1. 直線的傾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 若直線與直線垂直，則實數(shù)（ ）
A 0B. 1C. D.
3. 已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形直觀圖，則所得直觀圖的面積為（ ）
A. B. C. D.
4. 正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則下列選項中錯誤的是（ ）
A. EF平面
B
C. EF與AD1所成角為60°
D. EF與平面所成角的正弦值為
7. 已知圓及點，則下列說法錯誤的是（）
A. 圓心的坐標為
B. 若點在圓上，則直線的斜率為
C. 點在圓外
D. 若是圓上任一點，則的取值范圍為．
8. 《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐為陽馬，底面是邊長為的正方形，其中兩條側(cè)棱長都為，則（ ）
A. 該陽馬的體積為
B. 該陽馬的表面積為
C. 該陽馬外接球的半徑為
D. 該陽馬內(nèi)切球的半徑為
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9. 若m，n為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則與相交
10. 已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ，B. 當時，
C. 當時，D. ，使得
11. 已知實數(shù)、滿足方程，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 最大值為D. 的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知兩個球的半徑之比為2：3，則它們的表面積之比為_____________，體積之比為_____________.
13. 已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為______．
14. 球面上的三個點，每兩個點之間用大圓劣弧相連接，三弧所圍成的球面部分稱為球面三角形．半徑為的球面上有三點，且，則球面三角形的面積為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.

（1）證明：；
（2）證明：平面.
16. 已知直線，圓．
（1）求直線與圓相交所得的弦長；
（2）求圓關(guān)于直線對稱所得的圓的方程．
17. 瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中，滿足，頂點、，且其“歐拉線”與圓M：相切．
（1）求的“歐拉線”方程；
（2）若圓與圓有公共點，求的范圍．
18. 已知圓經(jīng)過，，三點．
（1）求圓的方程；
（2）若經(jīng)過點的直線與圓相切，求直線的方程．
19. 閱讀數(shù)學(xué)材料：“為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等.
（1）若，求直四棱柱在頂點處的離散曲率.
（2）若四面體在點處的離散曲率為，證明平面.
（3）若直四棱柱在頂點處的離散曲率為，求與平面所成角的正弦值
2024-2025學(xué)年江西省上饒市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1. 直線的傾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【正確答案】A
【分析】根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系運算求解.
【詳解】因為斜率，
所以其傾斜角為30°.
故選：A.
2. 若直線與直線垂直，則實數(shù)（ ）
A. 0B. 1C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】直線與直線垂直，
則，解得．
故選：．
3. 已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)斜二測畫法的知識確定正確答案.
【詳解】正三角形的高為，
根據(jù)斜二測畫法的知識可知，
直觀圖的面積為.
故選：B
4. 正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.
【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺的體積.
故選：D.
5. 已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．
【詳解】解：記為點，直線的斜率，直線的斜率，
因為直線l過點，且與線段相交，
結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是．
故選：B．
6. 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，則下列選項中錯誤的是（ ）
A. EF平面
B.
C. EF與AD1所成角為60°
D. EF與平面所成角的正弦值為
【正確答案】C
【分析】對于A，證得，則EF平面ABC1D1，從而得出判斷；對于B，證得平面ABC1D1，從而，而EFBD1，可得EF⊥B1C，從而得出判斷；對于C，由，得EF與AD1所成角為，在中求解即可得出判斷；對于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，在中求解即可得出判斷．
【詳解】對于A，連接BD1，在中，E、F分別為D1D、DB的中點，則EFD1B，
又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ，∴EF平面ABC1D1，故A正確；
對于B，∵平面，平面，∴B1C⊥AB，
又B1C⊥BC1，AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，
又∵BD1平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，而EFBD1，∴EF⊥B1C，故B正確；
對于C，由，得EF與AD1所成角為.
在中，，所以，
所以EF與AD1所成角不為60°，故C錯誤；
對于D，由，且平面，所以為EF與平面BB1C1C所成的角，
在中，，所以，故D正確．
故選：C．
7. 已知圓及點，則下列說法錯誤的是（）
A. 圓心的坐標為
B. 若點在圓上，則直線的斜率為
C. 點在圓外
D. 若是圓上任一點，則的取值范圍為．
【正確答案】B
【分析】A選項，把圓的一般方程化為標準方程，求出圓心坐標；選項，把點坐標代入，求出的值，進而求出直線的鈄率；C選項，求出的長度，與半徑相比，判斷點與圓的位置關(guān)系；選項，由選項求出點在圓外，是圓上任一點，所以的長度滿足，求出的取值范圍.
【詳解】對于A,將化為,
所以圓心C坐標為，,故A正確；
對于B，因為點在圓上，所以，
所以，即.所以直線的斜為，故B錯誤，
對于C，因為兩點之間的距離為,
所以點在圓外，故C正確；
對于D，因為圓心，半徑，所以，
即，故D正確.
故選：B.
8. 《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐為陽馬，底面是邊長為的正方形，其中兩條側(cè)棱長都為，則（ ）
A. 該陽馬的體積為
B. 該陽馬的表面積為
C. 該陽馬外接球的半徑為
D. 該陽馬內(nèi)切球的半徑為
【正確答案】D
【分析】根據(jù)相等的兩條棱，求出四棱錐的高，可得其體積和表面積判斷A，B；求出外接球球心位置即得外接球半徑判斷C；利用體積法求出內(nèi)切圓半徑判斷D.
【詳解】如圖，不妨設(shè)平面，平面，
則，，所以，
因為是正方形，
所以，又，平面，
所以平面，又，則平面，
同理，平面，
又，則，
對于A，，故A錯誤；
對于B，該陽馬的表面積為，故B錯誤；
對于C，因為均為直角三角形，所以外接球的球心是的中點，
則外接球半徑為，故C錯誤；
對于D，設(shè)該陽馬內(nèi)切球的半徑為，則，
所以，解得，故D正確.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9. 若m，n為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則與相交
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)線面垂直平行的性質(zhì)與判定逐個選項判定即可.
【詳解】對AB，若，則的位置關(guān)系不能確定，故A，B錯誤；
對C，由線面垂直的性質(zhì)可得若，則，但與不一定相交，故C正確，D錯誤.
故選：ABD
10. 已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ，B. 當時，
C. 當時，D. ，使得
【正確答案】AB
【分析】對于A：根據(jù)直線方程分析判斷；對于B：根據(jù)題意求直線交點即可；對于C：根據(jù)空集的定義結(jié)合直線平行運算求解；對于D：根據(jù)直線重合分析求解.
【詳解】對于選項A：因為表示過定點，且斜率不為0的直線，
可知表示直線上所有的點，
所以，故A正確；
對于選項B：當時，則，，
聯(lián)立方程，解得，所以，B正確；
對于選項C：當時，則有：
若，則；
若，可知直線與直線平行，且，
可得，解得；
綜上所述：或，故C錯誤；
對于選項D：若，由選項C可知，且，無解，故D錯誤．
故選：AB．
11. 已知實數(shù)、滿足方程，則下列說法正確是（ ）
A. 的最大值為B. 的最小值為
C. 的最大值為D. 的最大值為
【正確答案】ABD
【分析】設(shè)，可得，利用直線與圓有公共點，求出的取值范圍，可判斷AB選項；利用距離的幾何意義求出的最大值，可判斷C選項；設(shè)，利用直線與圓有公共點，求出的取值范圍，可判斷D選項.
【詳解】將方程化為標準方程可得，
圓的圓心為，半徑為，
對于A選項，設(shè)，可得，
則直線與圓有公共點，
所以，，整理可得，解得，AB都對；
對于C選項，代數(shù)式的幾何意義為圓上的點到原點的距離的平方，如下圖所示：
由圖可知，當點為射線與圓的交點時，取最大值，即，
故的最大值為，C錯；
對于D選項，設(shè)，則直線與圓有公共點，
所以，，解得，
所以，的最大值為，D對.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知兩個球的半徑之比為2：3，則它們的表面積之比為_____________，體積之比為_____________.
【正確答案】 ① ②.
【分析】根據(jù)球的表面積公式以及體積公式即可求解.
【詳解】設(shè)兩個球的半徑為，由題意可得，
所以表面積之比為，
體積之比為,
故
13. 已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)三條直線不能構(gòu)成三角形，則有任意兩條平行或交于同一個點，分類討論求解.
【詳解】三條直線不能圍成三角形，則有以下情況：
(1) 直線與直線平行，
則有；
(2) 直線與直線平行，
則有；
(3) 三條直線，，相交于同一點，
聯(lián)立解得，代入可得，
綜上，實數(shù)m的取值集合為，
故答案為: .
14. 球面上的三個點，每兩個點之間用大圓劣弧相連接，三弧所圍成的球面部分稱為球面三角形．半徑為的球面上有三點，且，則球面三角形的面積為______．
【正確答案】
【分析】設(shè)過的大圓與過的大圓交于直徑，求出二面角，同理求出二面角和；再結(jié)合球的表面積公式及球面的對稱性，求解即可．
【詳解】如圖1所示，設(shè)過的大圓與過的大圓交于直徑，過點分別作，垂足為，連接，則，
在中，由余弦定理得，，則，
所以，則，
在中，由余弦定理得，，即，
由二面角定義得，二面角為，
在圖2中，設(shè)過的大圓與過的大圓交于直徑，過的大圓與過的大圓交于直徑，同理可得，二面角為，二面角為；

設(shè)球的表面積為，則，設(shè)球面三角形的面積為，
則所在的大圓和所在的大圓，將球面分成了四個部分，其中面積較大的兩個部分的面積之和等于球的表面積的倍，
即，類似可定義，且同理有，，
而根據(jù)球面被這三個大圓的劃分情況，又有，
所以，
所以，
故．
關(guān)鍵點點睛：球面的面積，其中即為本題中所求二面角（也稱球面角），為球的半徑，解題關(guān)鍵即為求出二面角的大小．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.

（1）證明：；
（2）證明：平面.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件證明平面，再通過線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直；
（2）設(shè)，根據(jù)條件得到，再結(jié)合線面平行的判定定理證明即可.
【小問1詳解】
直三棱柱中，平面，
因為平面，所以.
因為，，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
因為平面，所以
【小問2詳解】
設(shè)，連接，

則是的中點，
又因為是的中點，所以
因為平面，平面，
所以平面.
16. 已知直線，圓．
（1）求直線與圓相交所得的弦長；
（2）求圓關(guān)于直線對稱所得的圓的方程．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，由點到直線的距離公式結(jié)合勾股定理代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由點關(guān)于直線對稱，即可得到圓心的坐標，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)直線與圓相交的弦為線段，
因為圓圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
則，
所以直線與圓相交所得的弦長為.
【小問2詳解】
設(shè)圓關(guān)于直線對稱所得圓為圓，
由題意可得圓心與圓心關(guān)于直線對稱，
設(shè)圓心，則，解得，
則，則圓的方程為.
17. 瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中，滿足，頂點、，且其“歐拉線”與圓M：相切．
（1）求的“歐拉線”方程；
（2）若圓與圓有公共點，求的范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由等腰三角形三線合一知的歐拉線即為的垂直平分線，根據(jù)與直線垂直得到斜率，結(jié)合過中點得到所求直線方程；
（2）由直線與圓相切得到圓的圓心和半徑，由兩圓有公共點得到兩圓的位置關(guān)系進而得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，
設(shè)的歐拉線為，則過的中點，且與直線垂直，
由、可得：的中點，即，
由，得，故的方程為即；
【小問2詳解】
因為與圓M：相切，故圓心，，
圓的圓心坐標為，半徑，
則要想圓M與圓有公共點，則兩圓外切、相交或內(nèi)切，
只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，
即，故，解得．
18. 已知圓經(jīng)過，，三點．
（1）求圓的方程；
（2）若經(jīng)過點的直線與圓相切，求直線的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）假設(shè)圓的一般方程，代入三點坐標即可構(gòu)造方程組求得圓的方程；
（2）由圓的方程可得圓心和半徑，易知直線斜率存在，由圓心到直線距離可構(gòu)造方程求得直線斜率，進而可得直線的方程.
【小問1詳解】
設(shè)圓的方程為：，
由題意知：，解得：，
圓方程為：，即.
【小問2詳解】
由（1）知：圓心，半徑；
當直線斜率不存在，即時，與圓不相切，不合題意；
當直線斜率存在時，設(shè)，即，
圓心到直線的距離，解得：，
，即或；
綜上所述：直線的方程為或.
19. 閱讀數(shù)學(xué)材料：“為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等.
（1）若，求直四棱柱在頂點處的離散曲率.
（2）若四面體在點處的離散曲率為，證明平面.
（3）若直四棱柱在頂點處的離散曲率為，求與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）．
【分析】（1）確定點處三個面上角的大小后根據(jù)離散曲率定義計算；
（2）由離散曲率求得，從而證得，得直四棱柱為正方體，由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明題的中線面垂直；
（3）根據(jù)離散曲率定義計算出，然后證得設(shè)，則即為與平面的所成角，再計算正弦值可得．
【小問1詳解】
若，則菱形為正方形，因為平面平面，
所以，
所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為．
【小問2詳解】
在四面體中，，所以，
所以四面體在點處的離散曲率為，
解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱為正方體，
因為平面平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，同理，
又平面，所以平面．
【小問3詳解】
直四棱柱在頂點處的離散曲率為，
則，即是等邊三角形， 則菱形中，，
平面，面，則，
又，平面，所以平面，
設(shè)，則即為與平面的所成角，．

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