(1)運動員在擲球過程中對保齡球做的功W;
(2)在撞上球瓶前的瞬間,保齡球的速度v1的大小;
(3)碰撞后,球瓶的速度v2的大小。
答案 (1)22.4 J
(2)4 m/s
(3)163 m/s
解析 (1)運動員在擲球過程中,根據(jù)動能定理可得
W+Mgh=12Mv02-0
解得運動員對保齡球做的功為W=22.4 J。
(2)保齡球從B到C的過程,根據(jù)動量定理可得-120Mgt=Mv1-Mv0
解得在撞上球瓶前的瞬間,保齡球的速度大小為v1=4 m/s。
(3)球與球瓶的碰撞過程時間極短,碰撞中沒有能量損失,可知碰撞過程滿足動量守恒和機械能守恒,則有Mv1=Mv3+mv2
12Mv12=12Mv32+12mv22
聯(lián)立解得碰撞后,球瓶的速度大小為v2=163 m/s。
2.(12分)(2024四川一模)如圖所示,某玻璃薄板截面為正三角形,A、B、C為三角形的三個頂點,以正三角形ABC的幾何中心O點為圓心挖出一圓孔,現(xiàn)將一點光源放置在O點處,該光源向各方向均勻發(fā)射真空中波長為λ0=650 nm的紅光,CH為AB邊的中垂線。已知玻璃薄板對紅光的折射率為n=53,光在真空中的傳播速度為c,sin 37°=0.6,cs 37°=0.8,求:
(1)該紅光在玻璃薄板中傳播時的波長;
(2)射到AB邊的光子中能直接從AB邊射出和不能直接從AB邊射出的光子個數(shù)比(不考慮多次反射)。
答案 (1)390 nm (2)3723
解析 (1)設(shè)該紅光在玻璃薄板中的波速為v,波長為λ介,由波速公式、折射率和波速關(guān)系可得c=λ0f
v=λ介f
n=cv
解得λ介=λ0n=390 nm。
(2)如圖所示
設(shè)在HB區(qū)域恰好發(fā)生全反射的點為D,玻璃介質(zhì)的臨界角為θ,由臨界角公式可得sin θ=1n
解得θ=37°
易得∠HOD=θ
由幾何關(guān)系可得光線在DB段的入射角大于臨界角θ,發(fā)生全反射無光線射出,在HD段的入射角小于臨界角θ,會發(fā)生折射,直接射出,由于光源向各方向發(fā)光均勻,則輻射區(qū)域光子數(shù)目與輻射角成正比,對HB區(qū)域,設(shè)能夠射出的光子數(shù)為N1,不能射出的光子數(shù)為N2,可得N1N2=θ∠HOB-θ=3723
由于AH段和HB段對稱,故射到AB邊的光子能直接從AB邊射出和不能直接從AB邊射出的光子個數(shù)比為3723。
3.(16分)(2024江蘇連云港一模)如圖甲所示,立方體空間的邊長為L,側(cè)面CDHG為熒光屏,能完全吸收打在屏上的帶電粒子并發(fā)光,三維坐標系坐標原點O位于底面EFGH的中心,Ox∥FG,Oy∥GH。已知原點O有一粒子源,能向xOy平面內(nèi)各個方向均勻持續(xù)發(fā)射速率為v0、質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,不計粒子重力及粒子間的相互作用。
(1)若在立方體空間內(nèi)存在方向平行于z軸的勻強磁場,沿y軸正方向射出的粒子恰好打在熒光屏上的H點,求該勻強磁場磁感應強度的大小B1;
(2)若磁場與(1)問中的相同,求粒子從原點O運動到熒光屏的最長時間t1和最短時間t2;
(3)若在立方體空間內(nèi)平行y軸加如圖乙所示隨時間t按余弦規(guī)律變化的磁場,同時平行z軸加如圖丙所示隨時間t按正弦規(guī)律變化的磁場,圖中峰值B2=8mv05qL,粒子在磁場中的運動時間遠小于磁場變化周期,不計電磁感應現(xiàn)象影響。求沿x軸正方向射出的粒子打在熒光屏上落點的痕跡長度l。
答案 (1)2mv0qL (2)πL4v0 πL6v0 (3)πL4
解析 (1)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動,由幾何關(guān)系可得r1=L2
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qv0B1=mv02r1
解得B1=2mv0qL。
(2)粒子在勻強磁場中運動的周期為T=2πr1v0=πLv0
根據(jù)半徑一定時,弦長越長,圓心角越大,粒子運動時間越長,即當粒子從H處射出時弦OH最長,圓心角最大為90°,運動時間最長為t1=90°360°T=πL4v0
當粒子從x軸上的點L2,0,0射出時,弦長最短為L2,圓心角最小,由幾何關(guān)系知圓心角為60°,運動的最短時間為t2=60°360°T=πL6v0。
(3)根據(jù)題中兩個方向上的正弦和余弦磁場變化規(guī)律可知By=B2cs 2πTt
Bz=B2sin 2πTt
故可知y和z軸方向的合磁感應強度大小為B=By2+Bz2=B2
故可知合磁場大小始終不變,方向垂直于x軸勻速改變,沿x軸正方向射出的粒子速度始終與該合磁場方向垂直,故粒子軌跡為一個固定大小的圓,當磁場旋轉(zhuǎn)時可知粒子的運動軌跡圓繞著Ox軸旋轉(zhuǎn),與右側(cè)屏的交點是個圓,又因為右側(cè)屏只在z≥0處存在,故痕跡為一個半圓
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qv0B2=mv02r2
粒子的運動軌跡半徑為r2=mv0qB2=58L
沿x軸正方向射出的粒子,粒子分別在兩個截面的軌跡如圖所示,設(shè)粒子射出點距x的距離分別為y和z,由幾何關(guān)系知(r2-y)2+L22=r22
(r2-z)2+L22=r22
解得y=L4,z=L4
故可得痕跡圓的半徑為r=L4
故粒子打在熒光屏上落點的痕跡長度為l=πr=πL4。

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