(1)這束紅光在該液體中的折射率n;
(2)這束紅光在液體中的傳播時(shí)間。
答案 (1)43
(2)2.2×10-9 s
解析 (1)根據(jù)幾何關(guān)系可知,該束紅光在P點(diǎn)發(fā)生的反射,入射角α符合
tan α=MPMQ=60cm80cm=34
則α=37°
則這束紅光從液體中射出時(shí)的折射角
β=90°-37°=53°
根據(jù)折射定律可知
n=sinβsinθ=43。
(2)設(shè)液體深度為h=40 cm,則這束紅光在液體中的傳播距離s=hcs37°
傳播速度v=cn
則傳播時(shí)間
t=sv=2.2×10-9 s。
2.(8分)(2024遼寧鞍山二模)如圖所示,質(zhì)量為m的小球A通過長(zhǎng)為L(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)輕繩懸掛于天花板上,質(zhì)量為2m的小球B放在高也為L(zhǎng)的豎直支架上?，F(xiàn)將A球拉至水平位置由靜止釋放,在最低點(diǎn)與靜止的B球發(fā)生碰撞,碰后瞬間B球的速度大小為22gL3。求:
(1)從碰后至B球落地時(shí)B球的水平位移x;
(2)A、B碰后瞬間輕繩對(duì)A的拉力大小FT。
答案 (1)43L
(2)119mg
解析 (1)設(shè)B球在空中做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,則有
L=12gt2
x=vB·t
得x=43L。
(2)設(shè)A球碰前的速度為v0,由動(dòng)能定理有
mgL=12mv02
A、B兩球碰撞滿足動(dòng)量守恒,設(shè)碰后A球速度為vA,水平向右為正,則有
mv0=mvA+2mvB
得vA=-2gL3
由牛頓第二定律得FT-mg=mvA2L
得FT=119mg。
3.(14分)(2024山東棗莊一模)如圖甲所示,三維坐標(biāo)系O-xyz所在的空間中,有平行于y軸且沿其正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E1=7mv0210qL。一帶正電的粒子從A點(diǎn)由靜止開始經(jīng)加速電場(chǎng)加速后,沿xOy平面從x軸上的P(L,0,0)點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng),經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度的大小為v0、方向平行于xOy平面且與x軸負(fù)方向的夾角α=53°。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間Δt=2Lv0到達(dá)Q(未畫出)點(diǎn)時(shí),勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向突然變?yōu)閦軸正方向,以此刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn),此后電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E2隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示,同時(shí)加上沿z軸正方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=3mv0qL的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,粒子的重力忽略不計(jì),求:
(1)A、P兩點(diǎn)間的電壓UAP;
(2)Q點(diǎn)的位置及帶電粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度;
(3)t=3πLv0時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)。
答案 (1)mv022q
(2)-L5,-L5,0 325v0,速度方向跟x軸負(fù)方向的夾角為45°
(3)L5,L5,L2
解析 (1)在加速電場(chǎng)中,對(duì)帶電粒子由動(dòng)能定理得
qUAP=12mv02-0
解得UAP=mv022q。
(2)對(duì)帶電粒子,在從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,根據(jù)牛頓第二定律得
qE1=ma
粒子在xOy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為類斜拋運(yùn)動(dòng),軌跡如圖所示
設(shè)粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為v,跟x軸負(fù)方向的夾角為θ,根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解,粒子在Q點(diǎn)滿足
x=-v0cs α·Δt+L=-L5
y=-v0sin α·Δt+12a(Δt)2=-L5
vx=-v0cs α=-35v0
vy=-v0sin α+aΔt=35v0
則有v=vx2+vy2=325v0
tan θ=vyvx=1
可知粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度方向跟x軸負(fù)方向的夾角為45°,大小為v=325v0。
(3)根據(jù)第(2)問計(jì)算結(jié)果可知,帶電粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度與OQ連線垂直,電場(chǎng)變化后粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成在xOy平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)與沿z軸方向的變速直線運(yùn)動(dòng)的合成,由洛倫茲力提供向心力得qvB=mv2R
解得R=25L
R與OQ的長(zhǎng)度相等,即O點(diǎn)為粒子軌跡的圓心,設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的周期為T,則有
T=2πRv=2πL3v0
由于t=3πLv0=4T+12T
可知該時(shí)刻粒子位置的x、y坐標(biāo)值均為L(zhǎng)5
在z軸方向,設(shè)加速度大小為az,根據(jù)牛頓第二定律得qE2=maz
該方向的坐標(biāo)值為
z=12az2πL3v022×5+az·2πL3v02·2πL3v0=L2
則當(dāng)t=3πLv0時(shí)帶電粒子的位置坐標(biāo)為L(zhǎng)5,L5,L2。
4.(16分)(2024山東煙臺(tái)一模)如圖所示,半徑R=1 m的光滑圓環(huán)形滑桿MNP豎直固定放置,左側(cè)端點(diǎn)M和圓心O1的連線與豎直方向夾角的余弦值cs θ=0.15,右側(cè)端點(diǎn)Р和圓心O1、O2在同一水平線上,P點(diǎn)的切線沿豎直方向。現(xiàn)有一質(zhì)量m1=0.2 kg的小橡膠環(huán)A以v0=1.2 m/s的初速度水平拋出,恰好沿滑桿左側(cè)端點(diǎn)M的切線套入滑桿,在滑桿的最高點(diǎn)靜止著質(zhì)量m2=0.2 kg的小橡膠環(huán)B。在右側(cè)端點(diǎn)Р的正下方h=4.15 m處,有一質(zhì)量m3=0.1 kg、長(zhǎng)度L=3 m的長(zhǎng)直木桿C豎直靜止在水平面上,但跟水平面并不黏合。已知小橡膠環(huán)B與長(zhǎng)直木桿C之間的滑動(dòng)摩擦力大小f=2 N,最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力,小橡膠環(huán)A、B均可視為質(zhì)點(diǎn),兩小橡膠環(huán)之間和小橡膠環(huán)與水平面間的碰撞都是彈性碰撞;小橡膠環(huán)B套入長(zhǎng)直木桿C后,長(zhǎng)直木桿C不傾倒,且每次與水平面碰撞瞬間都會(huì)立即停下而不反彈、不傾倒。不計(jì)空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)小橡膠環(huán)A到達(dá)滑桿最低點(diǎn)Q時(shí)所受彈力大小;
(2)小橡膠環(huán)B在長(zhǎng)直木桿C上上滑的最大距離;
(3)長(zhǎng)直木桿C跟水平面第一次碰撞瞬間損失的機(jī)械能;
(4)小橡膠環(huán)B在長(zhǎng)直木桿C上運(yùn)動(dòng)的總路程。
答案 (1)18.2 N (2)2.4 m (3)1.6 J (4)32135 m
解析 (1)小橡膠環(huán)A恰好沿滑桿左側(cè)端點(diǎn)M的切線套入滑桿,設(shè)小橡膠環(huán)A在M點(diǎn)時(shí)的速度為vM,則vMcs θ=v0
解得vM=8 m/s
小橡膠環(huán)A從M點(diǎn)到Q點(diǎn),根據(jù)動(dòng)能定理
m1gR(1-cs θ)=12m1vQ2-12m1vM2
解得vQ=9 m/s
小橡膠環(huán)A在Q點(diǎn)時(shí),支持力和重力的合力提供向心力
N-m1g=m1vQ2R
解得N=18.2 N。
(2)設(shè)小橡膠環(huán)A從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)與小橡膠環(huán)B碰撞前的速度為vA,根據(jù)動(dòng)能定理
-m1g×2R=12m1vA2-12m1vQ2
設(shè)小橡膠環(huán)A和小橡膠環(huán)B碰后的速度分別為vA'和vB,根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒
m1vA=m1vA'+m2vB
12m1vA2=12m1vA'2+12m2vB2
小橡膠環(huán)B,從碰撞后到與長(zhǎng)直木桿接觸前瞬間,設(shè)接觸前速度為v,根據(jù)動(dòng)能定理
m2g(R+h)=12m2v2-12m2vB2
解得v=12 m/s
小橡膠環(huán)B沿長(zhǎng)直木桿下滑時(shí),長(zhǎng)直木桿靜止不動(dòng),根據(jù)受力分析m2g=f
可得小橡膠環(huán)B在長(zhǎng)直木桿C上受力平衡做勻速直線運(yùn)動(dòng),小橡膠環(huán)B沿長(zhǎng)直木桿上滑時(shí),小橡膠環(huán)B做勻減速直線運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)直木桿C做勻加速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)共速時(shí)速度大小為v1,所需時(shí)間為t1,對(duì)小橡膠環(huán)B有
m2g+f=m2a1
v1=v-a1t1
對(duì)長(zhǎng)直木桿有
f-m3g=m3a2
v1=a2t1
x1=v12t1
此時(shí)小橡膠環(huán)B上滑的距離最大
s1=v+v12t1-v12t1=v26a22=2.4 m。
(3)小橡膠環(huán)B與長(zhǎng)直木桿C共速后一起做豎直上拋運(yùn)動(dòng),直到長(zhǎng)直木桿跟水平面第一次碰撞前,則有v1'2-v12=2gx1
解得長(zhǎng)直木桿跟水平面第一次碰撞瞬間前的速度大小為v1'=42 m/s
長(zhǎng)直木桿跟水平面第一次碰撞瞬間損失的機(jī)械能為ΔE=12m3v1'2=1.6 J。
(4)長(zhǎng)直木桿跟水平面第一次碰撞后,小橡膠環(huán)B先沿長(zhǎng)直木桿做勻速下滑,小橡膠環(huán)B跟水平面碰撞后小橡膠環(huán)B沿長(zhǎng)直木桿上滑時(shí),小橡膠環(huán)B做勻減速直線運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)直木桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng),第二次共速后又一起做豎直上拋運(yùn)動(dòng),直到長(zhǎng)直木桿跟水平面第二次碰撞,設(shè)第二次達(dá)到共速時(shí)速度為v2,則有
v2=v1'-a1t2
v2=a2t2
v2'2-v22=2gv22t2
聯(lián)立可得長(zhǎng)直木桿跟水平面第二次將要碰撞時(shí)的速度大小為
v2'=2v2=23v1'=232v
可得長(zhǎng)直木桿跟水平面第n次將要碰撞時(shí)的速度大小表達(dá)式為
vn'=23nv=12×23n m/s
小橡膠環(huán)B沿長(zhǎng)直木桿第一次下滑的路程為L(zhǎng),小橡膠環(huán)B跟水平面碰撞后小橡膠環(huán)沿長(zhǎng)直木桿上滑,由(3)知,在長(zhǎng)直木桿上第一次上滑的路程為s1=125 m
第一次勻速下滑的路程為s1;在長(zhǎng)直木桿上第二次上滑的路程為
s2=v1'+v22t2-v22t2=v1'26a22=29s1
第二次勻速下滑的路程為s2,以此類推小橡膠環(huán)B在長(zhǎng)直木桿上運(yùn)動(dòng)的總路程s=L+2s1+2s2+2s3+…=L+2s11-29=32135 m。

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