一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(2024·北京房山一模)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),把角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)π2得到角β的終邊,則sin β=( )
A.-45B.45C.-35D.35
答案D
解析因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(3,4),所以cs α=332+42=35.把角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)π2得到角β的終邊,所以β=α+π2,
所以sin β=sinα+π2=cs α=35.故選D.
2.(2024·陜西西安模擬)已知α為銳角,sin α=35,則csα2=( )
A.1010B.31010C.55D.255
答案B
解析由α為銳角,sin α=35,得cs α=1-sin2α=45.又cs α=2cs2α2-1,且α2為銳角,
所以csα2=1+csα2=31010.故選B.
3.(2024·陜西西安二模)已知sin(α+β)sin(α-β)=2,cs αsin β=16,則sin(α+β)=( )
A.13B.23C.19D.-23
答案B
解析由sin(α+β)sin(α-β)=2,可得sin(α+β)=2sin(α-β),整理得3cs αsin β=sin αcs β.
因?yàn)閏s αsin β=16,所以sin αcs β=12,所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23.故選B.
4.(2024·江蘇南通三模)已知三個單位向量a,b,c滿足a=b+c,則向量b,c的夾角為( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
答案C
解析由題可得,a2=b2+c2+2b·c,
即1=1+1+2b·c,則b·c=-12,
即1×1×cs=-12,則cs=-12.
因?yàn)椤蔥0,π],所以向量b,c的夾角為2π3.
故選C.
5.(2024·四川綿陽三模)若函數(shù)f(x)=cs(πx+φ)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,在下列選項(xiàng)中,( )不是f(x)的零點(diǎn).
A.-1B.-12C.32D.52
答案A
解析由題可知,函數(shù)f(x)的周期T=2ππ=2.
又f(x)=cs(πx+φ)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
所以f(x)的零點(diǎn)滿足1-T4+k=12+k,k∈Z,
所以-12,32,52均為f(x)的零點(diǎn),-1不是f(x)的零點(diǎn).故選A.
6.(2024·四川攀枝花三模)將函數(shù)y=sin2x-cs2x的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象與y=sin 2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則m的最小值是( )
A.π4B.3π4C.π2D.3π2
答案B
解析令f(x)=sin2x-cs2x,則f(x)=-cs 2x.
設(shè)f(x)向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,
則g(x)=-cs[2(x-m)]=-cs(2x-2m).
因?yàn)間(x)的圖象與y=sin 2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
則有g(shù)(x)=-sin(-2x)=sin 2x,
即-cs(2x-2m)=sin 2x,
所以-2m=π2+2kπ(k∈Z),
解得m=-π4-kπ(k∈Z).
又因?yàn)閙>0,所以當(dāng)k=-1時,m取最小值為3π4.故選B.
7.(2024·山東濟(jì)南二模)已知函數(shù)f(x)=3sin 2x-cs 2x,則下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的最大值是3
B.函數(shù)f(x)在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增
C.該函數(shù)的最小正周期是2π
D.該函數(shù)向左平移π6個單位長度后圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
答案B
解析由題可得,f(x)=3sin 2x-cs 2x=2sin2x-π6,
可得函數(shù)最大值是2,最小正周期是π,故選項(xiàng)A,C錯誤;
當(dāng)x∈-π6,π3時,2x-π6∈-π2,π2,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),
可得函數(shù)f(x)=2sin2x-π6在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增,故B正確;
將函數(shù)f(x)圖象向左平移π6個單位長度,得到函數(shù)f(x)=2sin2x+π6的圖象,
此時函數(shù)f(x)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱,故D錯誤.故選B.
8.(2024·黑龍江二模)“不以規(guī)矩,不能成方圓”中的“規(guī)”指圓規(guī),“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺,今有一塊圓形木板,按圖中數(shù)據(jù),以“矩”量之,若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板,且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角α滿足cs α=13,則這塊四邊形木板周長的最大值為( )
A.10(30+15)3 cmB.10(30-15)3 cm
C.10(10+5)3 cmD.10(10-5)3 cm
答案A
解析因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€內(nèi)角α滿足cs α=13,如圖.
設(shè)∠BAD=α,由題設(shè)可得圓的直徑為100+25=55,故BD=55sin α.
因?yàn)閏s α=13,α為三角形內(nèi)角,故sin α=1-132=223,故BD=55×223=10103,
則AB2+AD2-2AD×ABcs α=BD2=1 0009,故(AB+AD)2=83AD×AB+1 0009≤2(AD+AB)23+1 0009,
故AB+AD≤1 0009×3=10303,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AD=5303時,等號成立.
同理,BC+CD≤10153,當(dāng)且僅當(dāng)BC=CD=5153時,等號成立,
故四邊形周長的最大值為10(30+15)3 cm.
故選A.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.(2024·安徽蕪湖二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角θ以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),以x軸的非負(fù)半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點(diǎn)M(a,b),|OM|=m(m≠0),定義f(θ)=b+am,g(θ)=b-am,則( )
A.fπ6+gπ6=1
B.f(θ)+f2(θ)≥0
C.若f(θ)g(θ)=2,則sin 2θ=35
D.f(θ)g(θ)是周期函數(shù)
答案ACD
解析由題意得,M(a,b)在角θ的終邊上,且|OM|=m,
所以cs θ=am,sin θ=bm,
則f(θ)=b+am=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,g(θ)=b-am=sin θ-cs θ=2sinθ-π4.
對于A,fπ6+gπ6=sinπ6+csπ6+sinπ6-csπ6=1,故A正確;
對于B,f(θ)+f2(θ)=sin θ+cs θ+(sin θ+cs θ)2,令t=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,t∈[-2,2],所以f(θ)+f2(θ)=t+t2=t+122-14≥-14,故B錯誤;
對于C,f(θ)g(θ)=sinθ+csθsinθ-csθ=tanθ+1tanθ-1=2,解得tan θ=3.
由sin 2θ=2sin θcs θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35,故C正確;
對于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cs θ)(sin θ-cs θ)=sin2θ-cs2θ=-cs 2θ.
因?yàn)閥=cs 2θ為周期函數(shù),故D正確.
故選ACD.
10.(2024·湖南岳陽三模)已知函數(shù)f(x)=2cs(ωx+φ)ω>0,|φ|0的最小正整數(shù)x為2
答案ABD
解析設(shè)函數(shù)f(x)的周期為T,由圖象可得,34T=13π12-π3=3π4,則T=π,所以2πω=π,解得ω=2,故A正確.
當(dāng)x=13π12時,函數(shù)f(x)=2cs(ωx+φ)取最大值,所以2×13π12+φ=2mπ,m∈Z,
則φ=2mπ-13π6,m∈Z.
又|φ|0可化為(f(x)-1)f(x)>0,
所以f(x)>1或f(x)1可得,cs2x-π6>12,
所以2nπ-π3

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