一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2023·全國乙,理4)已知f(x)=xexeax-1是偶函數(shù),則a=( )
A.-2B.-1C.1D.2
答案D
解析(方法一)由題意,知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即-xe-xe-ax-1=xexeax-1,整理得eax=e2x,所以a=2.
(方法二)由題意,知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),即-e-1e-a-1=eea-1,所以a=2.
故選D.
2.函數(shù)y=(3x-3-x)cs x在區(qū)間-π2,π2的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
答案A
解析設(shè)f(x)=(3x-3-x)cs x,則f(-x)=(3-x-3x)cs(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),排除B,D選項.又f(1)=(3-3-1)cs 1>0,故選A.
3.(2020·新高考Ⅱ,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
答案D
解析因為定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且f(-2)=0,f(0)=0,
所以當x∈(-∞,-2)∪(0,2)時,f(x)>0,當x∈(-2,0)∪(2,+∞)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,當10,a≠1).
(1)曲線y=f(x)過(4,2),求f(2x-2)0.
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)f'(x)=ex-a.
當a≤0時,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,
故f(x)至多存在1個零點,不合題意.
當a>0時,由f'(x)=0可得x=ln a.當x∈(-∞,ln a)時,f'(x)f(s)+f(t).
(1)解由題得f'(x)=ex·ln(1+x)+ex·11+x=ex·ln(1+x)+11+x,
故f'(0)=e0·ln(1+0)+11+0=1,f(0)=e0ln(1+0)=0,
因此曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.
(2)解由(1)知g(x)=f'(x)=ex·[ln(1+x)+11+x],x∈[0,+∞),則g'(x)=ex·[ln(1+x)+21+x-1(1+x)2]=ex·[ln(1+x)+2x+1(1+x)2]=ex·[ln(1+x)+11+x+x(1+x)2].
由于x∈[0,+∞),
故ln(1+x)≥0,11+x>0,x(1+x)2≥0,
所以對任意x∈[0,+∞),g'(x)>0恒成立,
故g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.
(3)證明設(shè)函數(shù)F(x)=f(x+t)-f(x)(x>0),
F'(x)=f'(x+t)-f'(x)=g(x+t)-g(x).
因為t>0,所以x+t>x>0.
因為g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x+t)>g(x),
即g(x+t)-g(x)>0,
F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又因為s>0,
所以F(s)>F(0),
即f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).
又f(0)=0,所以f(s+t)>f(s)+f(t).
19.(17分)已知函數(shù)f(x)=aex-sin x-a.(注:e=2.718 281…是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程.
(2)當a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π2內(nèi)有唯一的極值點x1.
①求實數(shù)a的取值范圍;
②求證:f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)有唯一的零點x0,且x00,則y=f(x)在0,π2內(nèi)單調(diào)遞增,沒有極值點,不合題意,舍去;
(ⅱ)當00,
所以f'(x)在0,π2內(nèi)有唯一零點x1,
當x∈(0,x1)時,f'(x)0,
當x∈(0,x1)時,f'(x)0,h(x)在0,π2內(nèi)單調(diào)遞增.
又h(0)=0,所以h(x)>0,
又當x1∈0,π2時,cs x1>0,
所以f(2x1)=cs x1(ex1-2sin x1-1ex1)>0.
所以f(2x1)>f(x0)=0.
由前面討論知x1

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