1．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長度之和等于．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；
①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
②求四邊形面積的最小值．
2．在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點(diǎn)分別為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn).求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.
4．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓過點(diǎn)，且焦距為2，過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
5．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
6．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓長軸上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．
7．設(shè)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長為4.
（1）求圓心的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.
8．已知拋物線，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，求；
（2）過焦點(diǎn)再作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn).
第21講 一類中點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題
一、解答題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長度之和等于．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；
①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
②求四邊形面積的最小值．
【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②.
【分析】
（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出點(diǎn)的軌跡方程，并求出的取值范圍；
（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；
②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．
【詳解】
（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，
，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），則，，，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是；
（2）①若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；
若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；
設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，
直線、均過橢圓的焦點(diǎn)（橢圓內(nèi)一點(diǎn)），、與橢圓必有交點(diǎn)．
設(shè)、，由，
由韋達(dá)定理可得，則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)，
直線的斜率為，
直線的方程是，
即，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．
綜上，直線過定點(diǎn)；
②由①可得，，
，
同理可得，
所以，四邊形的面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．
因此，四邊形的面積的最小值為.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
2．在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）證明見解析；．
【解析】
試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，得直線的方程，得其過定點(diǎn)，且得出定點(diǎn)坐標(biāo)．
試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有
，即得，
∴曲線的方程為．
（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，
則直線：，，
由得，
，
∴，，
∴．
同理得．
當(dāng)或時(shí)，直線的方程為；
當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，
∴直線的方程為，即，
∴直線過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．
考點(diǎn)：曲線的軌跡方程；直線與拋物線的位置關(guān)系．
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性問題：（1）當(dāng)不含參數(shù)時(shí)，可通過解不等式直接得到單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間．（2）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立的理論求解），應(yīng)注意參數(shù)的取值是不恒等于的參數(shù)的范圍．
3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點(diǎn)分別為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn).求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.
【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，.
【分析】
（1）利用點(diǎn)差法可得，再由直線的方程為，求出軸上的截距，結(jié)合題意即可求解.
（2）設(shè)直線的方程分別為，分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，分別求出，，求出直線方程，化簡(jiǎn)整理即可求解.
【詳解】
本題考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).
（1）設(shè)，
則，
且
兩式相減得
即，
即，
所以
又直線的方程為，
令，得
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）由題意得，直線的方程分別為，
設(shè)，聯(lián)立，
得，
所以，
則
同理
所以
由
得，
所以直線的方程為
整理得，
所以直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)、以及直線的方程為，考查了運(yùn)算求解能力，綜合性比較強(qiáng).
4．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓過點(diǎn)，且焦距為2，過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）（0，）
【解析】
試題分析：（1）由焦距為2，得，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出直線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及探究直線過哪個(gè)定點(diǎn)．
試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點(diǎn)


橢圓方程為
（2）由題意，設(shè)
直線，即 代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得

同理
當(dāng)時(shí)， 直線的斜率
直線的方程為
又 化簡(jiǎn)得 此時(shí)直線過定點(diǎn)（0，）
當(dāng)時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)
綜上，直線過定點(diǎn)
考點(diǎn)：圓錐曲線中的最值與范圍問題
5．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1) (2)見解析， 經(jīng)過定點(diǎn)為
【解析】
試題分析：（1）根據(jù)題意，列出方程，求解的值，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，
由題設(shè)若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，得該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，進(jìn)而求得直線過定點(diǎn)．
試題解析：
（1）設(shè)，由題，整理得，
，整理得，
結(jié)合，得，，
所求橢圓方程為．
（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，得，
得，，
∴，，
由題，若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，所以若直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，該點(diǎn)必在軸上．
設(shè)該點(diǎn)為，，，
由，得，代入，坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，
經(jīng)過定點(diǎn)為．
點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等．
6．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓長軸上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．
【答案】（1）;（2）．
【分析】
(1)根據(jù)已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)，再討論當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)．
【詳解】
（1）解：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
又∵離心率為，∴，∴，
∴，解得，，
∴橢圓方程為．
（2）證明：設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，則，，
∴，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，
將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點(diǎn)，
∴直線的方程為，，
令得，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
（1）本題主要考查求橢圓的方程，考查橢圓中直線的定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是求出直線的方程為，，其二是討論當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn).
7．設(shè)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長為4.
（1）求圓心的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.
【答案】(1) (2)見解析
【解析】
分析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得圓心的軌跡方程為；
（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與軌跡的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線MN的方程為，直線恒過定點(diǎn).
詳解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，如圖過圓心作軸于，
則為的中點(diǎn)，在中，，
∵ ，，∴ 即；
（2）設(shè)，，，，
直線的方程為，聯(lián)立有：，
∴ ，，
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率為，
其方程為，整理得，
不論為何值，點(diǎn)均滿足方程，∴ 直線恒過定點(diǎn).
點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
8．已知拋物線，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，求；
（2）過焦點(diǎn)再作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】
（1）設(shè)，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程可得，然后利用即可求出
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果可得到，同理，由可推出，然后寫出直線的方程化簡(jiǎn)即可.
【詳解】
（1），
設(shè)，
由得
，，解得
（2），
同理，，
所以
化簡(jiǎn)得：
直線過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】
涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.

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