(1)圖乙狀態(tài)下右側(cè)細(xì)管中空氣的壓強(qiáng);
(2)U形細(xì)管左側(cè)豎直管的長(zhǎng)度。
答案 (1)5ρgL4 (2)58L
解析 (1)設(shè)右側(cè)活塞上加的水銀高度為L(zhǎng)0,兩側(cè)細(xì)管水平截面面積為S,對(duì)右側(cè)氣柱,活塞上加水銀前
壓強(qiáng)p1=p=ρgL
體積V1=L-116LS=1516LS
加水銀后
壓強(qiáng)p2=ρgL+ρgL0
體積V2=(L-L0)S
又p1V1=p2V2
聯(lián)立得L0=14L
則p2=5ρgL4。
(2)設(shè)左側(cè)豎直管長(zhǎng)度為L(zhǎng),對(duì)左側(cè)氣柱,活塞上加水銀前
壓強(qiáng)p11=p=ρgL
體積V11=L1-116LS
加水銀后
壓強(qiáng)p22=p2-18ρgL=98ρgL
體積V22=L1-18LS
又p11V11=p22V22
聯(lián)立得L1=58L。
2.(8分)如圖所示,質(zhì)量均為m的物塊A、B用繞過(guò)光滑輕質(zhì)定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩連接,A與地面接觸,B離地面的高度h為1.2 m,質(zhì)量為2m的圓環(huán)C套在輕繩上,C在B上方d=0.8 m處。由靜止釋放圓環(huán)C,C下落后與B碰撞并粘在一起,碰撞時(shí)間極短,不計(jì)C與繩之間的摩擦和空氣阻力,A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)C、B碰撞后瞬間,共同速度為多大;
(2)碰撞后,B經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)地面。
答案 (1)2 m/s (2)0.4 s
解析 (1)設(shè)C與B碰撞前瞬間的速度大小為vC,碰撞前,由動(dòng)能定理有
2mgd=12×2mvC2-0
得vC=2gd=4 m/s
設(shè)碰撞后共同速度為v,碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒有2mvC=4mv
得v=2 m/s。
(2)C與B碰撞后粘在一起,一起向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律
3mg-mg=4ma
得a=12g=5 m/s2
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有h=vt+12at2
得t=0.4 s
故碰撞后,B經(jīng)過(guò)t=0.4 s后到達(dá)地面。
3.(14分)(2024江蘇泰州一模)高能微粒實(shí)驗(yàn)裝置,是用以發(fā)現(xiàn)高能微粒并研究和了解其特性的主要實(shí)驗(yàn)工具。為了簡(jiǎn)化計(jì)算,一個(gè)復(fù)雜的高能微粒實(shí)驗(yàn)裝置可以被最簡(jiǎn)化為空間中的復(fù)合場(chǎng)模型。如圖甲所示,三維坐標(biāo)系中,yOz平面的右側(cè)存在平行z軸方向周期性變化的磁場(chǎng)B(圖中未畫(huà)出)和沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E。有一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的高能微粒從xOy平面內(nèi)的P點(diǎn)沿x軸正方向水平射出,微粒第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)恰好經(jīng)過(guò)O點(diǎn),此時(shí)速度大小為v0,方向與x軸正方向的夾角為45°。已知電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=mgq,從微粒通過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí),磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖乙所示,已知B0=mgqv0,t0=πv0g,規(guī)定當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度沿z軸正方向時(shí)為正,重力加速度大小為g。
甲
乙
(1)求拋出點(diǎn)P到x軸的距離y;
(2)求微粒從通過(guò)O點(diǎn)開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)的周期T;
(3)若t=t02時(shí)撤去yOz右側(cè)的原電場(chǎng)和磁場(chǎng),同時(shí)在整個(gè)空間加上沿y軸正方向,大小為B'=52π2B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng),求微粒向上運(yùn)動(dòng)到離xOz平面最遠(yuǎn)處時(shí)的坐標(biāo)。
答案 (1)v024g
(2)4πv0g
(3)2+15πv02g,v024g,v025πg(shù)
解析 (1)粒子到達(dá)O點(diǎn)前做平拋運(yùn)動(dòng),由于經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為45°,則有vy=v0sin 45°=22v0
根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得22v02=2gy
解得y=v024g。
(2)根據(jù)題意,在平面yOz右側(cè),粒子所受重力與電場(chǎng)力平衡,即qE=mg
由洛倫茲力提供向心力,有qv0B=mv02R,周期T0=2πRv0
解得R=mv0qB,T0=2πmqB
當(dāng)B=B0時(shí)
粒子軌跡半徑R1=v02g,周期T1=2πv0g
當(dāng)B=B02時(shí)
R2=2v02g,T2=4πv0g
結(jié)合題中信息可知:0~t0,微粒剛好轉(zhuǎn)過(guò)180°;t0~2t0,微粒轉(zhuǎn)過(guò)90°;2t0~3t0與0~t0的運(yùn)動(dòng)軌跡大小一樣,只是偏轉(zhuǎn)方向不一樣;3t0~4t0與t0~2t0的運(yùn)動(dòng)軌跡大小一樣,只是偏轉(zhuǎn)方向不一樣,綜上所述,微粒第一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
由圖可知
T=4t0=4πv0g。
(3)t=t0時(shí),把速度分解到水平方向和豎直方向,即
vx'=vy'=v0sin 45°=22v0
粒子在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng),則有22v02=2gy2,22v0=gt2
解得y2=v024g,t2=2v02g
粒子在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則有R3=mvxqB'=v025πg(shù),T3=2πmqB'=22v05g
可知t2=54T3
則有x'=2R1+R3=2+15πv02g
y'=y2=v024g
z'=R3=v025πg(shù)
因此粒子向上運(yùn)動(dòng)到離xOz平面最遠(yuǎn)處時(shí)的坐標(biāo)為(2+15πv02g,v024g,v025πg(shù))。
4.(16分)(2024湖南二模)超市里用的購(gòu)物車(chē)為顧客提供了購(gòu)物方便,又便于收納,收納時(shí)一般采用完全非彈性碰撞的方式把購(gòu)物車(chē)收到一起,如圖甲所示。某興趣小組在超市對(duì)同款購(gòu)物車(chē)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“車(chē)”)的碰撞進(jìn)行了研究,分析時(shí)將購(gòu)物車(chē)簡(jiǎn)化為可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊,已知車(chē)的凈質(zhì)量為m=15 kg,重力加速度g取10 m/s2。
(1)首先測(cè)車(chē)與超市地面間的動(dòng)摩擦因數(shù):取一輛車(chē)停在水平地面上,現(xiàn)給它向前的水平初速度v0=2 m/s,測(cè)得該車(chē)能沿直線滑行x0=2 m,求車(chē)與超市地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ;
(2)取編號(hào)為A、B的車(chē),B車(chē)裝上m0=15 kg的貨物后停在超市水平地面上,空車(chē)A的前端裝上輕彈簧,將A車(chē)停在B車(chē)的正后方且相距x=5.5 m處?，F(xiàn)給A車(chē)施加向前的水平推力F0=75 N,作用時(shí)間t0=1 s后撤除。設(shè)A車(chē)與B車(chē)間的碰撞為彈性正碰(忽略相互作用時(shí)間),兩車(chē)所在直線上沒(méi)有其他車(chē),求在A車(chē)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中A車(chē)與地面間產(chǎn)生的摩擦熱Q;
(3)如圖乙所示,某同學(xué)把n(n>2)輛空車(chē)等間距擺在超市水平地面上的一條直線上,相鄰兩車(chē)間距為d=1 m,用向前的水平恒力F=300 N一直作用在1車(chē)上,推著1車(chē)與正前方的車(chē)依次做完全非彈性正碰(碰撞時(shí)間極短),通過(guò)計(jì)算判斷,他最多能推動(dòng)多少輛車(chē)?[已知∑nk=1k(k+1)=n(n+1)(n+2)3,∑nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6]
答案 (1)0.1 (2)90 J (3)30輛
解析 (1)由功能關(guān)系,該車(chē)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化成摩擦熱能,有
12mv02=μmgx0
則μ=v022gx0
代入數(shù)據(jù)得μ=0.1。
(2)A車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)受摩擦力FfA=μmg=15 N
由牛頓第二定律有
F0-FfA=ma
解得a=4 m/s2
A車(chē)在t0時(shí)的速度vA0=at0=4 m/s,t0內(nèi)A車(chē)的位移
x0=12at02=2.0 m
設(shè)A車(chē)與B車(chē)碰前瞬間的速度為vA,由動(dòng)能定理有
F0x0-μmgx=12mvA2-0
得vA=3 m/s
A車(chē)與B車(chē)碰撞過(guò)程,根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有
mvA=mvA'+(m+m0)vB
12mvA2=12mvA'2+12(m+m0)vB2
解得vA'=-1 m/s
由功能關(guān)系,有Q=μmgx+12mvA'2
代入數(shù)據(jù)得Q=90 J。
(3)設(shè)1車(chē)與2車(chē)碰前的速度為v1',由動(dòng)能定理
Fd-μmgd=12mv1'2-0
1車(chē)與2車(chē)碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒
mv1'=(m+m)v2
解得v2=12v1'
v22=122×2Fd-μmgdm
設(shè)1、2車(chē)與3車(chē)碰前的速度為v2',由動(dòng)能定理
Fd-μ·2mgd=12×2mv2'2-12×2mv22
1、2車(chē)與3車(chē)碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒
2mv2'=3mv3
解得v3=23v2'
v32=232[122×2Fd-μmgdm+2Fd-2μmgd2m]=[132×2Fd-μmgdm+232×2Fd-2μmgdm]
設(shè)1、2、3車(chē)與4車(chē)碰前的速度為v3',由動(dòng)能定理
Fd-μ·3mgd=12×3mv3'2-12×3mv32
1、2、3與4碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒
3mv3'=4mv4
解得v4=34v3'
v42=342[132×2Fd-μmgdm+232×2Fd-2μmgdm+2Fd-3μmgd3m]
=[142×2Fd-μmgdm+242×2Fd-2μmgdm+342×2Fd-3μmgdm]
同理可得與n車(chē)碰后速度vn滿(mǎn)足
vn2=[1n2×2Fd-μmgdm+2n2×2Fd-2μmgdm+3n2×2Fd-3μmgdm+…+n-1n2×2Fd-n-1μmgdm]
=2dn2mF-μmg+2F-2μmg+3F-3μmg+…+n-1F-n-1μmg
=2dn2m[n-1n2F-n-1n2n-16μmg]=2n-1dmn[F2-2n-16μmg]
令vn=0,即F2=2n-16μmg
解得n=30.5
可知最多能推動(dòng)30輛車(chē)。

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