一、平行證明：
中位線法，平行四邊形法，構(gòu)造平行平面法
證明四點(diǎn)共面一般轉(zhuǎn)化為證明平行
二、垂直證明
證明直線與直線垂直：
1、如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線。這是證明直線與直線垂直最常用的方法。
2、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。
3、三垂線定理及其逆定理。
4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長是一組勾股數(shù)，則這個三角形是一個直角三角形。
5、等腰三角形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、頂角角平分線和底邊上的高是同一條線段。
6、菱形對角線互相垂直。
7、矩形的相鄰兩邊垂直。
8、全等或相似三角形中的垂直
證明直線與平面垂直：
1、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
2、如果兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。
3、如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。
4、如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也垂直于另一個平面。
證明平面與平面垂直：
1、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直。
2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個面所在的平面互相垂直。
3、直棱柱的底面垂直于側(cè)面。
三、點(diǎn)到平面的距離
（1）法一：等體積法
（2）法二：法向量：如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.
四、異面直線所成角
已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，所成的角為，則
①②.
五、線面角
范圍：，公式：
設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有
六、面面角
范圍：，公式：
七、二面角
范圍：，公式：
模塊一 平行證明（拆分練習(xí)）
母題：如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中點(diǎn)．
方法一：作相交平面找線
證明BE//平面PAD

若F是DC的中點(diǎn)，證明PA//平面BEF
方法二：BE//平面PAD（正向平移法：構(gòu)造平行四邊形）
（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：構(gòu)造面面平行）
【題型1】由中位線得出平行關(guān)系
如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

證明：平面；
【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系
如圖，四棱臺的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足，證明：直線平面
【題型3】由面面平行得出線面平行
如圖，四邊形ABCD為矩形，P是四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，請問在PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PCD，并說明理出
如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，
DG⊥平面ABCD，，若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，
求證：MN//平面．

【題型4】構(gòu)造2個平面的交線
如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，證明：平面EFC．
如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l． 證明：l∥CB
模塊二 垂直證明（拆分練習(xí)）
【題型5】證明線面垂直
如圖，在四棱錐中，已知、，，，平面，求證：平面.
如圖，在四棱錐中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．求證：平面
【題型6】證明異面直線垂直
已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．證明：；
如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．證明：；
如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).證明：
【題型7】證明面面垂直
在四棱錐中，底面是正方形，若，，，求證：平面平面
圖1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面
【題型8】平行垂直的向量證明方法
如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面；
如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．證明：.
如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.求證：PB平面AEC；
模塊三 點(diǎn)與面
【題型9】證明四點(diǎn)共面
如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，2DE＝ED1 ，
BF＝2FB1 ，證明：點(diǎn)在平面內(nèi)．
如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2， 判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說明理由．
如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.
(1)證明：四點(diǎn)共面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【題型10】求點(diǎn)到平面的距離
如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離
如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.
(1)證明：平面.(2)延長至點(diǎn)，使得，求點(diǎn)到平面的距離.
如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．
如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線的距離．
模塊四 空間中的角
【題型11】異面直線夾角
如圖，三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，點(diǎn)滿足．若，求異面直線與所成角的余弦值．
如圖，在四棱錐中，平面，，，，且直線與所成角的大小為.
(1)求的長；(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【題型12】求線面角
在四棱錐中，底面．
(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．
(1)證明：
(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．
【題型13】求二面角（重點(diǎn)）
如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；（2）求二面角的正弦值．
如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
如圖，在三棱臺中，.
(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.
【題型14】求面面角（重要）
如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.
【題型15】已知線面角或二面角，求其它量（重要）
如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．
如圖（1）所示，在中，，過點(diǎn)作，垂足在線段上，且，，沿將折起（如圖（2）），點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若二面角所成角的正切值為，求二面角所成角的余弦值.
如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個動點(diǎn)．
(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．
如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，
(1)證明：平面平面；
(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.
如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．
如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且，

(1)求證：平面PAD；
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
(3)點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長．
【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點(diǎn)）
如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C為圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)設(shè)PA=AB=2AC=4，D為PB的中點(diǎn)，M為AP上的動點(diǎn)（不與A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．
在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；
(2)若點(diǎn)P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點(diǎn)，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
模塊五 探究類問題
【題型17】 驗證滿足平行條件的點(diǎn)是否存在
如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，，分別為棱，的中點(diǎn)，若平面，求．
如圖1所示，在矩形中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，現(xiàn)將沿折起，將點(diǎn)折到點(diǎn)位置，使得點(diǎn)在平面上的射影在線段上，得到如圖2所示的四棱錐．在圖2中，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.
如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是一個邊長為2的菱形，，側(cè)棱⊥平面ABCD，．

(1)求平面與平面的夾角的余弦值．
(2)設(shè)E是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PDB？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【題型18】 驗證滿足垂直條件的點(diǎn)是否存在
如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點(diǎn)，在對角線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．
如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在線段上，，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．
三棱柱被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，平面，，，為棱上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面交于點(diǎn)，試問是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說明理由．
斜三棱柱的各棱長都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；
斜三棱柱的各棱長都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；
如圖1，在邊長為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【題型19】 驗證滿足角度條件的點(diǎn)是否存在
已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.
(1)證明：；
(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．
(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.
如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.
【題型20】已知點(diǎn)到平面距離，求參數(shù)
如圖：在直三棱柱中，，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)求：二面角的余弦值；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面MBC的距離為，若存在求此時的值，若不存在請說明理由．

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