1.(17分)在平面內(nèi),若直線l將多邊形分為兩部分,多邊形在l兩側(cè)的頂點到直線l的距離之和相等,則稱l為多邊形的一條“等線”,已知O為坐標(biāo)原點,雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,E的離心率為2,點P為E右支上一動點,直線m與曲線E相切于點P,且與E的漸近線交于A,B兩點,當(dāng)PF2⊥x軸時,直線y=1為△PF1F2的等線.
(1)求E的方程;
(2)若y=2x是四邊形AF1BF2的等線,求四邊形AF1BF2的面積;
(3)設(shè)OG=13OP,點G的軌跡為曲線Γ,證明:Γ在點G處的切線n為△AF1F2的等線.
(1)解由題意知P(c,b2a),F1(-c,0),F2(c,0),顯然點P在直線y=1的上方.
因為直線y=1為△PF1F2的等線,所以b2a-1=2.
又e=ca=2,c2=a2+b2,
解得a=1,b=3,
所以E的方程為x2-y23=1.
(2)解設(shè)點P(x0,y0),切線m的方程為y-y0=k(x-x0),代入x2-y23=1得(3-k2)x2+2k(kx0-y0)x-(k2x02+y02-2kx0y0+3)=0,
故[2k(kx0-y0)]2+4(3-k2)(k2x02+y02-2kx0y0+3)=0.
該式可以看作關(guān)于k的一元二次方程(x02-1)k2-2x0y0k+y02+3=0,
所以k=x0y0x02-1=x0y0(1+y023)-1=3x0y0,
即m的方程為x0x-y0y3=1.①
當(dāng)m的斜率不存在時,也成立.
漸近線方程為y=±3x,不妨設(shè)A在B上方,A(xA,yA),B(xB,yB),代入x0x-y0y3=1得xA=1x0-y03,xB=1x0+y03,
故xA+xB=1x0-y03+1x0+y03=2x0,
所以P是線段AB的中點.
因為F1,F2到過O點的直線距離相等,則過O點的等線必定滿足:A,B到該等線距離相等,且分居兩側(cè),所以該等線必過點P,即直線OP的方程為y=2x.
由y=2x,x2-y23=1,解得x=3,y=6,故P(3,6),
所以yA=3xA=3x0-y03=33x0-y0=6+3,
所以yB=-3xB=-3x0+y03=-33x0+y0=6-3,
所以|yA-yB|=6,
所以S四邊形AF1BF2=12|F1F2|·|yA-yB|=2|yA-yB|=12.
(3)證明設(shè)G(x,y),由OG=13OP,
所以x0=3x,y0=3y,
故曲線Γ的方程為9x2-3y2=1(x>0).
由第(2)問①知切線n的方程為9x03x-3y0y3=1,
即x0x-y0y3=13,即3x0x-y0y-1=0.
由題意易知點A與F2在切線n的右側(cè),點F1在切線n的左側(cè),分別記點F1,F2,A到切線n的距離為d1,d2,d3,
由(2)知xA=1x0-y03,yA=3·1x0-y03=3x0-y03,
所以d3=3x0x0-y03-3y0x0-y03-19x02+y02
=3x0-3y0-x0+y03x0-y039x02+y02=2x0-2y03x0-y039x02+y02
=29x02+y02.
由x0≥1,得d1=|-6x0-1|9x02+y02=6x0+19x02+y02,d2=|6x0-1|9x02+y02=6x0-19x02+y02.
因為d2+d3=6x0-19x02+y02+29x02+y02=6x0+19x02+y02=d1,
所以直線n為△AF1F2的等線.
2.(17分)在平面直角坐標(biāo)系中,粒子從原點出發(fā),每秒向左、向右、向上或向下移動一個單位長度,且向四個方向移動的概率均為14.例如在1秒末,粒子會等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點處.
(1)設(shè)粒子在第2秒末移動到點(x,y),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);
(2)記第n秒末粒子回到原點的概率為pn.
(ⅰ)已知∑k=0n(Cnk)2=C2nn,求p3,p4以及p2n;
(ⅱ)令bn=p2n,記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,若對任意實數(shù)M>0,存在n∈N*,使得Sn>M,則稱粒子是常返的.已知2πnnen

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