
1.(17分)(2024江蘇徐州一模)已知函數(shù)f(x)=x2+ax-ln x,a∈R.
(1)若函數(shù)y=f(x)-2x2在(0,2]上單調遞減,求a的取值范圍;
(2)若直線y=ex與函數(shù)f(x)的圖象相切,求a的值.
解(1)記y=f(x)-2x2=ax-lnx-x2=g(x),因為g(x)在(0,2]上單調遞減,所以g'(x)=a--2x≤0對?x∈(0,2]恒成立,
所以a≤,而2x+≥2=2,
當且僅當2x=,
即x=時,等號成立,
所以當x=時,2x+取得最小值為2.所以a≤2,
所以a的取值范圍為(-∞,2].
(2)設直線y=ex與函數(shù)f(x)的圖象相切于P(x0,+ax0-lnx0),
又f'(x)=2x+a-,
由題意可知則a=e+-2x0,
代入②,得+e+-2x0x0-lnx0=ex0,所以1--lnx0=0.
因為函數(shù)y=1-x-lnx在(0,+∞)內單調遞減,且x=1時,y=0,所以關于x0的方程1--lnx0=0有唯一實根1,即x0=1,則a=e+1-2=e-1.
2.(17分)(2024北京延慶一模)已知函數(shù)f(x)=-ln x+(2+a)x-2.
(1)若曲線y=f(x)的一條切線方程為y=x-1,求a的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內單調遞增,求a的取值范圍;
(3)若?x∈,+∞,f(x)無零點,求a的取值范圍.
解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),設切點為(x0,y0),
因為f'(x)=-+2+a,所以-+2+a=1,解得x0=,
因為y0=-lnx0+(2+a)x0-2,y0=x0-1,
所以-lnx0+(2+a)x0-2=x0-1,即lnx0=(1+a)x0-1,所以ln=1-1=0,
所以=1,解得a=0.
(2)因為f'(x)=-+2+a,f(x)在區(qū)間(1,2)內單調遞增,
所以f'(x)≥0在(1,2)內恒成立,
因為x∈(1,2),所以f'(x)∈a+1,a+,
所以a+1≥0,即a∈[-1,+∞).
(3)因為f'(x)=-+2+a=,x∈(0,+∞),
當2+a≤0,即a≤-2時,f'(x)-2時,令f'(x)=0,則x=>0,
當x∈0,時,f'(x)0;當x∈(x0,+∞)時,φ(x)4,
∴實數(shù)a的取值范圍為(4,+∞).
(2)由(1)知a>4,x1,x2是g(x)=0的兩個實數(shù)根,則x1+x2=x1x2=a.
∴f(x1)+f(x2)-3a=-x1+alnx1+-x2+alnx2-3a=-(x1+x2)+aln(x1x2)-3a=alna-3a.
令h(a)=alna-3a(a>4),則h'(a)=lna-2,∴當a∈(4,e2)時,h'(a)
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