1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
2．拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗結果，設事件；事件：至少有一顆點數(shù)為6；事件；事件.則下列說法正確的是（ ）
A．事件與事件為互斥事件B．事件與事件為互斥事件
C．事件與事件相互獨立D．事件與事件相互獨立
3．已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線y=fx的兩個交點，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方體中，分別為棱，的中點.直線與平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．設x，，向量，，，且，，則等于（ ）
A．B．3C．D．4
6．下列說法錯誤的是（ ）
A．若隨機變量，則當較小時，對應的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機變量X的分布比較集中
B．在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好
C．在一元線性回歸模型中，如果相關系數(shù)，表明兩個變量的相關程度很強
D．對于一組數(shù)據(jù)，，…，，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍
7．已知數(shù)列an的前項和為，若，且，則下列說法錯誤的是（ ）
A．a(chǎn)n是遞減的等差數(shù)列B．數(shù)列的首項為正數(shù)
C．的最大值是20D．是an中的項
8．已知函數(shù)的表達式為，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．給出以下四個判斷，其中正確的是（ ）
A．函數(shù)的單調遞減區(qū)間是
B．函數(shù)的定義域為，若滿足，則函數(shù)是偶函數(shù)
C．若的定義域為，則的定義域為
D．不等式的解集是
10．已知兩個復數(shù)與，下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則與互為共軛復數(shù)
B．若，則
C．若，則
D．若，則的最大值為
11．如圖，在正方體中，，以為單面正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系.已知是直線的方向向量，則下列命題是真命題的是（ ）
A．是直線的一個方向向量B．是平面的一個法向量
C．若平面，則D．若平面，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．如圖，在棱長為1的正方體中，為棱上的動點且不與重合，為線段的中點.給出下列四個命題：
①三棱錐的體積為；②；③的面積為定值；④四棱錐是正四棱錐.
其中所有正確命題的序號是 .
13．已知橢圓的離心率為，過右焦點F且斜率為的直線與C相交于A、B兩點，若，則 ．
14．設函數(shù)，若關于x的方程有5個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.
15．（13分）已知的定義域為，且滿足，．
(1)求的解析式；
(2)判斷在上的單調性，并用單調性的定義證明．
16．（15分）已知函數(shù)y=fx，其中.
(1)求函數(shù)y=fx的最小正周期及函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，，，求面積的大小.
17．（17分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為，且.D是AB的中點，點E在線段AC上且，線段CD與線段BE交于點M（如下圖）
(1)求角A的大?。?br>(2)若，求的值；
(3)若點G是的重心，求線段GM的最小值.
18．（17分）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的實軸長為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設是雙曲線與圓在第一象限的交點，求的面積.
(3)過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求PQ.
19．（15分）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.
(1)求和的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.
高三數(shù)學參考答案
1．D
【分析】利用函數(shù)奇偶性以及單調性結合函數(shù)值，畫出函數(shù)圖象草圖即可解不等式.
【詳解】根據(jù)題意可知，由可得，
再根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性畫出函數(shù)圖象示意圖如下：

對于不等式，
當時，即時，，由圖可知；
當時，即時，，由圖可知；
因此不等式的解集為.
故選：D
2．D
【分析】A選項，寫出事件包含的情況，得到，A錯誤；B選項，寫出事件包含的情況，結合A選項，得到，B錯誤；C選項，寫出事件包含的情況，故，C錯誤；D選項，寫出事件和包含的情況，得到，D正確.
【詳解】A選項，事件包含的情況有，
事件：至少有一顆點數(shù)為6包含的情況有
，
故，事件與事件不為互斥事件，A錯誤；
B選項，事件包含的情況有
，
故，事件與事件不為互斥事件，B錯誤；
C選項，拋擲一紅一綠兩顆質地均勻的骰子，共有種情況，
故，
事件包含的情況為，故，
故，故事件與事件不相互獨立，C錯誤；
D選項，事件包含的情況有
，
，共18種情況，
故，
事件包含的情況有：，
故，
因為，所以事件與事件相互獨立，D正確.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函數(shù)圖象上，代入計算，求出，從而求出.
【詳解】令，解得或，
是與曲線的兩個相鄰的交點，
且在單調遞增區(qū)間上，在單調遞減區(qū)間上，在左邊，
不妨設，，
兩式相減得，
又，故，所以，解得，
故，
又圖象可知，在函數(shù)圖象上，
故，解得，
所以.
故選：C
4．D
【分析】作出線面角，解直角三角形求得線面角的最小值.
【詳解】設是的中點，連接，
由于，所以平面，平面，，
且是直線與平面所成角.
設正方體的邊長為，則，
所以.
故選：D
5．B
【分析】根據(jù)向量垂直和平行滿足的坐標關系可得即可根據(jù)模長公式求解.
【詳解】由，可得，且，
解得故則，
故選：B
6．D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質，可得判定A正確；根據(jù)決定系數(shù)和相關系數(shù)的性質，可得判定B正確，C正確；根據(jù)方差的性質，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，若隨機變量，則當較小時，對應的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機變量X的分布比較集中，所以A正確；
對于B中，在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)刻畫模型回歸效果，越大，說明模型擬合的效果越好，所以B正確；
對于C中，一元線性回歸模型中，相關系數(shù)的絕對值越接近1，表明兩個變量的相關性越強，
所以如果相關系數(shù)，表明兩個變量的相關程度很強，所以C正確；
對于D，若所有數(shù)據(jù)均變成原來的2倍，則變?yōu)樵瓉淼?倍，所以D正確.
故選：D．
7．D
【分析】由定義得數(shù)列an為等差數(shù)列，利用已知求出首項和公差，對AB選項進行判斷；結合數(shù)列中各項的符號求的最大值判斷C選項；由通項判斷D選項.
【詳解】，即，則an是公差為的等差數(shù)列，
所以an是遞減的等差數(shù)列，A選項正確；
等差數(shù)列an公差，由，有，解得，
所以數(shù)列的首項為正數(shù)，B選項正確；
，
時，；時；時，，
所以的最大值為，C選項正確；
由可知，an中的項都是偶數(shù)，不是an中的項，D選項錯誤.
故選：D.
8．B
【分析】先利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，確定方程的解的情況，然后結合二次方程根的分布知識求參數(shù)范圍．
【詳解】，
時，，當時，，遞減，時，，遞增，
時，，時，，是極小值，
時，，在上是增函數(shù)，
時，，時，，且，
作出函數(shù)的大致圖象，如圖，

由圖象知時，無實解，時，有一解，時，有兩解，時，有三解，
方程有四解，
則方程有兩解且，
記，
則，解得，
故選：B．
【點睛】本題考查用導數(shù)研究方程根的問題，解題方法是把函數(shù)的性質與二次方程根的分布知識結合起來求解，即利用導數(shù)研究函數(shù)的性質得出方程的解的情況，再利用二次方程根的分布知識求解，這對于把作為一個整體，方程是關于這個整體的二次方程可適用．
9．CD
【分析】A選項，的單調遞減區(qū)間為；B選項，舉出反例；C選項，利用抽象函數(shù)定義域求解方法得到，求出，得到答案；D選項，分式不等式化為一元二次不等式，求出解集.
【詳解】A選項，的單調遞減區(qū)間為，不能用并集符號連接，A錯誤；
B選項，不妨設，滿足定義域為，，但不是偶函數(shù)，B錯誤；
C選項，由題意得，解得，故的定義域為，C正確；
D選項，，等價于且，
解得，不等式的解集是，D正確.
故選：CD
10．ABC
【分析】舉反例即可求解AB，利用復數(shù)的幾何意義即可求解CD.
【詳解】A選項：若，，與并不互為共軌復數(shù)；A錯誤；
B選項：虛數(shù)不能比較大??；必如，，，但無法比較大小，B錯誤，
C選項：由于，故C錯誤；
D選項：設在復平面對應的點為，由
可知點的集合是以為圓心，1為半徑的圓．
表示點到的距離，所以最大值為,D正確，
故選：ABC

11．BCD
【分析】對于A，求得即可判斷；對于B，求得平面的一個法向量即可判斷；對于C，由已知可得，求解可判斷；對于D，由已知得，求解可判斷.
【詳解】在正方體中，，
對于A，，所以，
所以不是直線的一個方向向量，故A錯誤；
對于B，，，，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，故B正確；
對于C，若平面，則，解得，故C正確；
對于D，若平面，則，則，故D正確.
故選：BCD.
12．②③④
【分析】利用錐體的體積公式判斷①；利用線面垂直的判定定理判斷②；利用平行線的傳遞性及三角形面積公式判斷③；利用正棱錐的定義判斷④.
【詳解】對于①，三棱錐體積為，
因此三棱錐體積的最大值為，①錯誤；
對于②，連接，則，又平面，平面，
則，而，平面，則平面，
又平面，因此，②正確；

對于③，設，連接，則，，
即和到的距離相等且不變，因此的面積為定值，③正確；
對于④，由，知平面，又為正方形，為其中心，
因此四棱錐是正四棱錐，④正確.
故答案為：②③④
13．
【分析】解法1：設Ax1,y1，Bx2,y2，由線段的定比分點公式得到，再設直線AB方程為，直曲聯(lián)立得到韋達定理，再解出即可；
解法2：由橢圓的第二定義設直線的傾斜角為，，得到，再由同角的三角函數(shù)關系求出即可；
【詳解】
解法1：設Ax1,y1，Bx2,y2，
∵，∴由定比分點坐標公式可得，
∵，設，，，∴， ①
設直線AB方程為，
代入①中消去x，可得，
，
∴，，，，
解得，．
解法2：設直線的傾斜角為，，所以，
由橢圓的第二定義可得，
即，，
又，
所以．
故答案為：.
14．
【分析】利用導數(shù)數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和零點，可得的大致圖象，令，由關于x的方程有5個不相等的實數(shù)根，則與y=fx的圖象有5個交點，且關于t的方程有兩個解，不妨設為，，，分兩種情況討論：①若，那么②若，，即可求解實數(shù)m的取值范圍.
【詳解】解：令，，
令，解得，令，解得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，，
而，
由零點存在定理可得：存在，
當時，
又，故可大致畫出的圖象，如下圖所示：
令，由關于x的方程有5個不相等的實數(shù)根，
則與y=fx的圖象有5個交點，
且關于t的方程有兩個解，不妨設為，，
①若，那么才能滿足條件.
由是方程的解，所以，
解得，此時與y=fx的圖象只有4個交點，不滿足條件.
②若，，此時與y=fx的圖象有5個交點，
關于t的方程要滿足，，
則，解得
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是
故答案為：
15．(1)
(2)單調遞增，證明見解析
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的性質求解參數(shù)即可.
（2）先判斷單調性，再利用定義法證明即可.
【詳解】（1）因為的定義域為，關于原點對稱，
且，故是奇函數(shù)，
因為在處有定義，所以，
得到，解得，此時，
因為，所以，解得，
故的解析式，
（2）在上單調遞增，理由如下，
任取，且使，
而，
，
因為，所以，，
由已知得，所以，故，
故，即，
最后得到在上單調遞增.
16．(1)最小正周期為，最大值為2；
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期，整體法得到，從而得到時，取得最大值2；
（2）在（1）基礎上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面積公式求出答案.
【詳解】（1）
，
故的最小正周期為，
時，，故當，即時，
取的最大值，最大值為2；
（2），故，
因為，所以，故，解得，
又，，
由余弦定理得，即，解得，負值舍去，
故.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），結合面積公式和余弦定理，化簡得到，求出，；
（2）由三點共線得到，，從而得到方程組，求出，得到答案；
（3）法一：由重心定義得到，進而求出，根據(jù)三角形面積公式得到， 兩邊平方，結合基本不等式求出；
法二：由（2）得，故，M為CD中點，，由三角形面積公式得到，在中，有余弦定理和基本不等式得到，故.
【詳解】（1）因為，
所以.
所以，
所以，故，
又，所以，
所以；
（2）由題意，，
由D、M、C三點共線得，即，
故，
所以，
同理由B、M、E三點共線可得，
∴，
∴
（3）法一；由重心定義得，
∴，
∴，
∴
，當且僅當時，等號成立，
∴，
當且僅當時取等號.
∴線段GM的最小值為；
法二：由（2）得，，
故，故M為CD中點，
又重心G為CD三等分點，故，
∵，
∴在中，，
當且僅當時取等號，故，
∴.
即線段GM的最小值為.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知，再將點代入雙曲線方程可得解；
（2）聯(lián)立雙曲線與圓可得點坐標，進而可得三角形面積；
（3）由已知可得直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線，結合韋達定理與弦長公式可得解.
【詳解】（1）由已知雙曲線的實軸長為，即得，
所以雙曲線方程為，
又雙曲線過點，則，
解得，
則雙曲線方程；
（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程，
即，解得，
由點在第一象限，則，
又，
所以；
（3）由已知直線，即，

聯(lián)立直線與雙曲線，即，
得，，
且，，
則弦長.
19．(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)與的關系求an的通項公式，由等比數(shù)列基本量的運算即可求解bn的通項公式；
（2）用裂項相消法求奇數(shù)項的和，由錯位相減法求偶數(shù)項的和，即可求解.
【詳解】（1）數(shù)列an的前項和，當時，，
當時，，
因為也適合上式，
所以，
設數(shù)列bn的公比為，因為，
所以，解得，
又，所以；
（2）由題意得，
設數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，
則
，
，
所以，
兩式相減得，
所以，
故.

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