一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024·湖南長沙模擬)某10人的射擊小組,在一次射擊訓練中射擊成績(單位:環(huán))數(shù)據(jù)如下表所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為( )
A.2B.8C.8.2D.8.5
答案D
解析將射擊成績由小到大排列,得到6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5個數(shù)為8,第6個數(shù)為9,因而中位數(shù)為8.5.
2.(2024·福建龍巖一模)2xy-1(x+y)7的展開式中x5y2的系數(shù)為( )
A.-91B.-21C.14D.49
答案D
解析(x+y)7的展開式的通項為Tr+1=C7rx7-ryr,
則T4=C73x4y3=35x4y3,T3=C72x5y2=21x5y2,
則展開式中x5y2的系數(shù)為2×35-1×21=49.
3.(2024·甘肅酒泉三模)有甲、乙兩臺車床加工同一種零件,且甲、乙兩臺車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩臺車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件,則取到正品的概率為( )
答案B
解析設(shè)事件A表示“任選一件零件為甲車床生產(chǎn)的”,事件B表示“任選一件零件為乙車床生產(chǎn)的”,事件C表示“任選一件零件為正品”,則P(A)=70%,P(B)=30%,P(C|A)=94%,P(C|B)=92%,
所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.934.
4.(2024·云南曲靖模擬)已知P(M)=0.4,P(N|M)=0.5,則P(MN)=( )
A.0.4B.0.6C.0.1D.0.2
答案D
解析因為P(N|M)=0.5,由對立事件的概率計算公式可得P(N|M)=1-0.5=0.5,則P(MN)=P(M)P(N|M)=0.4×0.5=0.2.
5.(2024·廣東佛山二模)勞動可以樹德,可以增智,可以健體,可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動實踐比賽,已知冠軍是甲、乙當中的一人,丁和戊都不是最差的,則這5名同學的名次排列(無并列名次)共有( )
A.12種B.24種C.36種D.48種
答案B
解析依題意,排第1名,有C21種方法;排丁和戊,有A32種方法;排余下2人,有A22種方法,所以這5名同學的名次排列(無并列名次)共有C21A32A22=24(種).
6.(2024·湖北武漢模擬)如圖所示,已知一質(zhì)點在外力的作用下,從原點O出發(fā),每次向左移動的概率為23,向右移動的概率為13.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動后,該質(zhì)點位于X的位置,則P(X>0)=( )
A.50243B.52243C.29D.1781
答案D
解析依題意,當X>0時,X的可能取值為1,3,5,且X~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)=135+C51×134×23+C52×133×232=1781.
7.(2024·廣東江門一模)已知9名女生的身高(單位:cm)平均值為162,方差為26,若增加一名身高172 cm的女生,則這10名女生身高的方差為( )
A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8
答案A
解析令9名女生的身高為ai(i∈N*,i≤9),依題意,∑i=19ai=9×162,∑i=19(ai-162)2=9×26,
因此增加一名女生后,身高的平均值為110(∑i=19ai+172)=110(9×162+172)=163,
所以這10名女生身高的方差為110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[(ai-162)2-2(ai-162)+9]+81}=110(9×26+9+81)=32.4.
8.(2024·廣東湛江一模)在一次考試中有一道4個選項的雙選題,其中B和C是正確選項,A和D是錯誤選項,甲、乙兩名同學都完全不會這道題目,只能在4個選項中隨機選取兩個選項.設(shè)事件M=“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”,事件N=“甲、乙兩人所選選項完全不同”,事件X=“甲、乙兩人所選選項完全相同”,事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項”,則( )
A.事件M與事件N相互獨立
B.事件X與事件Y相互獨立
C.事件M與事件Y相互獨立
D.事件N與事件Y相互獨立
答案C
解析依題意,甲、乙兩人所選選項有如下情形:①有一個選項相同,②兩個選項均不相同,③兩個選項均相同,所以P(M)=C41C31C21C42C42=23,P(N)=C42C22C42C42=16,P(X)=C42C22C42C42=16,P(Y)=C32C32C42C42=14,因為事件M與事件N互斥,所以P(MN)=0,
又P(M)P(N)=19≠P(MN),所以事件M與事件N不相互獨立,故A錯誤;P(XY)=C32C42C42=112≠P(X)P(Y)=124,故B錯誤;由P(MY)=C31C21C11C42C42=16=P(M)P(Y),得事件M與事件Y相互獨立,故C正確;因為事件N與事件Y互斥,所以P(NY)=0,又P(N)P(Y)=124≠P(NY),所以事件N與事件Y不相互獨立,故D錯誤.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.(2024·遼寧撫順一模)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)是國際上通用的監(jiān)測宏觀經(jīng)濟走勢的指標之一,具有較強的預(yù)測、預(yù)警作用.2023年12月31日,國家統(tǒng)計局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)(經(jīng)季節(jié)調(diào)整)圖,如下圖所示,則下列說法正確的是( )
A.圖中前三個數(shù)據(jù)的平均值為49.9%
B.2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度方差最大
C.圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%
D.2023年P(guān)MI指數(shù)的第75百分位數(shù)為50.1%
答案AB
解析對于A,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知圖中前三個數(shù)據(jù)的平均值為13×(47.0+50.1+52.6)%=49.9%,A正確;對于B,從表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個季度的PMI指數(shù)中,第一季度的波動性最大,穩(wěn)定性最差,所以方差最大,B正確;對于C,易知圖中PMI指數(shù)的極差為52.6%-47.0%=5.6%,C錯誤;對于D,易知12×75%=9,可知2023年P(guān)MI指數(shù)的第75百分位數(shù)為從小到大排列的第9項數(shù)據(jù)和第10項數(shù)據(jù)的平均數(shù),即49.7%+50.1%2=49.9%,D錯誤.故選AB.
10.(2024·云南保山模擬)若(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,則下列說法正確的是( )
A.a0=1
B.a0+a1+…+a2 024=32 024
C.a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1
D.a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=-2 024
答案ABC
解析令x=0,得a0=1,A正確;令x=1,得a0+a1+…+a2 024=32 024,B正確;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 024=1,C正確;由(1+2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,兩邊同時求導,得2 024×2×(1+2x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-2 024a2 024=-4 048,D錯誤.
故選ABC.
11.(2024·湖北襄陽模擬)甲袋中有20個紅球和10個白球,乙袋中有紅球、白球各10個,兩袋中的球除顏色外完全相同.現(xiàn)從兩袋中各摸出1個球,下列結(jié)論正確的是( )
A.2個球都是紅球的概率為13
B.2個球中恰有1個紅球的概率為12
C.不都是紅球的概率為23
D.都不是紅球的概率為23
答案ABC
解析記事件A1:從甲袋中摸出1個球為紅球,事件A2:從乙袋中摸出1個球為紅球,則P(A1)=23,P(A2)=12.
對于A選項,“2個球都是紅球”即為事件A1A2,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=13,A正確;對于B選項,“2個球中恰有1個紅球”即為事件A1A2+A1A2,P(A1A2+A1A2)=P(A1)·P(A2)+P(A1)P(A2)=23×1-12+1-23×12=12,B正確;對于C選項,因為“都是紅球”與“不都是紅球”互為對立事件,所以不都是紅球的概率為1-P(A1A2)=1-13=23,C正確;對于D選項,“都不是紅球”即為事件A1A2,P(A1A2)=1-23×1-12=16,D錯誤.故選ABC.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.(2024·山東濟南一模)已知隨機變量X~N(1,22),則D(2X+1)的值為 .
答案16
解析由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,
則D(2X+1)=4D(X)=16.
13.(2024·山東棗莊一模)盒子內(nèi)裝有編號為1,2,3,…,10的10個除編號外完全相同的玻璃球.從中抽取三個球,其編號之和能被3整除的概率為 .
答案720
解析依題意,問題相當于求從1,2,3,…,10的10個數(shù)中任取3個,這3個數(shù)的和能被3整除的概率,顯然試驗包含的基本事件總數(shù)為C103=120,且它們是等可能事件,10個數(shù)中能被3整除的有3,6,9;被3除后余數(shù)是1的有1,4,7,10;被3除后余數(shù)是2的有2,5,8.取出的3個數(shù)的和能被3整除的事件A含有的基本事件數(shù)有C33+C43+C33+C31C31C41=42,所以P(A)=42120=720.故抽取三個球,其編號之和能被3整除的概率為720.
14.(2024·貴州遵義模擬)高爾頓釘板是英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設(shè)計的,如圖,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間,從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球,白色圓玻璃球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子,如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的一個格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口處放進一個白色圓玻璃球,記白色圓玻璃球落入格子的編號為X,則隨機變量X的期望與方差分別為 , .
答案3 1
解析由題意可知,白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均為12,則向左的次數(shù)ξ~B4,12,可知E(ξ)=4×12=2,D(ξ)=4×12×1-12=1,
又因為X=5-ξ,所以E(X)=5-E(ξ)=3,D(X)=D(ξ)=1.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)(2024·山東濟寧二模)為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了抽樣調(diào)查.從全體學生中隨機抽取男女學生各100名,經(jīng)統(tǒng)計,抽查數(shù)據(jù)如下表所示.
(1)依據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,分析性別與體育鍛煉的經(jīng)常性是否有關(guān);
(2)為提高學生體育鍛煉的積極性,學校決定從上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學生中,采用樣本量按性別比例分配的分層隨機抽樣方法,隨機抽取7名同學組成體育鍛煉宣傳小組,并從中選出3人擔任宣傳小組組長.記女生擔任宣傳小組組長的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
解(1)零假設(shè)為H0:性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間無關(guān)聯(lián),
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100×100×60×140≈9.524>7.879=x0.005,
根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認為性別與體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.
(2)由分層隨機抽樣可知,在抽取的7名同學中,男生有7×80140=4人,女生有7×60140=3人.
隨機變量X服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3,
P(X=0)=C30C43C73=435,
P(X=1)=C31C42C73=1835,
P(X=2)=C32C41C73=1235,
P(X=3)=C33C40C73=135.
X的分布列為
E(X)=nMN=3×37=97.
16.(15分)(2023·全國乙,理17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結(jié)果如下:
記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.
(1)求z,s2;
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s210,則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高).
解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.
(2)∵2s210=26.1μ+σ)=1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)2≈1-0.682=0.16,
即隨機挑選一個地區(qū),人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的概率為0.16,則Y~B(2,0.16),
所以P(Y=1)=C21×0.16×(1-0.16)=0.268 8.
(2)因為t^=0.2x+2.2,所以可估計該地區(qū)過去五年的人均生產(chǎn)總值依次為u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.2×3+2.2=7.4,u4=25.200.2×4+2.2=8.4,u5=30.080.2×5+2.2=9.4,
所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4+9.4)=7.6,
則∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,∑i=15(xi-x)2=10,
由公式可知b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15(xi-x)2=8.310=0.83,a^=u-b^x=7.6-0.83×3=5.11,
即所求經(jīng)驗回歸方程為u^=0.83x+5.11.
18.(17分)(2024·四川南充二診)已知某芯片生產(chǎn)商生產(chǎn)的某型號芯片各項指標經(jīng)過全面檢測后,分為Ⅰ級和Ⅱ級,兩種品級的芯片某項指標的頻率分布直方圖如圖所示.
Ⅰ級品
Ⅱ級品
若只利用該指標制定一個標準,需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機,小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機.若將Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于A型手機,會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元;若將Ⅱ級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應(yīng)用于B型手機,會導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
(1)當臨界值K=70時,將2個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于A型手機,求芯片生產(chǎn)商的損失費用ξ(單位:元)的分布列及期望;
(2)設(shè)K=x且x∈[50,55],現(xiàn)有足夠多的Ⅰ級品和Ⅱ級品芯片,分別應(yīng)用于1萬部A型手機和1萬部B型手機的生產(chǎn):
方案一:芯片不作該指標檢測,Ⅰ級品直接應(yīng)用于A型手機,Ⅱ級品直接應(yīng)用于B型手機;
方案二:重新檢測各芯片的該項指標,并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號.該方案能避免方案一中的損失費用,但會增加130萬元的檢測費用.
請求出方案一中損失費用的估計值f(x)(單位:萬元)的表達式,并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮,選擇合理的方案.
解(1)當臨界值K=70時,Ⅰ級品中該指標小于或等于70的頻率為(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,
所以將一個不作該指標檢測的Ⅰ級品芯片直接應(yīng)用于一部A型手機,該手機損失800元的概率為310,
由題意知,芯片生產(chǎn)商的損失費用ξ的可能取值為0,800,1 600,
P(ξ=0)=C20×3100×7102=49100,
P(ξ=800)=C21×3101×7101=42100,
P(ξ=1 600)=C22×3102×7100=9100,
所以ξ的分布列為
所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1 600×9100=480.
(2)當臨界值K=x且x∈[50,55]時,
若采用方案一:
Ⅰ級品中該指標小于或等于臨界值K的頻率為0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,
所以可以估計一萬部A型手機中有10 000×(0.005x-0.23)=50x-2 300部手機的芯片應(yīng)用錯誤;
Ⅱ級品中該指標大于或等于臨界值K的頻率為0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,
所以可以估計一萬部B型手機中有10 000×(-0.03x+1.9)=19 000-300x部手機的芯片應(yīng)用錯誤;
所以可以估計芯片生產(chǎn)商的損失費用f(x)=0.08×(50x-2 300)+0.04×(19 000-300x)=576-8x(萬元),
即f(x)=576-8x,x∈[50,55].
因為f(x)min=f(55)=136>130,所以芯片生產(chǎn)商從成本考慮,應(yīng)選擇方案二.
19.(17分)(2024·福建漳州模擬)甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行,低碳環(huán)?！钡奶栒?計劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種方式中的一種出行,三人之間的出行互不影響.其中,甲每天選擇“共享單車”出行的概率為12;乙每天選擇“共享單車”出行的概率為23;丙在每月的第一天選擇“共享單車”出行的概率為34,從第二天起,若前一天選擇“共享單車”出行,則后一天繼續(xù)選擇“共享單車”出行的概率為14,若前一天選擇“地鐵”出行,則后一天繼續(xù)選擇“地鐵”出行的概率為13,如此往復.
(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行,求其中一人是丙的概率;
(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望;
(3)求丙在3月份的第n(n=1,2,…,31)天選擇“共享單車”出行的概率Pn,并幫丙確定在3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率的天數(shù).
解(1)記甲、乙、丙三人3月1日選擇“共享單車”出行分別為事件A,B,C,三人中有兩人選擇“共享單車”出行為事件D,
則P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=1-12×23×34+12×1-23×34+12×23×1-34=1124,
又P(CD)=P(ABC)+P(ABC)=1-12×23×34+12×1-23×34=38,
所以P(C|D)=P(CD)P(D)=381124=911,
即若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行,則其中一人是丙的概率為911.
(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=P(ABC)=1-12×1-23×1-34=124,
P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(AB C)=12×1-23×1-34+1-12×23×1-34+1-12×1-23×34=14,
P(X=2)=P(D)=1124,
P(X=3)=P(ABC)=12×23×34=14,
所以X的分布列為
E(X)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312.
(3)由題意得P1=34,Pn=14Pn-1+23(1-Pn-1)=-512Pn-1+23,n=2,3,…,31,
所以Pn-817=-512(Pn-1-817),n=2,3,…,31,
又P1-817=1968≠0,
所以數(shù)列Pn-817是以1968為首項,-512為公比的等比數(shù)列,
所以Pn=817+1968·-512n-1,n=2,…,31,
經(jīng)檢驗當n=1時,上式也成立,
所以Pn=817+1968·-512n-1,n=1,2,…,31.
由題意知,3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率需滿足Pn>1-Pn,即Pn>12,
則817+1968·-512n-1>12,
即(-512)n-1>219,n=1,2,…,31,
當n為偶數(shù)時,-512n-1>219顯然不成立;
當n為奇數(shù)時,不等式可變?yōu)?12n-1>219,
當n=1時,1>219成立;
當n=3時,5122=25144>24144=212>219成立;
當n=5時,512412,
即丙在3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率的天數(shù)只有2天.
成績
6
7
8
9
10
人數(shù)
1
2
2
4
1
性別
鍛煉
合計
經(jīng)常
不經(jīng)常
男生
80
20
100
女生
60
40
100
合計
140
60
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
試驗序號i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率xi
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率yi
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
年份編號x
1
2
3
4
5
地區(qū)生產(chǎn)總值y/百億元
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08
ξ
0
800
1 600
P
49100
42100
9100
X
0
1
2
3
P
124
14
1124
14

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