TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5286" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc5286 \h 1
\l "_Tc19610" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc19610 \h 2
\l "_Tc6682" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc6682 \h 2
\l "_Tc14774" 高頻考點一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù) PAGEREF _Tc14774 \h 2
\l "_Tc18944" 高頻考點二：糅合雙參（比值糅合） PAGEREF _Tc18944 \h 4
\l "_Tc30068" 高頻考點三：糅合雙參（差值糅合） PAGEREF _Tc30068 \h 6
\l "_Tc8460" 高頻考點四：變更主元法 PAGEREF _Tc8460 \h 7
\l "_Tc2968" 高頻考點五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題 PAGEREF _Tc2968 \h 8
\l "_Tc24170" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc24170 \h 10
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：
（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；
（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；
（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.
2、破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤簦瑒t；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，證明：．
例題2．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，，證明：.
練透核心考點
1．（22-23高二下·河北邢臺·期末）已知函數(shù).
(1)若為增函數(shù)，求；
(2)若，有兩個零點，，且，證明：.
2．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設(shè).
（?。┳C明：存在兩個零點，；
（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.
高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）
典型例題
例題1．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在不相等的實數(shù)，使得，證明：．
例題2．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若有2個極值點，求證：.
例題3．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2個零點，證明：．
練透核心考點
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.
2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)，時，證明：.
3．（22-23高三下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍;
(2)若，使得，求證：．
高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）
典型例題
例題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).
(1)若 ，求 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，且 有兩個極值點，分別為和，求的最小值.
例題2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是函數(shù)的兩個零點，且，求的最小值.
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個極值點，分別為和，求的最小值.
練透核心考點
1．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知，不等式恒成立，則x的取值范圍 ．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
高頻考點五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題
典型例題
例題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個零點，證明：.
例題2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實根，求證：；
練透核心考點
1．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.
2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若存在，，使，求證：．
第四部分：新定義題
1．（2023·湖北·二模）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．如果存在實數(shù)a和函數(shù)，其中對任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
(1)設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù)．
（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì).給定，，設(shè)m為實數(shù)，
，，且，，若，求m的取值范圍．
第07講 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5286" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc5286 \h 1
\l "_Tc19610" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc19610 \h 1
\l "_Tc6682" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc6682 \h 5
\l "_Tc14774" 高頻考點一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù) PAGEREF _Tc14774 \h 5
\l "_Tc18944" 高頻考點二：糅合雙參（比值糅合） PAGEREF _Tc18944 \h 11
\l "_Tc30068" 高頻考點三：糅合雙參（差值糅合） PAGEREF _Tc30068 \h 20
\l "_Tc8460" 高頻考點四：變更主元法 PAGEREF _Tc8460 \h 27
\l "_Tc2968" 高頻考點五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題 PAGEREF _Tc2968 \h 30
\l "_Tc24170" 第四部分：新定義題 PAGEREF _Tc24170 \h 36
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：
（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；
（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；
（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.
2、破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果
第二部分：高考真題回顧
1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤簦瑒t；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）（ⅰ）由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點橫坐標的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ） ，，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合零點滿足的方程進一步轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.
【詳解】（1），
當(dāng)，；當(dāng)，，
故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.
（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設(shè)切點為，
故，
故方程有3個不同的根，
該方程可整理為，
設(shè)，
則
，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：且，
此時，
設(shè)，則，
故為上的減函數(shù)，故，
故.
（ⅱ）當(dāng)時，同（?。┲杏懻摽傻茫?br>故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
因為有3個不同的零點，故且，
故且，
整理得到：，
因為，故，
又，
設(shè)，，則方程即為：
即為，
記
則為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，即證，
即證：，
即證：，
即證：，
而且，
故，
故，
故即證：，
即證：
即證：，
記，則，
設(shè)，則，所以，
，
故在上為增函數(shù)，故，
所以，
記，
則，
所以在為增函數(shù)，故，
故即，
故原不等式得證：
【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一:分離雙參，構(gòu)造函數(shù)
典型例題
例題1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，證明：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及極值，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)判斷，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及零點，求解不等式的解集；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
，，，
所以函數(shù)在點處的切線方程為，即；
（2）函數(shù)的定義域為，
，
當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，所以不可能有2個零點；
當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以要滿足函數(shù)有2個零點，只需，
即，
整理得，
設(shè)，函數(shù)的定義域為，
，所以在定義域上單調(diào)遞增，
且，則不等式的解集為，
所以的取值范圍為；
（3）證明：由（2）知，，則，
要證明，即證明，
不妨設(shè)，
因為，所以，
又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
此時需證明，
當(dāng)，時，
可得，
因為，即證明，
設(shè)，函數(shù)的定義域為，
，
所以在單調(diào)遞增，則，
，所以，
又在上單調(diào)遞增，所以，
即，命題得證.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，不等式，雙變量，零點偏移問題，本題第三問的關(guān)鍵是利用分析法轉(zhuǎn)化為證明，再根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，即可證明.
例題2．（22-23高二下·福建龍巖·期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，，證明：.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性；
（2）首先結(jié)合（1）的結(jié)果，結(jié)合，將不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，再根據(jù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）
，，
當(dāng)時，，恒成立，
此時在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，得，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2）若有兩個零點，，
由（1）知時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因為，所以，所以，
又因為，所以，
所以只需證明，即有，
下面證明，
設(shè)，
，
設(shè)，則，
令，解得：，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因為，所以，
即，
因為，所以，
而，，在上單調(diào)遞減，
所以，即，命題得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及雙變量問題，不等式恒成立問題，第二問的關(guān)鍵是判斷，不等式轉(zhuǎn)化為證明，再通過構(gòu)造函數(shù)即可求解.
練透核心考點
1．（22-23高二下·河北邢臺·期末）已知函數(shù).
(1)若為增函數(shù)，求；
(2)若，有兩個零點，，且，證明：.
【答案】(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件找到函數(shù)的極值點，利用可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是導(dǎo)數(shù)為零的點列方程求解即可；
（2）由已知得，構(gòu)造函數(shù)，使得，找到時函數(shù)的零點，利用兩個函數(shù)零點的關(guān)系建立不等式證明即可.
【詳解】（1）恒成立，
而，故是的最小值，即是函數(shù)的極小值點，
令，則，
故，則，即，
檢驗知符合題意，故.
（2）證明：當(dāng)時，，
令， ，令解得，
由于，則，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故為增函數(shù)，，即，
所以，
當(dāng)時，有唯一零點，
故，
即，
所以，
，故.
【點睛】解決含參數(shù)的極值點偏移問題通常用構(gòu)造函數(shù)的方法來解決.
2．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設(shè).
（?。┳C明：存在兩個零點，；
（ⅱ）證明：的兩個零點，滿足.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析
【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可求解；
（2）（?。┣蟪龅膯握{(diào)區(qū)間，用零點存在性定理判斷每個單調(diào)區(qū)間上零點的個數(shù)；
（ⅱ）用的單調(diào)性把需證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
（2）（?。┳C明：，，，
因為，所以，所以當(dāng)時，，時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)有最小值．
由，，
下面證明，在上，對，只要足夠小，必存在，
使得：
實際上，當(dāng)時，，令，得，
所以對，取，必有，即，
所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
又，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
綜上，存在兩個零點．
（ⅱ）要證，需證，由，所以，
因為在上單調(diào)遞減，因此需證：，
，，
所以，，
設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，即
，
結(jié)論得證，所以．
【點睛】雙變量不等式證明問題，通常結(jié)合變量間的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性等方法轉(zhuǎn)化為單變量不等式證明問題，同時注意構(gòu)造函數(shù)的技巧方法.
高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）
典型例題
例題1．（23-24高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在不相等的實數(shù)，使得，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負變化分類討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）多變量不等式的證明，由得，從而消變量，再由分析法只需證明不等式成立，將不等式變形為，利用整體換元法令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性從而證明不等式即可.
【詳解】（1）由題得的定義域為，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．
綜上所述，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不合題意，
故，則．
由，可得，
即，
可設(shè)，則，則．
要證，即證，
即證，即證，
設(shè)，即證，
設(shè)，
可得，
所以在上單調(diào)遞增，即，
即，則．
綜上可得．
【點睛】比值代換，是處理雙變量問題的策略之一.通過比值代換，我們可以將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理，達到消元的效果，在處理比值代換時，要注意一些常見的變換結(jié)構(gòu)，如以下的結(jié)構(gòu)變換方法：
（1）引元：如設(shè)，消元，回代入已知等式解方程（組），進而消元，將所求證不等式轉(zhuǎn)化為等形式，再構(gòu)造函數(shù)可得；
（2）對數(shù)相加減：，；
（3）齊次分式：等；
（4）組合型：對數(shù)，分式，整式等形式加以組合，如等等.
例題2．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若有2個極值點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將在上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過參變分離求解最值即可；
（2）通過是方程的兩個不同正根將證明轉(zhuǎn)化為，然后通過消參構(gòu)造函數(shù)來求解證明.
【詳解】（1）法一：因為在上單調(diào)遞增，
所以時，即，
設(shè)，則，
所以時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，
所以，
所以，即的取值范圍是；
法二：因為，
所以，
若，則在上單調(diào)遞增；
若，令，則，
時單調(diào)遞減；時單調(diào)遞增，
所以是的極小值點，所以，
所以當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增.
綜上，的取值范圍是.
（2）由（1）知是方程的兩個不同正根，所以，
經(jīng)驗證，分別是的極小值點，極大值點，
，
下面證明.
由，得，
兩邊取對數(shù)，得，即，
則，
設(shè)，則，則要證，即證，
即證.
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，從而，
于是成立，
故.
【點睛】方法點睛：對于含雙變量的問題，通常經(jīng)過變形，產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)，然后通過換元令，將式子轉(zhuǎn)化為單變量的的問題，進而構(gòu)造函數(shù)來解決問題.
例題3．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2個零點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得最值；
（2）將代入原函數(shù)后做差變形，得到，令，然后構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立.
【詳解】（1）當(dāng)，函數(shù)，
則，
可知當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，取得極小值，也即為最小值，
所以的最小值為；
（2）由已知，是的兩個零點，
則，，
兩式相減，得，
整理得，
欲證明，
只需證明不等式，
即證明，也即證明，
不妨設(shè)，令，則，
只需證明，即證明即可，
令，則，
又令，則，
所以，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，則，
故當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，
所以，原不等式成立，故不等式得證．
【點睛】方法點睛：對于雙變量問題，我們可以盡量構(gòu)造等式進行消元，轉(zhuǎn)化為單變量問題，如果在變形過程中產(chǎn)生，可以令達到消元的目的.
練透核心考點
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，求證：.
【答案】(1)無最小值，最大值為
(2)證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.
（2）由有兩個極值點，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.
【詳解】（1）由題意得，則.
令，解得；令，解得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
無最小值，最大值為.
（2），則，
又有兩個不同的極值點，
欲證，即證，
原式等價于證明①.
由，得，則②.
由①②可知原問題等價于求證，
即證.
令，則，上式等價于求證.
令，則，
恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，
原不等式成立，即.
【點睛】方法點睛：對于極值點偏移問題，首先找到兩極值點的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；
通過要證明的不等式，將兩極值點變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.
2．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)，時，證明：.
【答案】(1)有極大值，極小值
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值；
（2）首先不等式變形為，再利用導(dǎo)數(shù)變形為，再轉(zhuǎn)化為證明，證法1，不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；證法2，不等式變形為，再利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值，即可證明不等式.
【詳解】（1）由題意，，，
所以當(dāng)時，，，
由解得：或，由解得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有極大值，極小值.
（2）由題意，，，
要證，只需證，
而，
，
所以只需證，
即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：
證法1：要證，只需證，
即證，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
顯然，所以當(dāng)時，，
因為，所以，即，
故.
證法2：要證，只需證，即證，
令，則，所以只需證當(dāng)時，，即證，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，
故
【點睛】思路點睛：第二問的思路首先是變形不等式，根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值，即可證明.
3．（22-23高三下·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍;
(2)若，使得，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題可得，其中，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.
（2）由題可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再由導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，由，，得，即，
令，求導(dǎo)得，
設(shè)，求導(dǎo)得則，則在上單調(diào)遞增，
于是，即，因此在上單調(diào)遞增，
即在上有最大值，，則，
所以m的取值范圍為.
（2），由，得，
整理為，令，
求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
不妨令，即有，從而，
于是，即，
下面證明，即證，令，就證，只需證，
設(shè)，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞增，于是，
因此當(dāng)時，成立，即，
于是，所以．
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）
典型例題
例題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知函數(shù).
(1)若 ，求 的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，且 有兩個極值點，分別為和，求的最小值.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；
（2）首先利用極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到，，并通過變形得到，利用換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求的最值，即可求解函數(shù)的最小值.
【詳解】（1）若，，
令，得或，
當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
（2），
令，可得，
由題意可得，是關(guān)于方程的兩個實根，
所以，，
由，有，
所以，
將代入上式，得，
同理可得，
所以，
，①，
令,①式化為，
設(shè)，即，
，
記，則，
記，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，在上單調(diào)遞減，
又，
，
當(dāng)時，的最大值為4，即的最大值為2，
因為在上單調(diào)遞減，的最小值為，
所以的最小值為.
【點睛】思路點睛：本題第二問的關(guān)鍵是
，并利用換元構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，第二個關(guān)鍵是求的最值.
例題2．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）設(shè)函數(shù),
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是函數(shù)的兩個零點，且，求的最小值.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由已知先得到，兩式相加相減可得和，令，代入，然后求導(dǎo)求其最小值.
【詳解】（1）由已知，
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減；
令，得，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）得若，是函數(shù)的兩個零點，則必有，
令，得，
令，則，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若有且僅有2個零點，則必有一個小于，一個大于，
所以，且，
兩式相減可得，所以，
兩式相加可得
設(shè)，
則，令，
則，令，
則，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于雙變量問題，我們需要通過換元轉(zhuǎn)化為單變量問題，本題就是利用兩式一加，一減，然后令達到消元的目的，
常用的換元有等.
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個極值點，分別為和，求的最小值.
【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)的正負得出單調(diào)性；
（2）由結(jié)合韋達定理得出，，進而得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值即為的最小值.
【詳解】（1）若，則.
從而.
令，得或.
當(dāng)或時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減.
綜上所述，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）.
令，得.
由題意，是關(guān)于的方程的兩個實根.
所以.
由得.
所以，
將代入，得，
同理可得：.
所以.
令，上式為.
設(shè)，則.
記，則.
記時，單調(diào)遞增，所以.
所以單調(diào)遞增，.
所以在單調(diào)遞減.
又.
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值4，即得最大值為2.
所以的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：在問題（2）中，關(guān)鍵是由韋達定理得出，，從而構(gòu)造函數(shù)得出的最小值.
2．（22-23高二下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)記函數(shù)，且的最小值為.
（i）求實數(shù)的值；
（ii）若存在實數(shù)滿足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，進而求得切點，再利用點斜式即可寫出切線方程；
（2）（i）求導(dǎo)后，設(shè)導(dǎo)數(shù)的零點，從而確定最小值即可求解；（ii）由題意得，不妨令，設(shè)，則.
記，求導(dǎo)后設(shè)導(dǎo)數(shù)的零點，進而得到，再結(jié)合單調(diào)性可得，進而可解.
【詳解】（1），則，又，
所以切線方程為：，即.
（2）
（i），
令，即，則且，
所以有兩異號實數(shù)根，
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以有唯一零點.
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上遞減，在上遞增.
所以，且.
代入可得，
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以，故.
（ii），即，則
不妨令，設(shè)，則.
記，則，
令，即，則且，
所以有兩異號實數(shù)根，
因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以有唯一零點.且.
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
則在上遞減，在上遞增，所以.
其中，即，
又在上單調(diào)遞減，且，得，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以（當(dāng)時，有），所以的最小值為.
【點睛】方法點睛：隱零點的處理思路：
第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；
第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.
高頻考點四：變更主元法
典型例題
例題1．（23-24高一上·云南·期末）若不等式對任意恒成立，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】將問題化為對任意恒成立，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.
【詳解】令，
所以對任意恒成立，
當(dāng)，即，只需，顯然滿足；
當(dāng)，即，只需，可得；
綜上，.
故答案為：
例題2．（20-21高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知，若對任意的，總有，則的范圍是 ．
【答案】
【分析】把函數(shù)f(x)視為關(guān)于參數(shù)a的一次型函數(shù)，在端點-1，1處的函數(shù)值不小于0，建立不等式組求解即得.
【詳解】令g(a)=x2·a-3x+1，則g(a)是一次型函數(shù)，它在閉區(qū)間上圖象為線段，
則在閉區(qū)間上函數(shù)值不小于0，即對應(yīng)圖象不在x軸下方，只需端點不在x軸下方即可，
，
解得：或，
解得：，
所以有.
答案為：
【點睛】在參數(shù)范圍給定的含該參數(shù)的函數(shù)問題中，轉(zhuǎn)換“主”、“輔”變元的位置是解題的關(guān)鍵.
例題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（，為實數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.
【詳解】（1）
依題意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依題意，對恒成立，
令，
則對，恒成立，于是，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍是．
練透核心考點
1．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知，不等式恒成立，則x的取值范圍 ．
【答案】或
【分析】
根據(jù)給定的不等式，構(gòu)造一次型函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.
【詳解】不等式等價于，令，
依題意，，，于是，
即，解，得或，
解，得或，
因此或，
所以x的取值范圍是或.
故答案為：或
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.
【答案】
【分析】
首先利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，接下來把a作為主元（變量），x作為參數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，
【詳解】∵是增函數(shù)，∴對于任意恒成立．
，即對于任意恒成立．
令．，為關(guān)于a的一次函數(shù)，在上是一條線段，
由，得．
高頻考點五：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題
典型例題
例題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).若有兩個零點，證明：.
【答案】證明見解析
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，從而只需證明，即可求解.
【詳解】由題意得，令，則，，
所以在上單調(diào)遞增，故至多有解；
又因為有兩個零點，所以，有兩個解，
令，，易得在上遞減，在上遞增，所以.
此時，兩式相除，可得：.
于是，欲證只需證明：，
下證：
因為，
不妨設(shè)，則只需證，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故在上單調(diào)遞減，故，即得證，
綜上所述：即證.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題通過構(gòu)造對數(shù)不等式證明極值點偏移問題.
例題2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實根，求證：；
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，是方程的兩不等實根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實根，即可得到和的范圍，原不等式等價于，即極值點偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為.
由得：，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因為是方程的兩不等實根，，
即是方程的兩不等實根，
令，則，即是方程的兩不等實根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，且.
所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對稱化構(gòu)造）：令，
則，
令，
則，
所以在上遞增，，
所以h，所以，
所以，所以，
即，所以.
解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.
因為，所以，
所以，即，所以.
【點睛】方法點睛：本題第二問解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問題變成熟悉的極值點偏移問題，從而根據(jù)對稱化構(gòu)造及對數(shù)均值不等式等方法證出．
練透核心考點
1．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得實數(shù)a的值；
（2）依題意在（0，+∞）上恒成立.，分參求解即可；
（3）求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理即可求實數(shù)a的取值范圍；通過分析法要證明，只需證，構(gòu)造函數(shù)即可證得
【詳解】（1）因為，所以.
所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，
所以，解得..
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數(shù)，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
時，時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即.
（3）
定義域為
當(dāng)時，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.
當(dāng)時，
在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
函數(shù)存在兩個零點的必要條件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一個零點（）.
當(dāng)時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，
綜上函數(shù)有兩個零點，實數(shù)a的取值范圍是.
不妨設(shè)兩個零點
由，所以，
所以，所以，
要證，
只需證，
只需證，
由，
只需證，
只需證，
只需證，
令，只需證，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，
即成立，
所以成立.
【點睛】極值點偏移問題，應(yīng)熟練掌握對稱構(gòu)造的基本方法，同時結(jié)合處理雙變量問題的常用方法比值代換的技巧.
2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知．
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若存在，，使，求證：．
【答案】(1)函數(shù)的極值點有且僅有一個
(2)證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，然后分和兩種情況對函數(shù)的單調(diào)性進行研究，即可得到答案；
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
第四部分：新定義題
1．（2023·湖北·二模）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．如果存在實數(shù)a和函數(shù)，其中對任意的都有，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．
(1)設(shè)函數(shù)，其中b為實數(shù)．
（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì).給定，，設(shè)m為實數(shù)，
，，且，，若，求m的取值范圍．
【答案】(1)（i）見解析；（ii）見解析
(2)
【分析】（1）（i）對求導(dǎo)，可得恒成立，即可證明函數(shù)具有性質(zhì)；（ii），與的符號相同，分，，和，討論的正負，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）對求導(dǎo)，，分析可知其在恒成立，分，和三種情況討論求解m的取值范圍．
【詳解】（1）（i），
因為，恒成立，所以函數(shù)具有性質(zhì)；
（ii）設(shè)，與的符號相同.
當(dāng)即時，，，
故此時在區(qū)間上遞增；
當(dāng)時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；
當(dāng)時，的圖象開口向上，對稱軸，而，
對于，總有，，所以此時在區(qū)間上遞增；
當(dāng)時，的圖象開口向上，對稱軸，方程的兩根為：
，且，，
當(dāng)時，，，此時在區(qū)間上遞減；
同理得：在區(qū)間上遞增.
綜上所述：當(dāng)時，在區(qū)間上遞增；
當(dāng)時，在區(qū)間上遞減，在上遞增.
（2）由題意，得：，
又對任意的都有，
所以對任意的都有，在上遞增.
又，
當(dāng)時，，且，
所以，所以或，
若，則，
所以不合題意.
所以，即，解得：，，
當(dāng)時，，，符合題意.
當(dāng)時，，且，
同理有，即，解得：，，
綜合以上討論，所求m的取值范圍時.
【點睛】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識、考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.

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