1.(13分)(2024·遼寧葫蘆島一模)為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生,某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營.選拔考試分為“Pythn編程語言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個科目,考生兩個科目考試的順序自選,若第一科考試不合格,則淘汰;若第一科考試合格,則進行第二科考試,無論第二科是否合格,考試都結(jié)束.“Pythn編程語言”考試合格得4分,否則得0分;“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分,否則得0分.
已知甲同學(xué)參加“Pythn編程語言”考試合格的概率為0.8,參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7.
(1)若甲同學(xué)先進行“Pythn編程語言”考試,記X為甲同學(xué)的累計得分,求X的分布列;
(2)為使累計得分的期望最大,甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.
解(1)由題意X的所有可能取值為0,4,10,
所以P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,
P(X=10)=0.8×0.7=0.56,
所以X的分布列為
(2)甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題,理由如下:
由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.
甲同學(xué)先進行“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試,記Y為甲同學(xué)的累計得分,則Y的所有可能取值為0,6,10,
P(Y=0)=1-0.7=0.3,
P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,
P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,
所以Y的分布列為
E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),
所以甲同學(xué)選擇先回答“Pythn編程語言”考試這類問題.
2.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在an與an+1之間插入n個數(shù),使得這(n+2)個數(shù)依次組成公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列1dn的前n項和Tn.
解(1)由題意,當(dāng)n=1時,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
當(dāng)n=2時,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
當(dāng)n≥2時,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
兩式相減,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
綜上,數(shù)列{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an與an+1之間插入n(n∈N*)個數(shù),使得這(n+2)個數(shù)依次組成公差為d的等差數(shù)列,則有an+1-an=(n+1)dn,
∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn=n+12n,∴Tn=1d1+1d2+…+1dn=221+322+423+…+n+12n,
12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,兩式相減,可得12Tn=221+122+123+…+12n-n+12n+1=1+122-12n+11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,∴Tn=3-n+32n,n∈N*.
3.(15分)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為平行四邊形,M,N分別為AB,DD1的中點.
(1)證明:DM∥平面A1BN;
(2)若底面ABCD為矩形,AB=2AD=4,異面直線DM與A1N所成角的余弦值為105,求點D到平面A1BN的距離.
(1)證明連接AB1,交A1B于點E,連接NE,ME,顯然E為A1B的中點.
因為M為AB的中點,
所以ME∥AA1,且ME=12AA1.
因為N為DD1的中點,
所以DN∥AA1,且DN=12AA1,
所以ME∥DN,且ME=DN,
所以四邊形EMDN為平行四邊形,
所以EN∥DM.
又因為DM?平面A1BN,EN?平面A1BN,
所以DM∥平面A1BN.
(2)解由題意及幾何知識得,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=4,直線AB,AD,AA1兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AA1=2t(t>0),則B(4,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2t),M(2,0,0),N(0,2,t),B1(4,0,2t),
故DM=(2,-2,0),A1N=(0,2,-t).
設(shè)異面直線DM與A1N所成角為θ,
則cs θ=|cs|=|DM·A1N||DM||A1N|=|-4|22+(-2)2·22+(-t)2=24+t2=105,
解得t=1,故A1(0,0,2),N(0,2,1),B1(4,0,2),則A1B=(4,0,-2),A1N=(0,2,-1),BD=(-4,2,0).
設(shè)平面A1BN的一個法向量為n=(x,y,z),點D到平面A1BN的距離為d,
所以A1B·n=0,A1N·n=0,
即4x-2z=0,2y-z=0,取z=2,得n=(1,1,2).
所以d=|BD·n||n|=|-4×1+1×2+0×2|12+12+22=63,
即點D到平面A1BN的距離為63.
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
Y
0
6
10
P
0.3
0.14
0.56

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