（3）空間向量與立體幾何1.如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.2.如圖1，正方形ABCD中，，，將四邊形CDMN沿MN折起到四邊形PQMN的位置，使得(如圖2).（1）證明：平面平面ABPQ；（2）若E，F分別為AM，BN的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.3.如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，，，，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且，，.（1）求證：平面ABC；（2）若直線PA與平面ABC所成的角為，求平面PAC與平面PDE所成的二面角的大小.4.已知幾何體，如圖所示，其中四邊形、四邊形、四邊形均為正方形，且邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)在棱上.(1)求證：.(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為45°？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5.如圖是一個(gè)半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面，且，P為上的動(dòng)點(diǎn)(不與，重合).（1）證明：平面.（2）若四邊形為正方形，且，，求二面角的余弦值.6.如圖，平面ABC，，，點(diǎn)F為線段DE上的動(dòng)點(diǎn).（1）試在BC上找一點(diǎn)O，使得，并證明.（2）在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若，問(wèn)平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小可否為？7.一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板（如圖）中，為直角，，為直角，，.把BC與DF重合，拼成一個(gè)三棱錐（如圖），設(shè)M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).（1）求證：平面平面EMN.（2）若，二面角為直二面角，求直線EM與平面ABE所成角的正弦值.8.如圖（1），已知圓O的直徑AB的長(zhǎng)為2，上半圓圓弧上有一點(diǎn)C，，點(diǎn)P是弧AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在的平面垂直于上半圓所在的平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖（2）所示.（1）當(dāng)平面PCD時(shí)，求PC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.9.如圖（1），AD是中BC邊上的高，且，將沿AD翻折，使得平面平面ABD，如圖（2）所示.（1）求證：.（2）在圖（2）中，E是BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)AE與底面ABC所成角的正切值為時(shí)，求直線AE與平面BCE所成角的正弦值.10.如圖，正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，且邊長(zhǎng)都是1，M，N，G分別為線段AC，BF，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且，平面MNG，記.（1）證明：平面ABEF.（2）當(dāng)MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角的余弦值.  答案以及解析1.答案：(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析.(2)PC與平面PAM所成角的正弦值為.解析：(1)證明：因?yàn)?/span>，O為AC的中點(diǎn)，所以，且.連接OB.因?yàn)?/span>，所以為等腰直角三角形，且，.由知.由，，知平面ABC.（2）如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得，，，，，.易得平面PAC的一個(gè)法向量為.設(shè)，則.設(shè)平面PAM的法向量為.由，，得可取，所以.由已知可得，所以，解得（舍去）或，所以.又，所以.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.2.答案：(1)見(jiàn)解析(2)解析：(1)在正方形ABCD中，，，，，又，在中，由余弦定理得，，，，又，平面ABPQ，平面ABPQ，又平面MNPQ，平面平面ABPQ；(2)由(1)知，，在正方形ABCD中，，，四邊形CDMN為矩形，，，，，，MQ、平面AMQ，平面AMQ，平面ABNM，平面平面AMQ，過(guò)Q作于H，則平面ABNM，即平面BEF，，.3.答案：(1)見(jiàn)解析(2)解析：(1)因?yàn)?/span>，，，所以，所以，可得，又因?yàn)?/span>，所以，可得，又因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面ABC，平面平面，面ABC，所以平面PAB，因?yàn)?/span>面PAB，所以，因?yàn)?/span>，，所以平面ABC.(2)由(1)知DC，DB，DP兩兩垂直，如圖分別以DC，DB，DP所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€PA與平面ABC所成的角為，即，所以，則，，，，所以，，，因?yàn)?/span>，，所以，由(1)知，所以，又平面ABC，面ABC，所以，因?yàn)?/span>，所以平面PDE，所以為平面PDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAC的法向量為，由，令，得，，所以為平面PAC的一個(gè)法向量.所以，所以平面PAC與平面PDE所成的銳二面角的余弦值為，故平面PAC與平面PDE所成的銳二面角為.4.答案：(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析.(2)存在點(diǎn)M使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.解析：(1)四邊形ABCD、四邊形CDGF、四邊形ADGE均為正方形，，.又，平面ABCD.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.點(diǎn)在棱上，故可設(shè).，，，.(2)假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.設(shè)平面的法向量為，，，，，令，得為平面BEF的一個(gè)法向量，.直線與平面所成的角為45°，，解得.又.存在點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M位于棱DG上，且時(shí)，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.5.答案：（1）見(jiàn)解析（2）解析：（1）在半圓柱中，平面，平面，所以.因?yàn)?/span>是上底面對(duì)應(yīng)圓的直徑，所以.因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面.（2）根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，則，，，所以，.易知為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量.所以.由圖可知二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.6.答案：（1）BC的中點(diǎn)即為所找的點(diǎn)O.理由見(jiàn)解析.（2）當(dāng)F為DE的中點(diǎn)時(shí)，平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小為解析：（1）BC的中點(diǎn)即為所找的點(diǎn)O.，，又平面ABC，平面ABC，.，平面BDEC，平面BDEC，平面BDEC.又平面BDEC，.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)A且平行于EC的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)，則可得，則.設(shè)平面AOF的法向量為，則即令，則，，則為平面AOF的一個(gè)法向量.易得平面ACE的一個(gè)法向量為.令，解得.故當(dāng)F為DE的中點(diǎn)時(shí)，平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小為.7.答案：（1）見(jiàn)解析（2）解析：（1）是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，，，.，N是BC的中點(diǎn)，.又，平面EMN，平面EMN，平面EMN.又平面ABC，平面平面EMN.（2）由（1）可知，，，為二面角的平面角，又二面角為直二面角，，即.以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NM，NC，NE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，則，，，，，，，.設(shè)為平面ABE的法向量，則即得，令，則，平面ABE的一個(gè)法向量為.設(shè)直線EM與平面ABE所成的角為，則，即直線EM與平面ABE所成角的正弦值為.8.答案：（1）（2）解析：（1）因?yàn)?/span>平面PCD，平面OCP，平面平面，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.（2）由題意知平面COP，而，，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大.解法一  易知OP，OD，OC兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面DPC的法向量為，則即取，得平面DPC的一個(gè)法向量為.易知平面PCO的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由題圖知，二面角的平面角為銳角，則，所以二面角的余弦值為.解法二  如圖所示，取PC的中點(diǎn)H，連接OH，DH.因?yàn)?/span>，，所以OH，DH都與PC垂直，即為所求二面角的平面角.在中，可得，在中，，所以，所以二面角的余弦值為.9.答案：（1）見(jiàn)解析（2）解析：（1）由題圖（1）知，在題圖（2）中，，.平面平面ABD，平面平面，平面ABD，平面ACD，又平面ACD，.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AD所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，.設(shè)，由，得，得，，又平面ABC的一個(gè)法向量為，AE與底面ABC所成角的正切值為，所以，于是，即，解得，則，，.設(shè)平面BCE的法向量為，則即令，得，，則是平面BCE的一個(gè)法向量，設(shè)直線AE與平面BCE所成的角是，則，故直線AE與平面BCE所成角的正弦值為.10.答案：（1）見(jiàn)解析（2）解析：（1）因?yàn)?/span>平面MNG，且平面ABEF，平面平面，所以，所以，所以，所以，所以，所以.又平面平面ABEF，且平面ABCD，平面平面，所以平面ABEF.（2）由（1）知，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BE，BC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面AMN的法向量為，因?yàn)?/span>，，所以取，得為平面AMN的一個(gè)法向量.設(shè)平面BMN的法向量為，因?yàn)?/span>，，所以取，得為平面BMN的一個(gè)法向量.所以，又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為. 

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