(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若x>1時(shí),f(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2.已知f(x)=x+aln x+1ex.
(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a0,a≤0時(shí),求證:f(x)0時(shí),若f(x)>g(x+1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
6.已知函數(shù)f(x)=aln x+1x+2x-x2.
(1)若00,所以f'(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,f'(1)=2-a.
①當(dāng)a≤2時(shí),f'(1)≥0,故f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(1)=0.所以f(x)>0,符合題意.
②當(dāng)a>2時(shí),因?yàn)閒'(1)=2-a0,當(dāng)00,當(dāng)x>e時(shí),p'(x)0,當(dāng)x>0時(shí),h'(x)-1時(shí),g'(x)≤0,所以g(x)在區(qū)間(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,于是當(dāng)-10時(shí),g(x)0,故a≤1ln1+1n-n對(duì)?n∈N*恒成立.
設(shè)φ(x)=1ln(x+1)-1x,x∈(0,1],則φ'(x)=(x+1)ln2(x+1)-x2x2(x+1)ln2(x+1)=f(x)x2ln2(x+1),又f(x)≤f(0)=0,故當(dāng)x∈(0,1]時(shí),φ'(x)0,f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,不存在最大值.
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=1x-a=0得x=1a,且x∈0,1a時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈1a,+∞時(shí),f'(x)0;
當(dāng)x∈(x0,1)時(shí),h(x)0,所以g'(x)0,則函數(shù)F(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以ex-x-1>F(0)=0,即ex>x+1(x>0).
所以x>0時(shí),1ex-1x+10),則φ'(x)=a-1x+1.
當(dāng)a≤0時(shí),φ'(x)g(x+1).
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).
6.解 (1)由題意可知,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).因?yàn)?0,所以g'(x)

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