考點(diǎn)一　與單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
∴m'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,則m'(x)0恒成立,∴g'(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴g'(x)>0-ln 1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,∴g(x)>0+0-0=0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,符合題意.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024河北石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-ln|x|+x(a∈R).(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn)二　與極值有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題
例2(2024新高考Ⅱ,16)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a3.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)若f(x)有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x-1,則切點(diǎn)為(1,e-2).又f'(x)=ex-1,k=f'(1)=e-1,故所求切線方程為y-(e-2)=(e-1)(x-1),整理得(e-1)x-y-1=0.(2)由題得,f'(x)=ex-a.當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,則f(x)在R上為增函數(shù),無(wú)極值,所以a>0.令f'(x)=0,得x=ln a.當(dāng)f'(x)0,即f'(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以至多存在一個(gè)x0∈(0,+∞),使得f'(x0)=0,故f(x)不存在兩個(gè)極值點(diǎn).②當(dāng)a>0時(shí),解g'(x)=0,得x=a,故當(dāng)x∈(0,a)時(shí),g'(x)0,f'(x)單調(diào)遞增,所以f'(x)min=f'(a)=ln a+2,
(ⅰ)當(dāng)ln a+2≥0,即a≥e-2時(shí),f'(x)≥f'(x)min≥0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故f(x)不存在極值點(diǎn).
且f(x)在(0,x1),(x2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x1,x2分別是y=f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,e-2).
考點(diǎn)三　與最值有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題
例3(2024四川遂寧二模)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-2.(1)若f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在極值,求a的取值范圍;(2)若x∈(0,+∞),f(x)>x-sin x-cs x,求a的取值范圍.解 (1)由f(x)=ex-ax-2,得f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增,f(x)不存在極值.當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,則x=ln a,若x0,f(x)單調(diào)遞增,所以x=ln a是f(x)的極小值點(diǎn).因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,1)存在極值,則00,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),ex≥e,則n'(x)>0,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),n'(x)>0,則n(x)即m'(x)單調(diào)遞增,所以m'(x)>m'(0)=0,則m(x)即g'(x)單調(diào)遞增,所以g'(x)>g'(0)=1-a,
①當(dāng)a≤1時(shí),g'(0)=1-a≥0,故當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)>x-sin x-cs x在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立.②當(dāng)a>1時(shí),g'(0)=1-a

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