∴ ，
設(shè)平面MBC的法向量為，
則，即，
令則
∴P點(diǎn)到平面MBC的距離為，解得，又∴．

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