(1)在初始不用手?jǐn)D壓塑料水瓶時(shí),小玻璃瓶中氣柱的長度至少為多少,小玻璃瓶才會(huì)浮在水面上?
(2)若某時(shí)刻小玻璃瓶內(nèi)氣體壓強(qiáng)為1.1p0,瓶內(nèi)氣柱長為5.2 cm,再用力緩慢擠壓塑料水瓶,當(dāng)小玻璃瓶內(nèi)氣體壓強(qiáng)穩(wěn)定在1.3p0時(shí),小玻璃瓶內(nèi)氣柱長度為多少?
答案 (1)3 cm (2)4.4 cm
解析 (1)不用手?jǐn)D壓塑料水瓶時(shí),為保證小玻璃瓶會(huì)浮在水面上,則至少應(yīng)保證小玻璃瓶剛好完全浸沒時(shí),所受浮力與重力大小相等,設(shè)小玻璃瓶中氣柱的長度為h,則有ρ水gSh=mg
解得h=3 cm。
(2)由于環(huán)境溫度始終保持不變,則小玻璃瓶內(nèi)氣體發(fā)生等溫變化,設(shè)此次擠壓塑料水瓶前、后小玻璃瓶內(nèi)氣柱長度分別為l1、l2,可得1.1p0×Sl1=1.3p0×Sl2
解得l2=4.4 cm。
2.(8分)(2024山東棗莊一模)如圖所示,豎直平面內(nèi)固定一彎曲剛性細(xì)桿POQ,PO部分光滑,形狀為四分之一圓弧;OQ部分粗糙,形狀為開口向下的拋物線的一部分,彎曲桿O點(diǎn)處的切線水平。小圓環(huán)穿在桿上,從P點(diǎn)由靜止釋放,到達(dá)Q點(diǎn)后與桿之間無彈力。若以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),沿水平和豎直方向建立直角坐標(biāo)系xOy,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(5 m,5 m)。已知彎曲桿PO部分的半徑R=1.8 m,小圓環(huán)的質(zhì)量m=1 kg,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)小圓環(huán)在PO部分經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對桿壓力的大小;
(2)小圓環(huán)在OQ部分運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功。
答案 (1)30 N (2)5.5 J
解析 (1)小圓環(huán)從P到O,根據(jù)機(jī)械能守恒有mgR=12mvO2
小圓環(huán)在PO部分經(jīng)過O點(diǎn)時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有F-mg=mvO2R
聯(lián)立解得,此時(shí)小圓環(huán)受到桿的支持力大小為F=3mg=30 N
故小圓環(huán)在PO部分經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)對桿壓力的大小為30 N。
(2)由于OQ部分形狀為開口向下的拋物線的一部分,到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)恰好與桿之間無彈力,則可將小圓環(huán)從O到Q的運(yùn)動(dòng)等效為以初速度v0從O點(diǎn)拋出的平拋運(yùn)動(dòng),由數(shù)學(xué)知識(shí)可得y=15x2
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的拋物線方程y=g2v02x2
可得v0=5 m/s
即以初速度v0為5 m/s從O點(diǎn)拋出的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與該拋物線重合,則Q點(diǎn)的豎直速度為vy=2gy=10 m/s
所以經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為vQ=v02+vy2=55 m/s
從P到Q根據(jù)動(dòng)能定理有mg(R+y)-W=12mvQ2
解得,小圓環(huán)在OQ部分運(yùn)動(dòng)過程中克服摩擦力做的功為W=5.5 J。
3.(14分)(2024江西九江二模)如圖甲所示,兩根光滑平行導(dǎo)軌固定在水平面內(nèi),相距為L,電阻不計(jì),整個(gè)導(dǎo)軌平面處于方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中,導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻,沿導(dǎo)軌方向建立x坐標(biāo)軸。質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置在x=-x0處。在金屬棒ab上施加沿x軸方向的外力F,使金屬棒ab開始做簡諧運(yùn)動(dòng),將金屬棒運(yùn)動(dòng)到x=0處時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn),其速度隨時(shí)間變化的圖線如圖乙所示,其最大速度為v1。求:
(1)金屬棒做簡諧運(yùn)動(dòng)過程中流過的電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系;
(2)在0~π2 s時(shí)間內(nèi)通過金屬棒的電荷量;
(3)在0~π2 s時(shí)間內(nèi)外力F所做的功。
答案 (1)i=BLv1R+r·cs t
(2)Bx0LR+r
(3)πB2L2v124(R+r)-12mv12
解析 (1)由圖乙可知金屬棒做簡諧運(yùn)動(dòng)的周期T=2π s
由此可得ω=2πT=1 rad/s
根據(jù)圖乙可知速度與時(shí)間的變化關(guān)系滿足余弦函數(shù),可得其關(guān)系為
v=v1cs ωt m/s
由閉合回路的歐姆定律有
i=BLvR+r=BLv1R+r·cs t。
(2)根據(jù)對稱性可知在t=π2 s時(shí),金屬棒到達(dá)x=x0處,則在0~π2 s時(shí)間內(nèi)通過金屬棒的電荷量q=ΔΦR=BΔSR+r=Bx0LR+r。
(3)金屬棒做簡諧運(yùn)動(dòng)過程中,回路中電流為余弦式交變電流,在0到π2 s時(shí)間內(nèi),
電路產(chǎn)生熱量
Q=I2(R+r)t
其中I=Im2=BLv12(R+r),t=π2 s
解得Q=πB2L2v124(R+r)
設(shè)在0到π2 s的時(shí)間內(nèi)外力F所做的功為WF,安培力所做的功為WA,由動(dòng)能定理得
WF-WA=0-12mv12
其中WA=Q
解得WF=πB2L2v124(R+r)-12mv12。
4.(16分)(2024重慶高三模擬)如圖所示,在第一象限中有一勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出),一帶正電的粒子(不計(jì)重力)從y軸上A點(diǎn)沿x軸正向以初速度v0進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域,A點(diǎn)坐標(biāo)為0,32L,隨后從x軸上的C點(diǎn)出磁場并進(jìn)入第四象限的勻強(qiáng)電場區(qū)域,速度方向與x軸負(fù)向成60°角。粒子經(jīng)過此電場區(qū)域后恰好垂直于y軸進(jìn)入第三象限的電、磁場區(qū)域,它們的寬度都為L,其中磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=mv04qL,電場強(qiáng)度為E=mv028qL。已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,虛線邊界有電場。求:
(1)第一象限中勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小和方向;
(2)粒子剛進(jìn)入第三象限中的第二個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速度大小;
(3)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,粒子距離y軸最遠(yuǎn)的水平距離。
答案 (1)B1=mv0qL,方向垂直于紙面向外
(2)22v0
(3)(4+25)L
解析 (1)設(shè)該粒子在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,由幾何關(guān)系得r=L
由洛倫茲力提供向心力,得qv0B1=mv02r
解得B1=mv0qL,方向垂直于紙面向外。
(2)設(shè)粒子剛進(jìn)入第四象限第一個(gè)磁場時(shí)的速度為v1,則v1=v0cs 60°=v02
設(shè)粒子在該磁場區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R1,由qv1B=mv12R1,得R1=2L
由幾何關(guān)系,粒子出磁場時(shí)與水平方向的夾角為30°,則粒子剛進(jìn)入電場區(qū)域時(shí)水平方向的速度為v1x=v1cs 30°=3v04
豎直方向的速度為v1y=v1sin 30°=v04
設(shè)粒子在第一個(gè)電場區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的加速度為a,離開時(shí)的水平方向速度為v2x,則有
v2x2-v1x2=2aL
qE=ma
解得粒子剛進(jìn)入第三象限中的第二個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速度大小為v2=v2x2+v1y2=22v0。
(3)設(shè)在第n個(gè)磁場中最遠(yuǎn),在第三象限磁場中的水平位移大小為x磁,則
由動(dòng)量定理∑qvxB·Δt=mΔvy
得qBx磁=mvy
由能量關(guān)系qE(n-1)L=12mvy2-12mv12
得x磁=2nL
而(n-1)L

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