1.(13分)(2024·江蘇連云港模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-12x2-x.
(1)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)證明:?x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
(1)解由f(x)=ex-12x2-x,可得f'(x)=ex-x-1,f'(1)=e1-1-1=e-2.
又f(1)=e1-12×12-1=e-32,
所以函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y-e+32=(e-2)(x-1),即(e-2)x-y+12=0.
(2)證明由f(x)=ex-12x2-x,可得f'(x)=ex-x-1,
令h(x)=ex-x-1,可得h'(x)=ex-1.
當(dāng)x∈[0,+∞)時,h'(x)=ex-1≥0,
所以h(x)=ex-x-1在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,
即f'(x)=ex-x-1≥0,
所以f(x)=ex-12x2-x在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f(x)≥f(0)=e0-12×02-0=1.
當(dāng)x=0時,f(0)=1>sin 0=0,
當(dāng)x>0時,f(x)>1≥sin x.
綜上所述,?x∈[0,+∞),f(x)>sin x.
2.(15分)(2024·山東泰安二模)已知函數(shù)f(x)=12sin2x-π3,△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且fA2=34.
(1)求A;
(2)若sin C(1+cs B)=sin B(2-cs C),求cb的值.
解(1)∵fA2=34,∴12sinA-π3=34,
∴sinA-π3=32.
∵0

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