1.(13分)已知{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=2lg2an+1,且b1=1,b4=7.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若對任意的n∈N*都有2λan≥bn-2,求實數(shù)λ的取值范圍.
解(1)因為bn=2lg2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=2lg2a1+1=1,b4=2lg2a4+1=7,得a1=1,a4=8.
因為{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,所以q3=a4a1=8,得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,則bn=2lg2an+1=2(n-1)+1=2n-1.
(2)若對任意的n∈N*,2λan≥bn-2恒成立,則λ≥2n-32n恒成立,設(shè)f(n)=2n-32n(n∈N*),則f(n+1)-f(n)=2n-12n+1-2n-32n=5-2n2n+1.
當(dāng)n≤2時,f(n+1)-f(n)>0,則f(3)>f(2)>f(1);
當(dāng)n≥3時,f(n+1)-f(n)f(4)>f(5)>….
所以f(n)max=f(3)=38,所以λ≥f(n)max=38,即λ≥38.
2.(15分)(2024河北唐山二模)某學(xué)校組織游戲活動,讓學(xué)生從盒子中有放回地摸球.規(guī)定每次只能摸取1個球,且每次摸球的結(jié)果相互獨立.已知盒中有1分球和2分球若干,摸到1分球的概率為23,摸到2分球的概率為13.
(1)若學(xué)生甲摸球2次,其總得分記為X,求隨機變量X的分布列與期望;
(2)學(xué)生甲、乙各摸5次球,若兩人的最終得分相同,則都不獲得獎勵;若不同,則得分多者獲得獎勵.已知甲前3次摸球得了6分,求乙獲得獎勵的概率.
解(1)由題意知,學(xué)生甲摸球2次總得分X的可能取值為2,3,4,
則P(X=2)=23×23=49,P(X=3)=C21×23×13=49,P(X=4)=13×13=19,所以X的分布列為
所以E(X)=2×49+3×49+4×19=83.
(2)記Am=“甲最終得分為m分”,m=8,9,10;
B=“乙獲得獎勵”.
P(A9)=C21×23×13=49,P(A8)=23×23=49.
當(dāng)甲最終得9分時,乙獲得獎勵需要最終得10分,則P(B|A9)=135;
當(dāng)甲最終得8分時,乙獲得獎勵需要最終得10分或9分,則P(B|A8)=135+C51×23×134=11×135.
故P(B)=P(A9B)+P(A8B)=P(A9)P(B|A9)+P(A8)P(B|A8)=49×135+49×11×135=4837=16729.
即乙獲得獎勵的概率為16729.
3.(15分)如圖,在棱長均為2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點A1在平面ABC內(nèi)的投影O是棱AC的中點,P為棱A1B1(包含端點)上的動點.
(1)求點P到平面ABC1的距離;
(2)若AP⊥平面α,求直線BC1與平面α所成角的正弦值的取值范圍.
解(1)由題意知,A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面△ABC為正三角形),且A1O=OB=3,
以O(shè)為原點,OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3),
AC1=(0,3,3),AB=(3,1,0),BC1=(-3,2,3),AA1=(0,1,3).
因為A1B1∥AB,A1B1?平面ABC1,AB?平面ABC1,所以A1B1∥平面ABC1,
又點P在棱A1B1上,所以點P到平面ABC1的距離等于點A1到平面ABC1的距離,
設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC1的法向量,則n·AC1=3y+3z=0,n·AB=3x+y=0,取x=1,得n=(1,-3,3),因此,點A1到平面ABC1的距離d=|AA1·n||n|=2313=23913,
所以點P到平面ABC1的距離為23913.
(2)設(shè)A1P=λA1B1,λ∈[0,1],
則AP=AA1+A1P=AA1+λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3),由AP⊥平面α,得AP為平面α的一個法向量.
設(shè)直線BC1與平面α所成的角為θ,則sin θ=|cs|=|BC1·AP||BC1||AP|=|5-λ|10·3λ2+(1+λ)2+3=5-λ25·2λ2+λ+2,
令t=5-λ,則λ=5-t,t∈[4,5],
則sin θ=t25·2(5-t)2+(5-t)+2=t25·2t2-21t+57=125·2-21t+57t2=12557(1t-738) 2+576,
設(shè)x=1t,f(x)=57x-7382+576,
由t∈[4,5],得x∈15,14,因為738

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練7 中低檔大題規(guī)范練（A）（Word版附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練7 中低檔大題規(guī)范練（A）（Word版附解析），共3頁。

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練8 中低檔大題規(guī)范練（B）（Word版附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練8 中低檔大題規(guī)范練（B）（Word版附解析），共3頁。試卷主要包含了已知向量m=,n=,x∈R等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練9 中低檔大題規(guī)范練（C）（Word版附解析）：

這是一份備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練9 中低檔大題規(guī)范練（C）（Word版附解析），共3頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練11 中低檔大題規(guī)范練（E）（Word版附解析）

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)題型專項練11 中低檔大題規(guī)范練（E）（Word版附解析）
備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練3（Word版附解析）

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練3（Word版附解析）
備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練4（Word版附解析）

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練4（Word版附解析）
備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練5（Word版附解析）

備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練5（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部