備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)中低檔大題規(guī)范練3（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.(13分)如圖,已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面,矩形SADE的對(duì)角線交于點(diǎn)F,G為SB的中點(diǎn),∠ABC=∠BAD=π2,SA=AB=BC=12AD=1.
(1)求證:BD∥平面AEG;
(2)求平面SCD與平面ESD夾角的余弦值.
(1)證明連接GF,因?yàn)樗倪呅蜸ADE為矩形,
所以F為SD的中點(diǎn).
又G為SB的中點(diǎn),
所以GF∥BD.
因?yàn)镚F?平面AEG,BD?平面AEG,
所以BD∥平面AEG.
(2)解因?yàn)镾A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,
所以SA⊥AB,SA⊥AD.
又∠BAD=π2,
所以AB,AD,AS兩兩垂直.
以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(1,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,1,0),所以AB=(1,0,0),CD=(-1,1,0),SD=(0,2,-1),
易知,AB=(1,0,0)為平面ESD的一個(gè)法向量.
設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的法向量,
則CD·n=-x+y=0,SD·n=2y-z=0,取x=1,得n=(1,1,2).
記平面SCD與平面ESD夾角為θ,則cs θ=|cs|=16=66,
故平面SCD與平面ESD夾角的余弦值為66.
2.(15分)(2024·浙江杭州二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足b1=3,令anbn=an+2bn+1,求證:∑k=1nbk

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