(1)運(yùn)動(dòng)員在擲球過程中對(duì)保齡球做的功W;
(2)在撞上球瓶前的瞬間,保齡球的速度v1的大小;
(3)碰撞后,球瓶的速度v2的大小。
答案 (1)22.4 J
(2)4 m/s
(3)163 m/s
解析 (1)運(yùn)動(dòng)員在擲球過程中,根據(jù)動(dòng)能定理可得
W+m0gh=12m0v02-0
解得運(yùn)動(dòng)員對(duì)保齡球做的功為W=22.4 J。
(2)保齡球從B到C的過程,根據(jù)動(dòng)量定理可得-120m0gt=m0v1-m0v0
解得在撞上球瓶前的瞬間,保齡球的速度大小為v1=4 m/s。
(3)球與球瓶的碰撞過程時(shí)間極短,碰撞中沒有能量損失,可知碰撞過程滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,則有m0v1=m0v3+mv2
12m0v12=12m0v32+12mv22
聯(lián)立解得碰撞后,球瓶的速度大小為v2=163 m/s。
2.(12分)某科研小組設(shè)計(jì)了一種列車的電磁阻尼輔助剎車系統(tǒng),原理如圖所示。在列車的車廂下面固定一個(gè)磁場控制系統(tǒng),能在長為L1、寬為L2的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生方向豎直向下、大小為B的勻強(qiáng)磁場,在鐵軌上安裝長為L1、寬為L2的單匝矩形線圈若干個(gè),相鄰兩個(gè)線圈間距為L2,每個(gè)線圈的電阻為R。設(shè)質(zhì)量為m的列車以初速度v無動(dòng)力進(jìn)入減速區(qū)域,運(yùn)動(dòng)過程中制動(dòng)力可以改變,使列車做勻減速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)列車磁場控制系統(tǒng)的磁場剛好通過n(n>1)個(gè)線圈時(shí),列車的速度減為零,重力加速度為g,求:
(1)磁場控制系統(tǒng)的磁場全部進(jìn)入第一個(gè)線圈過程中,通過第一個(gè)線圈截面的電荷量;
(2)磁場控制系統(tǒng)的磁場剛進(jìn)入第二個(gè)線圈時(shí),克服安培力做功的瞬時(shí)功率;
(3)整個(gè)剎車過程中,除電磁阻力外的其他阻力的沖量。
答案 (1)BL1L2R
(2)(n-1)B2L12v2nR
(3)nB2L12L2R-mv,方向水平向左
解析 (1)設(shè)磁場控制系統(tǒng)的磁場全部進(jìn)入第一個(gè)線圈所用時(shí)間為t,
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得E=ΔΦΔt=BL1L2t
根據(jù)電流定義式得
q=It=ERt=BL1L2R。
(2)由于列車做勻減速直線運(yùn)動(dòng),當(dāng)磁場控制系統(tǒng)剛好通過n(n>1)個(gè)線圈時(shí)列車的速度減為零。故根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得
2a(2n)L2=v2
設(shè)磁場控制系統(tǒng)的磁場剛進(jìn)入第二個(gè)線圈時(shí),列車速度為v1,則根據(jù)勻變速直線規(guī)律可得
2a·2L2=v2-v12
此時(shí)線框受到安培力為F=BIL1=B2L12v1R
克服安培力做功的瞬時(shí)功率為P=Fv1
聯(lián)立解得P=(n-1)B2L12v2nR。
(3)磁場控制系統(tǒng)進(jìn)入到完全離開每個(gè)線圈過程中,通過每個(gè)線圈截面的電荷量相等。以水平向右為正方向,對(duì)整個(gè)過程運(yùn)用動(dòng)量定理可得
I其他-F安t'=0-mv
其中F安t'=BIL1·t'=nBL1q
聯(lián)立解得I其他=nB2L12L2R-mv,方向水平向左。
3.(16分)圖甲為羅馬桿滑環(huán)窗簾,假設(shè)窗簾質(zhì)量均勻分布在每一個(gè)環(huán)上,簡化為圖乙所示模型。水平固定的長桿上有4個(gè)質(zhì)量均為m=0.4 kg的滑環(huán),滑環(huán)均近似看成質(zhì)點(diǎn)。若窗簾完全拉開,相鄰兩環(huán)間距離為L=0.2 m。開始時(shí)滑環(huán)均位于長桿右側(cè)邊緣處,彼此接觸但不擠壓。現(xiàn)給1號(hào)滑環(huán)一個(gè)向左的初速度v0,其v-t圖像如圖丙所示,已知滑環(huán)與桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1。假設(shè)前、后兩滑環(huán)之間的窗簾繃緊瞬間,兩滑環(huán)立即獲得相同速度,窗簾繃緊用時(shí)極短,可忽略不計(jì),不計(jì)空氣阻力,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)1號(hào)滑環(huán)初速度v0的大小;
(2)若窗簾恰能完全展開,4個(gè)滑環(huán)在窗簾第n次繃緊前、后瞬間的總動(dòng)能之比(n≤2);
(3)若窗簾恰能完全展開,1號(hào)滑環(huán)需獲得的最小初動(dòng)能。
答案 (1)1.1 m/s
(2)2∶1 3∶2
(3)1.12 J
解析 (1)由題意可知1號(hào)滑環(huán)向左運(yùn)動(dòng)至與2號(hào)滑環(huán)繃緊瞬間的距離為L,設(shè)繃緊前瞬間1號(hào)滑環(huán)的速度為v1,根據(jù)動(dòng)能定理可得
-μmgL=12mv12-12mv02
1號(hào)滑環(huán)與2號(hào)滑環(huán)繃緊瞬間動(dòng)量守恒,即
mv1=(m+m)v2
由題圖丙可知v2=0.45 m/s
聯(lián)立解得v1=0.9 m/s,v0=1.1 m/s。
(2)窗簾第一次繃緊(n=1),即1號(hào)滑環(huán)與2號(hào)滑環(huán)繃緊,根據(jù)動(dòng)量守恒有mv1=(m+m)v2
可得v1=2v2
故繃緊前后動(dòng)能之比為Ek前1Ek后1=12mv1212·2mv22=21
窗簾第二次繃緊(n=2),即1號(hào)滑環(huán)與2號(hào)滑環(huán)共速再與3號(hào)滑環(huán)繃緊,設(shè)繃緊前瞬間1號(hào)滑環(huán)與2號(hào)滑環(huán)的速度為v2',根據(jù)動(dòng)量守恒有2mv2'=(2m+m)v3
可得v2'=3v32
故繃緊前后動(dòng)能之比為Ek前2Ek后2=12·2mv2'212·3mv32=32。
(3)若窗簾恰能完全展開,則1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)滑環(huán)共速后在與4號(hào)滑環(huán)繃緊前瞬間速度變?yōu)榱?設(shè)1號(hào)、2號(hào)滑環(huán)與3號(hào)滑環(huán)繃緊后瞬間的速度為v31,根據(jù)動(dòng)能定理可得
-μ·3mgL=0-12·3mv312
解得v31=21010 m/s
設(shè)1號(hào)、2號(hào)滑環(huán)與3號(hào)滑環(huán)繃緊前瞬間的速度為v22,根據(jù)動(dòng)量守恒可得
2mv22=(2m+m)v31
解得v22=31010 m/s
同理,根據(jù)動(dòng)能定理及動(dòng)量守恒可得
-μ·2mgL=12·2mv222-12·2mv212
mv12=(m+m)v21
-μmgL=12mv122-12mv112
聯(lián)立解得v11=2355 m/s
故1號(hào)滑環(huán)需獲得的最小初動(dòng)能為
Ekmin=12mv112=1.12 J。

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