一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的范圍為（）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合求出直線的斜率的取值范圍.
直線的方程化為，由，解得，
因此直線過定點(diǎn)，線的斜率，直線的斜率，
由直線與線段總有公共點(diǎn)，得直線的斜率有或，
又直線的斜率，
所以直線的斜率的范圍為.
故選：A
2. 已知圓，從點(diǎn)向圓作兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，若，則圓心的軌跡被直線截得的弦長為（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】連接、，分析可知為正方形，可得出，可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，再求出圓心到直線的距離，從而求出弦長.
圓的圓心為，半徑為，連接、，
則，，又因?yàn)?，且?br>所以四邊形為正方形，則，
即，即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
又圓心到直線的距離，
所以圓心的軌跡被直線截得的弦長為.
故選：C
3. 設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，左、右焦點(diǎn)為，，上、下頂點(diǎn)為，.關(guān)于該橢圓，有下列四個(gè)命題：
甲：；乙：的周長為8；
丙：離心率為；?。核倪呅蔚拿娣e為.
如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【正確答案】B
【分析】利用橢圓方程，分析甲乙丙丁都為真時(shí)得到關(guān)于的等式，再分析得甲乙不同時(shí)為真，進(jìn)而分類討論甲、丙和丁為真與乙、丙和丁為真兩種情況即可得解.
依題意，作出橢圓的圖象，如圖，
若甲為真命題，則；
若乙為真命題：則的周長為，即；
若丙為真命題，則離心率為；
若丁為真命題，則四邊形的面積為；
當(dāng)甲乙都為真時(shí)，有，解得，則，
此時(shí)，，則丙和丁都是假命題；
所以甲乙不可能同時(shí)為真，且必有一真一假，故丙和丁都為真；
若甲、丙和丁為真，則，解得，
此時(shí)滿足，且，符合題意；
若乙、丙和丁真，則，解得，
此時(shí)，即乙、丙和丁不同時(shí)為真，假設(shè)不成立；
綜上，乙命題為假命題.
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，分析甲乙丙丁都為真時(shí)得到關(guān)于的等式，進(jìn)而分析得解.
4. 在平面直角坐標(biāo)系中，過雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線平行線分別與兩漸近線交于，兩點(diǎn)．若，則該雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】做出圖形，求出漸近線方程，求出兩平行線間的距離，再結(jié)合三角恒等變以及斜率關(guān)系換化簡可得，最后構(gòu)造齊次式求出離心率即可；
由題意可得雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)交直線于點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離為，
因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>即，
設(shè)，即，
因?yàn)椋?br>，
所以，即，
所以，即，
所以離心率.
故選：C.
5. 過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P作圓（r為常數(shù)且）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若的最小值是，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.
設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，
由切圓于點(diǎn)，得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可知的最小值為，
整理可得，解得或，
且，所以，即.
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)切線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)面積結(jié)合幾何性質(zhì)求解.
6. 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是單位正方體，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo).
點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
故選：D
7. 已知向量，且向量的夾角為銳角則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】夾角為銳角，則，排除平行的情況即可.
因?yàn)橄蛄康膴A角為銳角，
則，得，
當(dāng)時(shí)，，得，
∴的取值范圍為．
故選：B.
8. 如圖，在正四棱臺(tái)中，與的交點(diǎn)為．設(shè)，，則下列向量中與相等的向量是（）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的基底表示向量即可.
.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)的點(diǎn)M的軌跡是圓，已知點(diǎn)，M是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（）
A. 點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為
B. 面積的最大值為
C. 點(diǎn)M到直線的距離的最大值為
D. 若M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為
【正確答案】ACD
【分析】對(duì)于A，設(shè)Mx,y，先由求出點(diǎn)M的軌跡方程，從而得點(diǎn)M的軌跡圓的半徑，再由圓的面積公式即可得解；對(duì)于B，先求出AB，接著求出圓心到直線的距離再加上半徑即為的高最大值，進(jìn)而可求面積最大值；對(duì)于C，求出圓心到直線的距離再加上半徑即為解；對(duì)于D，求出圓心到直線的距離d，令即可計(jì)算求解.
對(duì)于A，設(shè)Mx,y，因?yàn)椋裕?br>整理得即，
所以點(diǎn)M的軌跡是圓心為，半徑為的圓，
所以點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故A正確；
對(duì)于B，，即，
所以圓心到直線的距離為，
所以點(diǎn)M到直線的距離的最大值為，
所以面積的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以點(diǎn)M到直線的距離的最大值為，故C正確；
對(duì)于D，圓心到直線的距離為，
要使M的軌跡上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，解得.故D正確.
故選：ACD.
10. 拋物線的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為Q，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，l與圓M相切
B. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
C. 當(dāng)時(shí)，為定值
D. 存在點(diǎn)P，使得為等邊三角形
【正確答案】CD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程以及圓的圓心坐標(biāo)和半徑可以判斷是否相切；對(duì)于B，因?yàn)?，所以可使得兩點(diǎn)在點(diǎn)的異側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短原理可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值；對(duì)于C，已知可解得和的夾角，從而解得為定值；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，所以滿足存在性．
對(duì)于A，圓M：的半徑，圓心到準(zhǔn)線的距離為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，l與圓M相切，故A不正確；
對(duì)于B，如圖所示：
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以由余弦定理?br>,所以，
所以＝，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以，
此時(shí)為等邊三角形，故D正確；
故選：CD．
11. 在長方體中，已知，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 異面直線與所成角的余弦值為
B. 點(diǎn)為長方形內(nèi)一點(diǎn)，滿足平面時(shí)，的最小值為
C. 三棱錐的外接球的體積為
D. 過點(diǎn)的平面截長方體所得的截面周長為
【正確答案】BD
【分析】A選項(xiàng)由線線平行得到異面直線的夾角，用余弦定理即可得出結(jié)果；B選項(xiàng)動(dòng)直線平行于平面等價(jià)于面面平行，從而得到動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，找垂線即為最短距離，求出最小值；C選項(xiàng)找球心，便可得到半徑，然后求出體積；D選項(xiàng)利用空間直角坐標(biāo)系由空間向量得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出線段長，從而得出周長.
A．，直線與所成角，
在中，根據(jù)余弦定理可知，
，
代入求得，A錯(cuò)誤；
B．取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
，，所以四邊形是平行四邊形，
且，，平面，
同理可得平面，
平面，平面，
所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，
在中，過點(diǎn)作，此時(shí)取得最小值，
由題意可知，，
，B正確；
C．取的中點(diǎn)，連接，則，
過點(diǎn)作，且，
為外接球的半徑，在中，，
，
，C錯(cuò)誤；
D．由平面平面得，過點(diǎn)的平面必與有交點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于
，同理可得
過點(diǎn)的平面截長方體所得的截面圖形為五邊形，
如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
，
，，
，解得，
，
所以五邊形的周長為
，D正確．
故選：BD
方法點(diǎn)睛：利用向量共面來找立體圖形中截面問題，先找到面與棱的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，得到空間向量的坐標(biāo)，由向量平行建立方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定截面位置.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)，直線被圓所截得弦的中點(diǎn)為，則MN的取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可得，即可由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，即可根據(jù)求解.
由于直線恒過定點(diǎn)，圓心，
設(shè)，則，故，
即，化簡可得，
故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，
由于在圓外，,
故，即，
故
13. 已知橢圓的離心率為，則的值為______.
【正確答案】或
【分析】分焦點(diǎn)在軸上和軸上，根據(jù)離心率公式直接求解可得.
當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，則，
所以，，解得；
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，則，
所以，，解得.
綜上，的值為或.
故或
14. 已知正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi).以為原點(diǎn)，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
【正確答案】
【分析】分別求出得，，再結(jié)合點(diǎn)共面，所以，從而可求解.
由題意得，，則，，，
因?yàn)辄c(diǎn)共面，
所以，
所以，解得，
所以.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.
15. 已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，直線的方程為．
（1）若圓的圓心在圓外，求圓的半徑的取值范圍；
（2）若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積的最大值為，求圓的方程．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）借助圓與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，計(jì)算即可求得；
（2）通過，以及三角形面積的最大值，求出圓的半徑，計(jì)算即可求得.
【小問1詳解】
由，得，
所以圓的半徑，圓心為，且圓心在直線上．
因?yàn)閳A的圓心在圓外，所以連結(jié)，．
又因?yàn)椋B接，所以在中，圓的半徑為．
故圓的半徑的取值范圍為．
【小問2詳解】
設(shè)圓的圓心為，由題意可得，所以，即①．
設(shè)圓的半徑為，在中，邊上的高為h，
所以的面積為，
當(dāng)時(shí)，即此時(shí)取得最大值，的面積取得最大值，
最大值為，解得，
所以②．
由①②得，或，
所以圓的方程為或．
16. 已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，其中為橢圓的離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)（M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方），求的值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將點(diǎn)2,0和點(diǎn)代入橢圓方程，解之即可得解；
（2）根據(jù)題意，利用直線的點(diǎn)斜式求得直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，直接求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解.
小問1詳解】
因?yàn)闄E圓橢圓經(jīng)過點(diǎn)2,0和點(diǎn)，，
所以，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
由（1）得，直線的斜率為，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，解得或，
則，
所以.
17. 已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為為雙曲線的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）23
【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式列和離心率列方程求，即可得到雙曲線的方程；
（2）根據(jù)雙曲線的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值即可.
【小問1詳解】
由題意知，解得，
則，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
記雙曲線的左焦點(diǎn)為，則，
可得，
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
且最小值為.故的最小值為.
18. 《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面PBC，平面PAB，D為PC的中點(diǎn)，.
（1），，，用a，b，c表示；
（2）若，求.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）連接，利用空間向量的線性運(yùn)算，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解；
（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【小問1詳解】
如圖所示，連接，可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，
所以，
所以
.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
，
因?yàn)槠矫?，平面，且平?平面，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以.
19. 如圖所示，平行六面體中，.
（1）用向量表示向量；
（2）求；
（3）求的長度.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解；
（2）（3）利用空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則即可解.
【小問1詳解】
在平行六面體中，
.
小問2詳解】
因?yàn)椋?，?br>所以，，
，
則
.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?br>所以
，
則.

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