1.(13分)(2024安徽淮北二模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c-b=2csin2A2.
(1)試判斷△ABC的形狀;
(2)若c=1,求△ABC的周長的最大值.
解(1)由c-b=2csin2A2=2c·1-csA2,解得cs A=bc,又由余弦定理得cs A=b2+c2-a22bc,聯(lián)立可得a2+b2=c2,所以C=π2,所以△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,C=π2.
若c=1,則a=sin A,b=cs A,所以△ABC的周長為1+sin A+cs A=1+2sinA+π4,
因為A∈0,π2,所以A+π4∈π4,3π4,所以sinA+π4∈22,1.
當A=π4時,△ABC的周長取最大值,為2+1.
2.(15分)(2024山東濰坊一模)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,C分別是橢圓E的左頂點、上頂點,|AC|=5,且橢圓E的焦距為23.
(1)求橢圓E的方程和離心率;
(2)過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓E于R,S兩點,設直線RS,CR,CS的斜率分別為k,k1,k2,若k1+k2=-3,求k的值.
解(1)由題意得A(-a,0),C(0,b),|AC|=a2+b2=5,2c=23,又a2=b2+c2,聯(lián)立解得c=3,a=2,b=1,所以橢圓E的方程為x24+y2=1,離心率e=ca=32.
(2)如圖,由(1)知C(0,1),設直線RS的方程為x=my+1(m≠0),則k=1m,聯(lián)立x24+y2=1,x=my+1,整理可得(4+m2)y2+2my-3=0,Δ=(2m)2+12(4+m2)=16m2+48>0,
設R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),則y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2,直線CR,CS的斜率k1=y1-1x1,k2=y2-1x2,則k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=(my2+1)(y1-1)+(my1+1)(y2-1)(my1+1)(my2+1)=2my1y2+(1-m)(y1+y2)-2m2y1y2+m(y1+y2)+1=2m·-34+m2+(1-m)·-2m4+m2-2m2·-34+m2+m·-2m4+m2+1=2m-1=-3,解得m=13,所以直線RS的斜率k=1m=3.
3.(15分)如圖,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點.將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求證:AD⊥BM;
(2)若DE=λDB(0

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