一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．過點的直線與曲線有且僅有兩個不同的交點，則的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知橢圓，從上任意一點向軸作垂線段為垂足，則線段的中點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．過雙曲線C：（，）的左焦點F作C的其中一條漸近線的垂線l，垂足為M，l與雙曲線C的另一條漸近線交于點N，且，則C的離心率為（ ）
A．B．2C．D．3
4．在長方體中，，，，在上．以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．若平面的一個法向量為，則（ ）

A．B．C．D．1
5．已知點，平面，其中，則點到平面的距離是（ ）
A．B．2C．D．3
6．用紅、黃、藍等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色，要求相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂兩個圓，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）
A．25B．630C．605D．580
7．已知乘積展開后共有60項，則的值為（ ）
A．5B．7C．10D．12
8．已知（其中）的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項的系數(shù)和為（ ）
A．43B．C．27D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知是拋物線的焦點，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（ ）
A．若的縱坐標為2，則
B．若直線過點，則的最小值為4
C．若，則直線恒過定點
D．若垂直的準線于點，且，則四邊形的周長為
10．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則下列結論正確的是（ ）

A．直線與是平行直線
B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為
D．平面截正方體所得的截面面積為
11．設，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．直線與圓C：相交所形成的弦中長度最短的弦長為
13．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，直線、分別與拋物線交于、兩點，設直線、的斜率分別為、，則 .
14．如下圖所示平行六面體中，，，，則體對角線 （用，，表示）.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知圓：過點，直線：和：均平分圓．
(1)求圓的標準方程；
(2)過點的直線與圓相交于點，且，求直線的一般式方程．
16．（15分）已知圓的圓心在軸上，點在圓上，當?shù)淖鴺藶闀r，到直線的距離最大.
(1)求直線被圓截得的弦長；
(2)經(jīng)過原點，且斜率為的直線與圓交于，兩點.
①求證：為定值；
②已知，若，求直線的方程.
17．（17分）已知橢圓：（）的焦距為，，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)對于，是否存在實數(shù)，使得直線分別交橢圓于點，且？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
18．（15分）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為，且的一個焦點到其一條漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設點為的左頂點，若過點的直線與的右支交于兩點，且直線與軸分別交于兩點，記四邊形的面積為的面積為，求的取值范圍.
19．（17分）等邊三角形的邊長為3，，分別是邊和上的點，且，如圖1.將沿折起到的位置，連結，.點滿足，且點到平面的距離為，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求四面體的體積.
高二數(shù)學參考答案
1．C
【分析】表示以圓心為原點，半徑為2的半圓，畫出圖形，考慮直線與半圓相切、分別經(jīng)過點，，可得所求取值范圍．
【詳解】設過且有斜率的直線位，
曲線表示以圓心為原點，半徑為2的下半圓，
由直線與圓相切可得，解得或，
當直線經(jīng)過點時，，
當直線經(jīng)過點時，，
由圖象可得，或．
故選：C．

2．C
【分析】由代入法即可求解.
【詳解】設點，根據(jù)中點的坐標公式可得，代入橢圓方程得，其中.
故選：C
3．B
【分析】由得直線l為的垂直平分線，進而得到，再解三角形即可求得.
【詳解】解：因為，即，
所以點為的中點，
又因為，所以，
又因為，所以
因為，，所以，
所以.
故選：B.

4．B
【分析】設，求出，利用求出的值，即得比值.
【詳解】設，則，，
因平面的一個法向量為，則，即，解得，
故，故=．
故選：B.
5．C
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出點到平面的距離.
【詳解】由平面，得是平面的法向量，點在平面內(nèi)，
，所以點到平面的距離是.
故選：C
6．B
【分析】先計算所有的情況，然后計算不涂紅色和只有一個圓涂紅色，最后求差即可.
【詳解】先涂第一個圓，由6種情況；再涂第二個圓有5種情況；涂第三個圓有5種情況；涂第四個圓有5種情況；涂第五個圓有5種情況，利用計數(shù)原理可知，一共有種；
若沒有紅色，
先涂第一個圓，由5種情況；再涂第二個圓有4種情況；涂第三個圓有4種情況；涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況，一共有種；
若紅色涂一個圓，
當紅色涂第一個圓，再涂第二個圓有5種情況；涂第三個圓有4種情況；涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況，一共有種；
當紅色涂第二個圓，再涂第一個圓有5種情況，涂第三個圓有5種情況，涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第三個圓，再涂第二個圓有5種情況，涂第四個圓有5種情況，涂第一個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第四個圓，再涂第三個圓有5種情況，涂第五個圓有5種情況，涂第一個圓有4種情況；涂第二個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第五個圓，再涂第四個圓有5種情況，涂第是三個圓有4種情況，涂第二個圓有4種情況；涂第一個圓有4種情況；一共有種；
所以紅色至少涂兩個圓的方案有.
故選:B
7．C
【分析】根據(jù)多項式的乘法法則可得展開后共有項，即可得答案.
【詳解】解：根據(jù)多項式的乘法法則，展開后的項數(shù)為，
所以．
故選：C.
8．D
【分析】根據(jù)題意結合二項展開式解得，，令，運算求解即可.
【詳解】展開式的第7項為，
由題意可得，，（），解得，，
則展開式的通項為，，
令，則，
所以展開式中的有理項的系數(shù)和為.
故選：D.
9．BC
【分析】由點縱坐標可得點坐標，即可判斷選項A錯誤；設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用表示，即可得到選項B正確；設直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，計算，利用可得選項C正確；利用條件計算點坐標，求出線段長計算周長可得選項D錯誤.
【詳解】由題意得，，，準線方程.
A. 由的縱坐標為2得，，故，選項A錯誤.
B. 如圖，設直線方程為：，，
由得，，
∴，
∴，當時，，選項B正確.
C. 如圖，設直線方程為：，，
由得，，
∴，
∴，解得，
∴直線方程為：，恒過定點，選項C正確.
D.如圖，設點在第四象限.
由題意得，，則.
由準線方程為得，，故，，
∴，
∴四邊形的周長為，選項D錯誤.
故選：BC.
10．BCD
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.
【詳解】對于A，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，．
∵分別為棱的中點，∴、，
則，，∴和不共線，故A錯誤；
對于B，∵，，∴，
∴，∴直線與所成的角為，故B正確．
對于C，由于平面的一個法向量為，
，
∴，直線與平面所成的角為，故C正確；
對于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長為2，∴，，，
∴等腰梯形的高為，
∴，故D正確，
故選：BCD．
11．ABD
【分析】對于A選項，令即可求解答案；
對于B選項，令即可求解答案；
對于C選項，利用二項式定理的通式進行求解即可；
對于D選項，分別令與，然后聯(lián)立方程進行求解即可.
【詳解】對于A選項，令，得，解得：，故A選項正確；
對于B選項，令，得：，故B選項正確；
對于C選項，由題意可知，當時，得：，故C選項錯誤；
對于D選項，令，得：，由上式，
兩式相加得：，
解得：，故D選項正確.
故選：ABD
12．2
【分析】求出直線所過定點，再利用圓的性質(zhì)求出最短弦長.
【詳解】直線恒過定點，
而圓的圓心，半徑，
，即點在圓內(nèi)，當且僅當時，直線被圓截得的弦長最短，
所以所求最短弦長為.
故答案為：2
13．
【分析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，設、，結合韋達定理可得出，，利用斜率公式可求得的值.
【詳解】當直線與軸重合時，直線與拋物線有且只有一個公共點，不合乎題意，
設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立，可得，，
由韋達定理可得，，
設點、，易知點，
易知，直線不與軸重合，設直線的方程為，
聯(lián)立，可得，，
由韋達定理可得，，同理可得，
所以，.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
14．
【詳解】由圖可得.
故答案為：.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)直線和的交點就是圓心，可求出結果；
（2）設直線的方程為，結合圓心到直線的距離為，再根據(jù)點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】（1）由點在圓上，則①，
又直線和均平分圓，則直線和均過圓心，
聯(lián)立方程組，解得，
所以直線和的交點坐標為2,1，即圓心的坐標為2,1，
由圓：可知，圓心的坐標為，
則，解得，
將代入①，得，
所以圓的方程為：，即，
故圓C的標準方程為：.
（2）由題可知，直線的斜率存在，故設直線的方程為，即，
取弦的中點為，則，
由，且為等腰三角形，則，
又，則圓心到直線l的距離為，
由點到直線的距離公式可知：，解得，，
所以直線的方程為，即直線的一般式方程為：，.
16．(1)；
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）當?shù)街本€距離最大時，與垂直，可求出圓心的坐標，從而可以求出圓的方程，然后利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，再由可得到弦長；
（2）設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，可得到關于的一元二次方程，及根與系數(shù)關系．對于①，由代入根與系數(shù)關系可得到定值；對于②，可化為，代入根與系數(shù)關系即可求出，從而得到答案．
【詳解】（1）由題意，設圓心，
當?shù)淖鴺藶椋?br>，，
，，即半徑為3.
圓的標準方程為.
圓心到直線的距離為，
所求弦長為.
（2）設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，
可得，顯然，，
，.
①為定值；
②
，
,,
直線的方程為.
17．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；
（2）利用韋達定理求出的中點坐標，再根據(jù)可得，根據(jù)直線的垂直關系與斜率的關系求解即可.
【詳解】（1）因為的周長為
，所以，
又因為，所以，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）
設，設中點為，
聯(lián)立，消去整理得，，
所以，即，
所以或，
又由韋達定理可得，，
所以，
所以，
因為，所以，
由或，可知，直線的斜率均存在，且都不等于零，
所以，即，
整理得，解得，
又因為或，所以滿足題意，
所以存在.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)得到焦點和漸近線方程，再由點到直線的距離公式解得，再由離心率和求出雙曲線方程即可；
（2）設直線的方程為：，直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，再由三角形的面積公式結合韋達定理化簡即可；
【詳解】（1）由題意可知，的一條漸近線方程為，右焦點為，
右焦點到漸近線的距離，解得，
由離心率，又，解得，
雙曲線的方程為.
（2）設直線的方程為：，
聯(lián)立，
恒成立，，
直線與雙曲線的右支交于兩點，，解得.
，
.

19．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由向量得到線段長和夾角，由垂直關系建立空間直角坐標系，然后得到點的坐標，利用空間向量證明線面平行；
（2）由（1）得到面內(nèi)的向量，從而得到面的法向量，由空間向量求得面面角；
（3）由等體積轉(zhuǎn)化法求出四面體體積.
【詳解】（1）∵，點到平面的距離為，
∴點到平面的距離為1，
∵，，
∴，，
則平面，，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，所以，
又平面的法向量，所以，
因為直線平面，所以平面.

（2）平面的一個法向量為，設平面的法向量為，
，，由，得
令，則，，即.
設平面與平面夾角大小為，所以，
即平面與平面夾角的余弦值為.
（3）

相關試卷

江西省上饒市第四中學2024-2025學年高三上學期十一月測試數(shù)學試題：

這是一份江西省上饒市第四中學2024-2025學年高三上學期十一月測試數(shù)學試題，共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江西省上饒市廣信中學2024-2025學年高二上學期十一月檢測數(shù)學試題：

這是一份江西省上饒市廣信中學2024-2025學年高二上學期十一月檢測數(shù)學試題，共9頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答等內(nèi)容，歡迎下載使用。

江西省上饒市廣信中學2024-2025學年高三上學期十一月檢測數(shù)學試題：

這是一份江西省上饒市廣信中學2024-2025學年高三上學期十一月檢測數(shù)學試題，共15頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

江西省上饒市廣豐區(qū)新實中學2024-2025學年高二上學期十月檢測數(shù)學卷

江西省上饒市廣豐區(qū)新實中學2024-2025學年高二上學期十月檢測數(shù)學卷
江西省上饒市廣豐新實中學2024-2025學年高一上學期十月檢測數(shù)學卷

江西省上饒市廣豐新實中學2024-2025學年高一上學期十月檢測數(shù)學卷
江西省上饒市廣豐新實中學2024-2025學年高三上學期十月檢測數(shù)學試卷

江西省上饒市廣豐新實中學2024-2025學年高三上學期十月檢測數(shù)學試卷
江西省上饒市廣豐中學2024-2025學年高二上學期9月數(shù)學檢測卷

江西省上饒市廣豐中學2024-2025學年高二上學期9月數(shù)學檢測卷
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部