一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024·河南鄭州三模)已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x-3垂直,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A=-2B≠0B.A=2B≠0
C.B=-2A≠0D.B=2A≠0
答案D
解析直線y=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直,所以直線Ax+By+C=0的斜率為-12,即-AB=-12且A≠0,B≠0,所以B=2A≠0.故選D.
2.(2024·江西臨川二模)若拋物線y2=2mx的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=2的右焦點,則m的值為( )
A.4B.-4C.2D.-2
答案B
解析雙曲線x2-y2=2的右焦點為(2,0),所以拋物線的準(zhǔn)線為x=2,∴-m2=2,解得m=-4.故選B.
3.(2024·甘肅蘭州三模)已知雙曲線C:y23m+2-x2m=1(m>0)的實軸長等于虛軸長的2倍,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±12xB.y=±22x
C.y=±2xD.y=±2x
答案C
解析由題意得3m+2=2m,解得m=2,則雙曲線C:y28-x22=1,故漸近線方程為y=±2x.故選C.
4.(2024·河北唐山三模)下列可以作為方程x3+y3=3xy的曲線的是( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析當(dāng)x0)的焦點F的直線l:y=x-1與拋物線C相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,則下列結(jié)論正確的有( )
A.p=2B.OA⊥OB
C.|AB|=8D.FA·FB=-8
答案ACD
解析對于A,因為直線l:y=x-1經(jīng)過點F,可得F(1,0),即p2=1,所以p=2,故A正確;對于B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=x-1,得y2-4y-4=0,所以y1+y2=4,y1y2=-4,所以x1+x2=y1+y2+2=6,x1x2=(y1y2)216=1,所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=1-4=-3≠0,所以O(shè)A與OB不垂直,故B不正確;對于C,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,故C正確;對于D,FA·FB=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=1-6+1-4=-8,故D正確.故選ACD.
10.(2024·湖南邵陽模擬)已知點P(4m+3,-3m-4),點Q在圓C:(x-1)2+y2=1上,則下列結(jié)論正確的有( )
A.點P在直線3x+4y+7=0上
B.點P可能在圓C上
C.|PQ|的最小值為1
D.圓C上有2個點到點P的距離為1
答案AC
解析由題意可知,圓C:(x-1)2+y2=1的圓心為C(1,0),半徑為r=1.對于A,將點P(4m+3,-3m-4)代入3x+4y+7=0,成立,所以點P在直線3x+4y+7=0上,故A正確;對于B,因為圓心C到直線3x+4y+7=0的距離d=|3+7|32+42=2>r,可知直線3x+4y+7=0與圓C相離,結(jié)合選項A可知,點P不可能在圓C上,故B錯誤;對于C,結(jié)合選項B可知|PQ|的最小值為d-r=1,故C正確;對于D,因為d=r+1,可知圓C上有且僅有1個點到點P的距離為1,故D錯誤.故選AC.
11.(2024·湖北武漢模擬)已知雙曲線x2-y22=1的左、右頂點分別為A1,A2,左、右焦點分別為F1,F2,直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于P,Q兩點,則下列結(jié)論正確的有( )
A.若∠F1PF2=π3,則△PF1F2的面積為23
B.存在弦PQ的中點為(1,1),此時直線l的方程為2x-y-1=0
C.若PA1的斜率的取值范圍為[-8,-4],則PA2的斜率的取值范圍為-12,-14
D.直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M,N兩點,則|PM|=|NQ|
答案ACD
解析在雙曲線x2-y22=1中,a=1,b=2,c=3,且A1(-1,0),A2(1,0),F1(-3,0),F2(3,0).
對于A,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線定義得n-m=2,兩邊平方得m2+n2-2mn=4.①
在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-2mncsπ3=(23)2?m2+n2-mn=12.②
①②聯(lián)立解得mn=8,所以△PF1F2的面積為12mnsinπ3=12×8×32=23,故A正確.
對于B,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x12-y122=1,x22-y222=1,兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)2.因為弦PQ的中點為(1,1),所以x1+x2=2,y1+y2=2,因此可得直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=2(x1+x2)y1+y2=2,此時直線l的方程為y=2x-1,代入雙曲線的方程消去y可得2x2-4x+3=0,
此時Δ=-80,由根與系數(shù)的關(guān)系可得x3+x4=2km2-k2,y3+y4=k(x3+x4)+2m=2k2m2-k2+2m,與λ無關(guān),所以線段PQ的中點與線段MN的中點重合,不妨設(shè)為T,則由|PT|=|QT|,|MT|=|NT|可得|PM|=|QN|,故D正確.故選ACD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(2024·安徽馬鞍山模擬)直線3x+4y+2=0在x軸上的截距是 .
答案-23
解析直線方程為3x+4y+2=0,令y=0,得x=-23,所以直線3x+4y+2=0在x軸上的截距是-23.
13.(2024·北京東城模擬)已知焦點在x軸上的橢圓x29+y2b2=1與拋物線y2=4x,橢圓的右焦點與拋物線的焦點均為F,A為橢圓上一動點,橢圓與拋物線的準(zhǔn)線交于P,Q兩點,則S△APQ的最大值為 .
答案323
解析拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),由題意可得9-b2=1,可得b2=8,所以,橢圓的方程為x29+y28=1.
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,由x=-1,x29+y28=1,可得x=-1,y=±83,則|PQ|=2×83=163.因為A為橢圓上一動點,則當(dāng)點A為橢圓的右頂點時,點A到直線x=-1的距離取到最大值4,則S△APQ的最大值為12×163×4=323.
14.(2024·山西呂梁三模)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,過點T(2,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點,與y軸的負(fù)半軸交于點C,已知S△BCF∶S△ACF=1∶2,則|BF|= .
答案2+1
解析設(shè)點F到直線AC的距離為d,A(xA,yA),B(xB,yB).因為S△BCF∶S△ACF=1∶2,可得12|BC|·d12|AC|·d=12,所以|BC|∶|AC|=1∶2,所以xBxA=12,即xA=2xB且xA,xB>0.設(shè)直線AB的方程為x=ty+2,聯(lián)立x=ty+2,y2=4x,整理得y2-4ty-8=0,則Δ=16t2+32>0,yA2=4xA,yB2=4xB,所以yAyB=-8,則xAxB=(yAyB)216=6416=4.聯(lián)立xA=2xB,xAxB=4,解得xA=22,xB=2.由拋物線的定義,可得|BF|=xB+1=2+1.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)(2024·浙江余姚期末)已知拋物線C的頂點是坐標(biāo)原點O,而焦點是雙曲線4x2-y2=1的右頂點.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l:y=x-2與拋物線相交于A,B兩點,求直線OA與OB的斜率之積.
解(1)雙曲線方程4x2-y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x214-y2=1,所以a2=14,a=12,右頂點(12,0).
設(shè)拋物線的方程為y2=2px,焦點坐標(biāo)為F(p2,0),由于拋物線的焦點是雙曲線的右頂點,所以p2=12,p=1,所以拋物線C的方程為y2=2x.
(2)聯(lián)立y2=2x,y=x-2,整理得y2-2y-4=0,Δ=(-2)2-4×1×(-4)=20>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4,y1+y2=2.
又x1=y1+2,x2=y2+2,
所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=-4+2×2+4=4.
所以直線OA與OB的斜率之積kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=-44=-1.
故直線OA與OB的斜率之積為-1.
16.(15分)(2024·遼寧大連期中)已知圓M的圓心與點N(-1,4)關(guān)于直線x-y+1=0對稱,且圓M與y軸相切于原點O.
(1)求圓M的方程;
(2)若在圓M中存在弦AB,|AB|=4,且弦AB的中點P在直線2x+y+k=0上,求實數(shù)k的取值范圍.
解(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(a,b),
則b-4a+1=-1,a-12-b+42+1=0,
解得a=3,b=0,即點M的坐標(biāo)為(3,0).
∵圓M與y軸相切于原點O,
∴圓M的方程為(x-3)2+y2=9.
(2)∵|AB|=4,圓M的半徑為3,
∴|PM|=5,
∴點P的軌跡是以M為圓心,5為半徑的圓,則其軌跡方程為(x-3)2+y2=5.
又點P在直線2x+y+k=0上,
∴直線與圓有公共點,即|6+k|5≤5,
∴-11≤k≤-1.
故實數(shù)k的取值范圍為[-11,-1].
17.(15分)(2024·山東濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線E上在第一象限內(nèi)的動點.當(dāng)直線AF的傾斜角為π3時,|AF|=4.
(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點D(2,2),B,C是拋物線E上不同兩點,若四邊形ABCD是平行四邊形,證明:直線AC過定點.
(1)解由題意可知,拋物線E的焦點F(p2,0),準(zhǔn)線方程為x=-p2.過點A作x軸的垂線,垂足為H1,過點A作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H2,由拋物線定義可得|AH2|=|AF|.
當(dāng)直線AF的傾斜角為π3時,|FH1|=12|AF|=2.可得|AH2|=p+2=4,解得p=2,
所以拋物線E的方程為y2=4x.
(2)證明設(shè)直線AC的方程為x=my+n,A(x1,y1),C(x2,y2),B(x0,y0).
聯(lián)立y2=4x,x=my+n,消去x整理得y2-4my-4n=0,則Δ>0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.
因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以AD=BC,所以2-x1=x2-x0,2-y1=y2-y0,
即y0=y1+y2-2=4m-2,x0=x1+x2-2=m(y1+y2)+2n-2=4m2+2n-2,
即B(4m2+2n-2,4m-2),代入y2=4x中得(4m-2)2=4(4m2+2n-2),
整理得n=32-2m,
則直線AC:x=my+32-2m=m(y-2)+32,
所以直線AC過定點32,2.
18.(17分)(2024·河北石家莊二模)已知M為平面上一個動點,點M到定直線x=1的距離與到定點F(2,0)的距離之比等于22,記動點M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程.
(2)過點F的直線l與曲線C交于A,B兩點,在x軸上是否存在點P,使得PA·PB為定值?若存在,求出該定值;若不存在,請說明理由.
解(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),
則|x-1|(x-2)2+y2=22,
即2(x-1)2=(x-2)2+y2,
化簡得x2-y2=2,
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y22=1.
(2)存在.
如圖,當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)其方程為x=my+2.
由于直線與雙曲線的交點有兩個,則直線不能與漸近線平行,漸近線斜率為±1,則m≠±1.聯(lián)立x=my+2,x22-y22=1,整理得(m2-1)y2+4my+2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(t,0),
則y1+y2=-4mm2-1,y1y2=2m2-1.
所以PA·PB=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(my1+2-t)·(my2+2-t)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(2-t)(y1+y2)+(2-t)2=(m2+1)×2m2-1-m(2-t)×4mm2-1+(2-t)2=(4t-6)m2+2m2-1+(2-t)2.
若要上式為定值,則必須有4t-6=-2,即t=1,
∴(4t-6)m2+2m2-1+(2-t)2=-2+1=-1,
故存在點P(1,0)滿足PA·PB=-1.當(dāng)直線l的斜率為0時,不妨令A(yù)(-2,0),B(2,0),此時點P(1,0)亦滿足PA·PB=-1,
故存在點P(1,0)滿足PA·PB=-1.
綜上所得,在x軸上存在點P(1,0),使得PA·PB為定值,定值為-1.
19.(17分)(2024·遼寧丹東二模)已知橢圓E:x24+y23=1的左、右頂點分別為A,B,過點A的直線與橢圓E交于點P,點Q在橢圓E上,AP⊥AQ.
(1)設(shè)直線AP,PB的斜率分別為k,k1,求證:k·k1為定值;
(2)求△APQ面積的最大值.
(1)證明由題意可知A(-2,0),B(2,0),設(shè)點P(x0,y0),則k=y0x0+2,k1=y0x0-2.
因為x024+y023=1,即y02=-3(x02-4)4,
所以k·k1=y0x0+2·y0x0-2=y02x02-4=-34.
(2)解不妨令Q(x1,y1),y0>0,y10,則直線AP:x=1ky-2.
將x=1ky-2代入x24+y23=1中,得(3k2+4)y2-12ky=0,所以y0=12k4k2+3.所以|AP|=y01k2+1=12k4k2+31k2+1=12k2+14k2+3.
因為AP⊥AQ,所以用-1k替換k,得y1=-12k3k2+4,|AQ|=-k2+1y1=12kk2+13k2+4.
所以△APQ的面積S=12|AP|·|AQ|=72k(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)=72(k+1k)12k2+12k2+25.
令k+1k=m(m≥2),則S=72m12m2+1=7212m+1m.又因為函數(shù)y=12m+1m在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)m=2時,y有最小值492,即12m+1m≥492.
所以S=7212m+1m≤72492=14449(當(dāng)且僅當(dāng)m=2,即k=1時,等號成立),
所以△APQ面積的最大值為14449.

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