一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．，若實數(shù)，滿足，則為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．設是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若關于的方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
5．已知橢圓的兩焦點分別為為橢圓上一點且，則（ ）
A．B．C．D．2
6．已知，若，則實數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知數(shù)列的前項和為，其中，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．設函數(shù)圖象上不同兩點，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定為線段AB的長度叫做曲線在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題，其中錯誤的是（ ）.
A．函數(shù)圖象上兩點A與B的橫坐標分別為1和，則；
B．存在這樣的函數(shù)，其圖象上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；
C．設A，B是拋物線上不同的兩點，則；
D．設A，B是曲線是自然對數(shù)的底數(shù)上不同的兩點，則
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線.從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)，且對任意的恒成立，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．的圖象關于點對稱
C．將的圖象向左移個單位，得到的圖象關于軸對稱
D．當時，滿足成立的的取值范圍是
11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，G是棱上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）

A．平面截正方體所得截面為六邊形
B．點G到平面的距離為定值
C．若，且，則G為棱的中點
D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．函數(shù)的最小正周期為 .
13．設，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點P（P與A，B不重合），則的最大值為 ．
14．已知，則曲線在點處的切線方程為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（15分）已知函數(shù)，（）．
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
(2)對，用表示，中較大者，記為，若，請用解析法表示函數(shù)（無需證明），并求出當為何值時，有最小值，且最小值為多少？
16．（13分）在中，角的對邊分別是，且．
(1)求角；
(2)已知為邊上一點，且，求的長．
17．（15分）已知復數(shù)．
(1)若，求；
(2)在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的向量分別是，其中是原點，求的大小．
18．（17分）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點在母線上，且，.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由
19．（17分）對于一個各項非零的等差數(shù)列，若能從中選出第（）項，能構成一個等比數(shù)列，則稱為的“等比子列”.若此“等比子列”具有無窮項，則稱其為“完美等比子列”.
(1)若數(shù)列，，直接寫出3個符合條件的“等比子列”，其中1個必須為“完美等比子列”.
(2)對于數(shù)列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請寫出一個并證明；如果不存在，請說明理由.
(3)證明：各項非零的等差數(shù)列中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列滿足（為公差，）.
參考答案：
1．A
【分析】先利用定義判斷出函數(shù)fx是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求出的值.
【詳解】對任意，，函數(shù)的定義域為，
，則函數(shù)為奇函數(shù)，
當時，由于函數(shù)為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
由于該函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上也為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由，得，
可得出，故A正確.
故選：A.
2．D
【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可.
【詳解】因為，，所以，
又，所以，
所以.
故選：D.
3．B
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可得表達式，先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定m的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知，，
因為，所以，
又，所以，解得，
由可得，所以，
將的圖象向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，令，由，可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
因為關于的方程在上有兩個不等實根，
即與的圖像在上有兩個交點，
即與在上有兩個交點，
所以實數(shù)的取值范圍為，
故選：B.
4．C
【分析】借助復數(shù)運算法則結合模長定義計算即可得.
【詳解】，
故.
故選：C.
5．A
【分析】根據(jù)橢圓的定義結合條件即得.
【詳解】橢圓，，，，
設，，則，
，，
，
，
，即．
故選：A．
6．B
【分析】利用換元法，根據(jù)二項式定理的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】令，則，所以,
所以，，所以；
故選：B.
7．C
【分析】由，采用構造數(shù)列的方法，，則可以確定數(shù)列為等比數(shù)列，然后進行求解即可.
【詳解】因為，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
即，所以．
故選：C.
8．D
【分析】由新定義，利用導數(shù)求出函數(shù),在點A與點B之間的“彎曲度”判斷A,C正確；舉例說明B是正確的；求出曲線上不同兩點，之間的“彎曲度”，判斷D錯誤．
【詳解】對于A，由，得，
，，則，A正確；
對于B，例如，，即曲線上任意一點，都有 ，從而為常數(shù)，所以B正確；
對于C，，，設，，則，
所以，所以C正確；
對于D，，，因為，，為曲線上不同的兩點，
所以 ，所以D不正確.
故選：D.
9．ABC
【分析】根據(jù)題意分析，不難得到，按照規(guī)律寫出各項，即可判斷A，B正確；對于CD，結合樹狀圖，考慮對立事件所包含的樣本點數(shù)，利用古典概型概率公式計算即得，同法求出即可判斷.
【詳解】由題意可知，
則，，則A正確；
顯然，故B正確；
因為，如上樹狀圖所示，分別計算1→5的路線共有5條，5→11的路線共有13條，
所以過數(shù)字5的路線共有條.則，故C正確；
同理可得，即有，故D錯誤.
故選：ABC.
10．BC
【分析】A選項，利用輔助角公式化簡，并根據(jù)得到，從而求出；B選項，計算出，B正確；C選項，利用左加右減得到，得到C正確；D選項，，解正弦不等式，結合求出解集.
【詳解】A．，
，
對任意x∈R恒成立，
∴fx在處取得極值，即，
解得，
，
，
可求得，A錯誤；
B．的圖象關于點對稱，B正確；
C．將的圖象向左平移個單位，
得到，
又，
故函數(shù)圖象關于軸對稱，C正確；
D．，即，
，解得，
由題意知，符合條件的的取值為，
當時，，均在定義域內(nèi)，滿足條件，
當時，，此時僅有滿足條件，
所以滿足成立的的取值范圍為，D錯誤．
故選：BC
11．BCD
【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面平行的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點共面，結合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.
【詳解】對于A，連接，
在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，
所以，，
所以，則平面與平面為同一平面，
所以平面截正方體所得截面為平面，為四邊形，故A錯誤；
對于B，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又點G是棱上的一個動點，所以點G到平面的距離為定值，故B正確；
對于C，連接，
因為，且，所以四點共面，
因為在正方體中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方體中，，
所以四邊形是平行四邊形，則，則，
因為E為棱的中點，所以G為棱的中點，故C正確；
對于D，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

設，則，
所以，
設平面的法向量為n=a,b,c，則，
令，則，故，
設直線與平面所成角為，
則，
因為，所以，則，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.
故選：BCD.
12．
【分析】由余弦二倍角公式及兩角和的余弦公式化簡后計算周期即可得.
【詳解】
，
則其最小正周期.
故答案為：.
13．
【分析】先求出定點和的坐標，分析得到兩條直線互相垂直，從而得到，最后設，在直角三角形中將和表示為的式子，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可求解.
【詳解】可以轉(zhuǎn)化為，故直線過定點，
可以轉(zhuǎn)化為，故直線過定點，
由和滿足，
所以兩條直線互相垂直，可得，
所以，可得，
設為銳角，則，，
所以，
當時，取最大值.
故答案為：.
14．
【分析】求導，即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解直線方程.
【詳解】，故，又，
故曲線在點處的切線方程為，即，
故答案為：
15．(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析
(2)，，最小值為
【分析】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得求解；
（2）令，由，得到，再利用，的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下，
設，且，則，
因為，且，所以，
得到，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，
由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又由，得到或（舍）.
當時，，當時，，
當時，，
所以，
易知，當時，有最小值，最小值為.
16．(1)
(2)1
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，然后結合兩角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可.
（2）利用三角形相似得，求得，然后在中由余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
由可得：，
，
，
可得：，
，，.
（2），
與相似，滿足：，
設，則有，
解得：（舍去），即：，
，
在中，由余弦定理可得：，
即：，
解得：（舍去），的長為1.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)共軛復數(shù)定義和復數(shù)的乘除運算法則化簡求出，再求其模長即得；
（2）利用復數(shù)的幾何意義求出，和，由兩向量的夾角公式即可求得.
【詳解】（1）
（2）依題意向量
于是有
為與的夾角，
，
18．(1)證明見解析
(2)
(3)存在，且
【分析】（1）利用余弦定理與勾股定理推得，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；
（2）建立適當空間直角坐標系，得到直線的方向向量與平面的法向量后借助空間向量夾角公式計算即可得；
（3）設，求出平面與平面的法向量后，借助空間向量夾角公式計算出相應即可得.
【詳解】（1）如圖，設交于點，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因為平面，所以，
又因為是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，
可得，，
又，，所以，
即，，
所以在中，，
在中，由余弦定理：
，
所以，故，
因為底面，面，所以平面平面，
又面，平面平面，，故面，
又平面，所以平面平面；
（2）易知，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
令，則，
設直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成的角的正弦值為；
（3），，，
設，可得，
設平面與平面的法向量分別為，，
則有，，
令，則，，，，
即，，
設平面與平面的夾角為，
則，
整理得，即，則，
故線段上存在符合題意的點，且.
19．(1);;
(2)不存在，證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，從給定的等差數(shù)列中選取合適的項構成等比數(shù)列.
（2）先進行猜想，若存在“完美等比子列”，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，運用反證法進行分析證明.
（3）證明充要條件，需要分別證明充分性和必要性.充分性是由推出存在“等比子列”；必要性是由存在“等比子列”推出.
【詳解】（1）取，則，為，這是一個等比數(shù)列，是的“等比子列”.
取，則，為，這是一個等比數(shù)列，是的“等比子列”.
取，則，為，這是一個“完美等比子列”.
（2）猜想：數(shù)列不存在“完美等比子列”.
證明：假設存在“完美等比子列”，設其公比為，首項為.
設，，因為是等比數(shù)列，則，即.
變形得，，.
因為，左邊是的倍數(shù)，右邊不是的倍數(shù)（時），
當時，不符合，所以矛盾，假設不成立，
即數(shù)列不存在“完美等比子列”.
（3）充分性：
已知（為公差，），設（）.
取，，，，.
則，，，，.
所以，，，
可以發(fā)現(xiàn)這些項構成等比數(shù)列，所以存在“等比子列”.
必要性：
設等差數(shù)列的公差為，“等比子列”的公比為.
設，，則.
整理得，.
因為（若，則數(shù)列為常數(shù)列，也滿足），所以，令，，所以.
綜上所得，各項非零的等差數(shù)列中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列滿足（為公差，）得證.
【點睛】知識點點睛：本題只要考查了對“等比子列”和“完美等比子列”新定義的理解，綜合了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，反證法證明，以及簡易邏輯知識的考查.綜合性，邏輯性強，屬于難題.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
A
B
C
D
ABC
BC
題號
11









答案
BCD









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