一、空間向量的基本定理
1.如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．
二、共面向量
1．共線向量與共面向量的區(qū)別
2．直線l的方向向量
如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點，則?λ∈R使得＝λa.
定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
3．解決向量共面的策略
(1)若已知點P在平面ABC內(nèi)，則有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→))
(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．
(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．
4．證明空間四點P，M，A，B共面的等價結(jié)論
(1) eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→)))．
三、投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先將向量a與向量b平移到同一平面α內(nèi)，如圖①向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直線l上的投影
如圖②向量c稱為向量a在直線l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如圖③分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，
則向量eq \(A′B′,\s\up7(――→)) (a′)稱為向量a在平面β上的投影向量．
四、夾角問題
1.兩異面直線所成的角
設(shè)兩異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
注意：兩異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．
2.直線和平面所成的角
設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，
則sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
注意：(1)直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．
(2)線面角的范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．
3.兩個平面的夾角
（1）兩個平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？
區(qū)別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個平面的夾角的范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
（2）平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？
提示 兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．
設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，
則cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
注意：(1)求兩平面的夾角問題轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角問題．
(2)兩平面的夾角的范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念．
五、極化恒等式
在三角形ABC中（M為BC的中點），則
A
B
C
M
證明（基底法）：因為，
所以
題型一 通過基底表示目標(biāo)向量
在四面體中，設(shè)，為的中點，為的中點，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為為的中點，為的中點，
所以
.
在正四面體ABCD中，F(xiàn)是AC的中點，E是DF的中點，若，，，則
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角形法則和平行四邊形法則、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.
【解析】
如圖，已知空間四邊形，分別是的中點，且，，，用表示向量為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，連接，則，

，所以.
如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
所以，即，
又，
所以.
故選：D

在正四面體中，過點作平面的垂線，垂足為點，點滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.
【解析】由題知，在正四面體中，
因為平面，
所以是的中心，
連接，則，
所以
.

如圖所示，已知空間四邊形ABCD各邊長為2，連接AC、BD，M、G分別是BC、CD的中點，若，則______．
【答案】
【解析】因為M、G分別是BC、CD的中點，所以.
所以.
在中，.
由余弦定理得：.
在中，
.
所以.
題型二 空間向量的基底
給出下列命題:
①若可以作為空間的一組基，與共線，，則也可作為空間的一組基；
②已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基；
③是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一組基，那么共面；
④已知是空間的一組基，若，則也是空間的一組基.
其中真命題的個數(shù)是（ ）.
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】根據(jù)空間中任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一組基，顯然②正確.
③中由共面且過相同點，故共面.
下面證明①④正確.
①假設(shè)與共面，則存在實數(shù)，使，
∵與共線，，∴存在實數(shù)，使，
∵，∴，從而，∴與共面，與條件矛盾.
∴與不共面.
同理可證④也是正確的.
設(shè)，，，且是空間的一組基，則不能作為空間一組基的向量組是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如圖作平行六面體，使，

則，
由平行六面體的性質(zhì)知：向量不共面；向量不共面；向量不共面．
由知，向量共面．
已知是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一組基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】向量是不共面的三個向量，
對于A，，則向量共面，A不是；
對于B，，則向量共面，B不是；
對于D，，則向量共面，D不是；
對于C，假定向量共面，則存在不全為0的實數(shù)，使得，
整理得，而向量不共面，則有，顯然不成立，
所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，C是.
已知O，A，B，C為空間四點，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有（ ）
A．，，共線B．O，A，B，C中至少有三點共線
C．與共線D．O，A，B，C四點共面
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷
【解析】由于向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底知，，共面，所以O(shè)，A，B，C四點共面
已知是空間的一個基底，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則
B．兩兩共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能構(gòu)成空間的一個基底
【答案】C
【分析】利用向量的線性關(guān)系、向量的基底的定義和空間向量基本定理，即可求解．
【解析】對于A，若不全為0，則 共面，與題意矛盾，故A正確；
對于B，是空間的一個基底,則 兩兩共面，但 不共面，故B正確；
對于C， 不共面，則不存在實數(shù)，使得 ，故C錯誤；
對于D，若 共面， ， 無解，
故 不共面，一定能構(gòu)成空間的一個基底，故D正確
已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果．
【解析】向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，
則，
所以，解得，
故在基底下的坐標(biāo)為．
已知，，，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)的值為（ ）
A．0B．C．9D．
【答案】D
【分析】依題意可得共面，則，其中，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，解得即可.
【解析】不能構(gòu)成空間的一個基底，共面，則，其中，
則，
，解得.
題型三 空間向量共面問題
下列條件能使點與點一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項，即可得答案.
【解析】設(shè)，若，則點共面．
對于A，，由于，故A錯誤；
對于B，，由于，故B錯誤；
對于C, ，由于，故C錯誤；
對于D，，由于，得共面，故D正確.
（多選）下列各組向量中共面的有（ ）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
【答案】ABC
【分析】三個向量中如果兩個向量共線或者其中一個向量可以用其他兩個向量進(jìn)行表示可以判定三個向量共面.
【解析】選項A中，設(shè)，則解得故存在實數(shù)使得，因此共面.
選項B中，選項C中.故B，C中三個向量也共面.
選項D中，設(shè)，則顯然無解，故不共面.
已知，若三向量共面，則實數(shù)等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】利用向量共面定理，設(shè)，列出方程組，即可求出實數(shù)．
【解析】，三向量共面，
可設(shè)，即，
，解得．
已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點共面，則λ=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算和相等向量的概念計算，即可求解.
【解析】由題意，設(shè)存在唯一的實數(shù)對，使得，
即，
則，
則x=2，，，解得.
已知三點不共線，是平面外任意一點，若，則四點共面的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】四點共面的充要條件是，，整理可得，
由，則，解得
已知，，，四點在平面內(nèi)，且任意三點都不共線，點在外，且滿足，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的共面定理可求的值.
【解析】因為點在外，由空間向量的共面定理可知且；
由題意，所以；
所以，解得.
已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)四點共面的充要條件及其推論，即可得出答案.
【解析】由與三點共面以及，
可得，，所以.
設(shè)向量不共面，空間一點滿足，則四點共面的一組數(shù)對是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】空間一點滿足，若四點共面，則
選項A：.判斷錯誤；
選項B：.判斷錯誤；
選項C：.判斷正確；
選項D：.判斷錯誤.
題型四 空間向量平行或垂直
已知m，n是實數(shù)，若點，在同一直線上，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三點共線列方程，化簡求得，進(jìn)而求得.
【解析】，
依題意，三點共線，
所以，解得.
如圖，在棱長為的正方體中，是底面正方形的中心，點在上，點在上，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，，其中，，由求出的值，即可得解.
【解析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、，設(shè)點，，其中，，
，，
因為，則，解得，故.
題型五 投影問題
已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為_______．
【答案】
【解析】由題意可知，在方向上投影的模為
已知直線l的方向向量為，點在l上，則點到l的距離為（ ）
A．B．1C．3D．2
【答案】B
【分析】結(jié)合點到直線距離公式分別計算模長與夾角的正弦值即可計算.
【詳解】由題可知，點到l的距離為，，，，，則，則，故點到l的距離為.
四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過點和點分別作直線的垂線，由垂足確定在向量上的投影向量.
【解析】四棱錐如圖所示，
底面是矩形，∴，
底面，底面，∴，
過向量的始點作直線的垂線，垂足為點，過向量的終點作直線的垂線，垂足為點，在向量上的投影向量為，由底面是矩形,
題型六 夾角問題
已知向量，若，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】由，
得，則，
設(shè)向量與的夾角為，則，又，所以，
因為，所以向量與為相反向量，所以與的夾角為.
若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】因為與的夾角是銳角，所以，
即，解得，
若與的夾角為，則存在，使，
即，所以，解得.故t的取值范圍是.
已知，．若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，根據(jù)數(shù)量積公式列出不等式并排除向量反向時的值，即可得出答案.
【解析】由題意可知，，且與不共線．由，解得．若與共線，
則，即，則，與方向相反需要舍去，
因此實數(shù)的取值范圍為．
（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解.
【詳解】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)，則，，，.
所以,.
設(shè)直線與夾角為，則.
如圖，在直三棱柱中，，且，已知E為BC的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直三棱柱的幾何性質(zhì)，補(bǔ)形成正方體，利用異面直線夾角的定義，結(jié)合余弦定理，可得答案.
【詳解】由題意，可得該三棱柱可看作正方體的一半，補(bǔ)形如下圖所示：
記的中點為，連結(jié)，
因為在正方形，是的中點，
所以，
又，所以，
故四邊形是平行四邊形，則，
則為直線與的夾角或其補(bǔ)角，
設(shè)該正方體的邊長為，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，.
如圖，在直三棱柱中，，，點E是棱上一點，且，則異面直線與AE所成角的余弦值為________.
【答案】
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則
在如圖所示的正方體中，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
【答案】
【詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體中棱長為2，
則， ， ， ，
， ，
設(shè)異面直線與所成角為，則．
異面直線與所成角的余弦值為．
正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，
，
在兩條異面直線，上分別取點，E和點A，F(xiàn)，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)兩條異面直線，所成的角為，將等式兩邊同時平方計算可得答案．
【詳解】如圖，設(shè)兩條異面直線，所成的角為，
，，，，，，
，
則
，
得或（舍去）
已知在大小為的二面角中，，，于點，于點，且，則直線與所成角的余弦為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長，即可求解
【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，
因為，，則，
又因為，，，故二面角的平面角為，
因為四邊形為平行四邊形，則，，
所以在中，，則，
，則，，，平面，
故平面，
因為平面，則，故.
，所以直線與所成角相當(dāng)于直線與所成角，即，
所以
題型七 空間向量數(shù)量積
設(shè)、為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正確的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義可判斷①、②、③；利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷④.
【解析】對于①，，①正確；
對于②，向量不能作比值，即錯誤，②錯誤；
對于③，設(shè)、的夾角為，則，③錯誤；
對于④，由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，④正確.
設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律一一判斷即可；
【解析】解：對于A：，故A正確；
對于B：因為向量不能做除法，即無意義，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確
已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的模長公式即可求解.
【解析】因為
，所以．
在棱長為1的正方體中，為上任意一點，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和運(yùn)算公式結(jié)合圖形求
【解析】由圖形可得，
所以，
由正方體性質(zhì)可得，所以，
所以，又，與方向相反，所以.

已知，則的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知，故，
則，即的最小值是
設(shè)正四面體的棱長為，，分別是，的中點，則的值為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依題意，由
，，
故,
所以
．
平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．
【答案】1
【分析】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算表示出，再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.
【解析】由題意得， ，
則
,
故答案為：1.
已知，，，，點在直線上運(yùn)動，當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)是______
【答案】
【解析】因為點在直線上運(yùn)動，所以存在，使得，
因為，所以，所以點的坐標(biāo)為.
所以，，
所以，
所以當(dāng)時，取最小值，此時點的坐標(biāo)為.
題型八 利用空間向量求模長
已知三棱柱的側(cè)棱長為2，底面是邊長為2的正三角形，，若和相交于點M.則（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】依題意可知是的中點，
所以
，
所以
.
故選：D

平行六面體中，，，則的長為（ ）
A．10B．C．D．
【答案】B
【分析】由，兩邊平方，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可求解．
【解析】如圖，

由題知，,
，，
.
，
，
即的長為.
平行六面體中，， ，，，則向量 的模長__________ .
【答案】
【解析】畫出圖形，根據(jù)條件得出，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【解析】如圖所示，四棱柱中，，，，
且，
所以，
所以
.
故答案為：.
已知空間向量的模長分別為，且兩兩夾角均為.點為的重心，若，，則___________.
【答案】
，由平面向量數(shù)量積定義和運(yùn)算法則可求得，進(jìn)而得到.
【解析】為的重心，設(shè)中點為，，
，
，
，.
題型九 立體圖形中的極化恒等式
已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點Р在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可得，根據(jù)正方體的特點確定最大值和最小值，即可求解
【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,
,
因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，
所以，，
所以，
又點Р在正方體表面上運(yùn)動，
所以當(dāng)為正方體頂點時，最大，且最大值為；
當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點時，最小 ，且最小為；
所以，所以的取值范圍為
如圖，半徑為1的球是圓柱的內(nèi)切球，線段是球的一條直徑，點是圓柱表面上的動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把都用表示，再根據(jù)的模長的范圍求出數(shù)量積的范圍即可.
【詳解】，
因為線段是球的一條直徑，
,
，又，，
已知是棱長為的正方體外接球的一條直徑，點在正方體表面上運(yùn)動，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件及正方體的體對角線為正方體外接球的直徑，再利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可知，為棱長為的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任意一點，如圖所示
則球心也就是正方體的中心，
所以正方體的中心到正方體表面任意一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球半徑，它等于棱長的一半為,的長為正方體的對角線長為.
，所以的最小值為.
已知正方體的棱長為，球是正方體的內(nèi)切球，是球的直徑，點是正方體表面上的一個動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為球是正方體的內(nèi)切球，是球的直徑，
所以，，，
因為，
又因為點是正方體表面上的一個動點，
所以當(dāng)點為正方體頂點時，有最大值，最大值為，
當(dāng)點為內(nèi)切球與正方體的切點時，有最小值，最小值為，
即，
即的取值范圍為
已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點是內(nèi)切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，取中點為，則，再結(jié)合向量的運(yùn)算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
取中點為，因為，，
所以，
又，則，
又正方體的棱長為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，
所以，
所以，
所以當(dāng)，反向時，，有最小值為；
當(dāng)，同向時，，有最大值為.
正四面體的棱長為1，點是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，當(dāng)取得最小值時，點到的距離為 .
【答案】
【分析】利用等體積法求得，根據(jù)空間向量運(yùn)算可得，則當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)的中點為，的中心為，連接，
因為四面體是棱長為1的正四面體，可知，
即四面體的高為，則其體積為，
設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，
由等體積可得，解得，
如圖，取的中點為，
則，
顯然當(dāng)?shù)拈L度最小時，取得最小值.
設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，
因為球心到點的距離，
所以球上的點到點的最小距離為，
即當(dāng)取得最小值時，點到的距離為.
故答案為：.
題型十 點到平面距離問題
是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為
【答案】
【分析】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，的坐標(biāo)，利用距離公式，即可得到結(jié)論.
【詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)平面的法向量是，
，
∴由，可得
取得，，∴到平面的距離.
將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則點到平面的距離為______．
【答案】
【詳解】記AC與BD的交點為O，圖1中，由正方形性質(zhì)可知，
所以在圖2中，，所以，即
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知
則
則
設(shè)為平面ABC的法向量，
則，取，得
所以點到平面的距離
故答案為：
題型十一 利用空間向量求最值與范圍
如圖所示，在正方體中，點是底面內(nèi)（含邊界）的一點，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為____________
【答案】
【詳解】過作平面平面，
因為點是底面內(nèi)（含邊界）的一點，且平面，
則平面，即在與平面的交線上，
連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，
同理可證平面，所以平面平面，
則平面即為，點在線段上，
設(shè)正方體的棱長為，且，
則，
，可得，
設(shè)與所成角為，
則，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)或時，取得最大值，最大值為．
正方體的棱長為2，若動點在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．
【解析】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，．
，，．
點在線段上運(yùn)動，
，且．
，
，
∵，∴，即
如圖，在正方體中，動點在線段上，異面直線和所成的角為，則的取值范圍是 .（用區(qū)間表示）
【答案】
【分析】利用，得出，通過線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得到，通過幾何關(guān)系可得到，可知的最小值為與平面所成的角.設(shè)的交點為O，則為與平面所成的角.所以的最小值為.的最大值為點在點處，此時.
【詳解】連結(jié),
由正方體的性質(zhì)可得，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以異面直線和所成的角即直線與所成的角，
連接的交點為O，過點作直線的垂線，垂足為，
因為平面，平面，
顯然,，
又平面,所以平面,
因為平面,所以,,
又因為，平面，所以平面，
又平面，，
易知,所以有，，，可得,
由正方體的性質(zhì)可知，顯然為銳角，所以，得，即，
所以當(dāng)，即點在上時，此時有最大值為，此時最小為；
顯然當(dāng)點在時，此時有最大值，因為，此時有最大值，顯然為正三角形，所以此時；故
在正方體中，，點是線段上靠近點的三等分點，在三角形內(nèi)有一動點（包括邊界），則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)關(guān)于平面的對稱點為，利用點到面的距離的向量求法和可構(gòu)造方程組求得坐標(biāo)，利用可求得結(jié)果.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，
設(shè)關(guān)于平面的對稱點為，
則，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，，
與到平面的距離，
又，，
，，，，
（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號），
即的最小值為.
題型十二 綜合性問題
（多選）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面交于點O，M是棱上的動點，則（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．存在點M，使平面
C．點M到平面的距離與點M到平面的距離之和為定值
D．存在點M，使直線與所成的角為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AS所在直線分別為軸，利用向量法判斷CD，根據(jù)底面積不變，高最大時，錐體體積最大，判斷A選項.根據(jù)線面平行的判定定理判斷B即可求解.
【詳解】以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AS所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，
則,
由是棱上的動點，設(shè)，
,因為底面為正方形，故,
又底面所以,
又,所以底面,所以當(dāng)與D重合時，三棱錐體積的最大且為，故A對.
當(dāng)為中點時，是的中位線，所以，又平面，
平面，所以平面，故B正確；
點到平面的距離，點到平面的距離
,所以，故C正確.
,,若存在點，使直線與所成的角為30°
則，化簡得，無解，
故D錯誤
（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，O為面的中心，E、F分別為BC和的中點，則（ ）
A．平面B．平面與平面相交
C．點О到直線的距離為D．點O到平面的距離為
【答案】BC
【分析】建系，利用空間向量處理線、面關(guān)系以及距離問題.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則有：，
設(shè)平面的法向量為，
由，則，
令，則，則，
設(shè)平面的法向量為，
由，則，
令，則，則，
對A：∵，則，即與不共線，
∴不與平面垂直，A錯誤；
對B：∵，則與不共線，
∴平面與平面相交，B正確；
對C：∵，則，即為銳角，
∴，
故點О到直線的距離為，C正確；
對D：點O到平面的距離為，D錯誤.
故選：BC.
（多選）如圖，棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為面對角線上一個動點，則（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．線段上存在點，使平面//平面
C．當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為
D．三棱錐的外接球半徑的最大值為
【答案】ACD
【分析】A選項，使用等體積法，面面平行進(jìn)行證明；
B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行證明；
C選項，根據(jù)先求出的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式計算；
D選項，找到外接球的球心，表達(dá)出半徑，求出最大值.
【詳解】對于A選項，因為平面//平面，而平面，故//平面，
因為點為面對角線上一個動點，故點到面距離不變，為，
因為分別為棱的中點，故為定值，
故三棱錐，而三棱錐的體積，A選項正確；
對于B選項，如圖1，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，設(shè)（），
平面的法向量為，則，令，則，，則，
設(shè)平面的法向量，則，令，則，，
所以，
若平面//平面，則存在，使得，即，解得：，，
因為，故不合題意，
所以線段上不存在點，使平面//平面，B選項錯誤；
對于C選項，，，，若，即，解得，
此時，又，，顯然平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，則，C選項正確；
對于D選項，如圖2，連接，交EF于點J，則為EF的中點，，則三棱錐的外接球球心的投影為，
過點作于點，則平面，，找到球心位置，連接，則為外接球半徑，
過點作于點，則，，設(shè)（），，
由勾股定理得：，，從而，解得：，
要想半徑最大，則只需最大，即最大，當(dāng)時，最大為，此時半徑的最大值為，故D正確.

（多選）如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，點是棱的中點，點在底面內(nèi)運(yùn)動（包括邊界），則下列說法正確的有（ ）
A．存在點使得平面
B．當(dāng)時，存在點使得直線與平面所成的角為
C．當(dāng)時，滿足的點有且僅有兩個
D．當(dāng)時，滿足的點的軌跡長度為
【答案】AD
【分析】根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及面面平行的性質(zhì)判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷B、C、D.
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，
對于A：由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，當(dāng)時平面，故A正確；
對于B：當(dāng)時，設(shè)，，則，
顯然平面的法向量可以為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
若直線與平面所成的角為，則，即，
所以，因為，所以，，
所以，故不存在使得，
即不存在點使得直線與平面所成的角為，故B錯誤；
對于C：由，，
因為，所以，
所以，所以，即，所以滿足的點有且僅有個，故C錯誤；
對于D：當(dāng)時，，，，
因為，所以，即，
由，
又，則圓心，半徑為的圓與軸、軸分別交于點、，如下圖所示：
過點作交于點，則，所以，則，又，
所以，所以，
圓弧的長度，所以點的軌跡長度為，故D正確；
共線(平行)向量
共面向量
定義
表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量
平行于同一個平面的向量叫做共面向量
充要條件
對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb
若兩個向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb

相關(guān)試卷

2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_2空間向量與立體幾何20類解答題專練教師版：

這是一份2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_2空間向量與立體幾何20類解答題專練教師版，共69頁。試卷主要包含了平行證明，垂直證明，點到平面的距離，異面直線所成角，線面角，面面角，二面角等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_2空間向量與立體幾何20類解答題專練學(xué)生版：

這是一份2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_2空間向量與立體幾何20類解答題專練學(xué)生版，共24頁。試卷主要包含了平行證明，垂直證明，點到平面的距離，異面直線所成角，線面角，面面角，二面角等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_1空間向量與立體幾何12類選填小題專練學(xué)生版：

這是一份2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1_1空間向量與立體幾何12類選填小題專練學(xué)生版，共18頁。試卷主要包含了空間向量的基本定理，共面向量，投影向量，夾角問題，極化恒等式等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編專練

新高考數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編專練
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (36)（2份打包，解析版+原卷版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (36)（2份打包，解析版+原卷版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (26)（2份打包，解析版+原卷版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (26)（2份打包，解析版+原卷版）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (10)（2份打包，解析版+原卷版）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題精練8+4+4選填專練 (10)（2份打包，解析版+原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部