1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效．
4．本試卷共19題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
3．已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．“直線與直線平行”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知向量，則（ ）
A．10B．2C．0D．
6．是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，被稱為自然常數(shù)或者歐拉數(shù)．最初由雅各布·伯努利在研究復(fù)利時(shí)發(fā)現(xiàn)，后由萊昂哈德·歐拉證明其為無(wú)理數(shù)，大約為．小明是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行排列得到一個(gè)六位數(shù)密碼，那么小明可以設(shè)置（ ）個(gè)不同密碼．
A．240B．180C．120D．72
7．如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干；現(xiàn)將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好是中截面（即平面經(jīng)過(guò)邊、的中點(diǎn)）則圖1中容器水面的高度是（ ）
圖1 圖2
A．B．C．D．
8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，斜率為1的直線過(guò)左焦點(diǎn)，交于兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若線段的長(zhǎng)度的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知是空間兩條不同的直線，是空間兩個(gè)不重合的平面，下列命題不正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．對(duì)于隨機(jī)事件，若，則（ ）
A．B．C．D．
11．已知曲線．點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．曲線存在點(diǎn)，使得
C．直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)
D．點(diǎn)是曲線上在第三象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足分別為，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)___________．
13．在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為_(kāi)___________．
14．如圖所示，用過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為2，為母線的中點(diǎn)，平面與底面的交線，則該雙曲線的兩條漸近線所成角的正弦值為_(kāi)___________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）（1）解方程：（2）計(jì)算．
16．（本小題滿分15分）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）求的最小值和最大值．
17．（本小題滿分15分）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，每局比賽甲獲勝的概率約為，乙獲勝的概率約為．
（1）若比賽為三局兩勝制：
（I）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求乙最終獲勝的概率；
（2）若比賽為五局三勝制，已知甲最終獲勝了，求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率．
18．（本小題滿分17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．過(guò)點(diǎn)的直線與及圓依次相交于點(diǎn)，如圖．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：為定值；
（3）過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求與的面積之積的最小值．
19．（本小題滿分17分）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；
過(guò)點(diǎn)，且法向量為n的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．
（1）已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，
證明：；
（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面，所在平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．
2024-2025學(xué)年秋季學(xué)期高二數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．80 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。
15．【解析】（1）因?yàn)?，所?br>又因?yàn)?，所以，解得?br>（2）法一：
法二：原式
16．解析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)
即，整理得，
（2）就是，其半徑是2，圓心．
∵，∴在圓外，
故的最小值是 最大值是
17．解析：（1）解：（i）所有可能的取值為2，3
，，
所以的分布列為：
（ii）乙最終獲勝的概率；
（2）設(shè)事件“甲最終獲勝”，事件“共進(jìn)行了5場(chǎng)比賽”．
則，
，故
18．解析：（1）由題意得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以∴，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知：，顯然直線/的斜率存在，所以設(shè)直線方程為：，
由，
設(shè)，則
由拋物線的定義得：，
所以：，即為定值1．
（3）由
設(shè)直線，聯(lián)立得：
∴，直線，即
同理求得直線，
，則，
∴到的距離，
∴與的面積之積，
當(dāng)時(shí)，與的面積之積的最小值1
19．解析：（1）由直線的點(diǎn)方向式方程為可知，
直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，
由平面的點(diǎn)法式方程為可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，
所以有，
所以，即直線與平面所成角的值．
（2）由平面可知，平面的法向量為，
由平面可知，平面的法向量為，
設(shè)兩平面交線的方向向量為，則，
令，則，可得，
由平面可知，平面的法向量為， 因?yàn)椋?，且，所以?br>（3）因平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可得，設(shè)側(cè)面所在平面的法向量
則，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量為，
設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，
則，令，則，，可得，
由平面可知，平面的法向量為，
因?yàn)椋獾?，即?br>故平面與平面夾角的余值為．1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
C
B
D
A
9
10
11
AC
ABD
BCD
2
3

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