重慶市第十一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.11
注意事項(xiàng)：
1．本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.
1. 直線過兩點(diǎn)，則直線的斜率為（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求斜率即可.
【詳解】由題意可知，斜率，
故選：C.
2. 若平面的法向量為，方向向量為的直線與平面垂直，則實(shí)數(shù)（）
A. 4B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線垂直于平面，則直線的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.
【詳解】由直線l與平面垂直，故直線方向向量與平面的法向量平行，
設(shè)，即，解得.
故選：D.
3. 圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求半徑，再得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后轉(zhuǎn)化為圓的一般方程.
【詳解】由題意知，在圓上，圓心為，
所以圓的半徑，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則一般方程為：，
故選：B.
4. 橢圓和一定具有（）
A. 相同的離心率B. 相同的焦點(diǎn)C. 相同的頂點(diǎn)D. 相同的長軸長
【答案】A
【解析】
【分析】先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率，焦點(diǎn)。頂點(diǎn)，長軸長的定義計(jì)算，即可判斷.
【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則橢圓的離心率為，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，長軸長為，
可化簡為，
所以離心率為，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，長軸長為，
因此兩橢圓的離心率相同.
故選：A.
5. 如圖，三棱錐中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.
【詳解】
連接，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
故選：B.
6. 若圓與圓有公切線，則實(shí)數(shù)的范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)公切線的數(shù)量判斷兩圓位置關(guān)系，結(jié)合圓心距和半徑列出不等式，求解即可.
【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
假設(shè)圓與圓沒有公切線，
此時(shí)兩圓內(nèi)含，所以圓心距，即，解得，
所以當(dāng)圓與圓有公切線時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍是，
故選：B.
7. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若離心率滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合已知條件得，即可根據(jù)求解.
【詳解】由橢圓定義可得，又，
故，
由于，所以，
故且，解得.
故選：D
8. 已知，且，則代數(shù)式的最小值為（）
A. B. 18C. 12D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)Ax1,y1與Bx2,y2，為的中點(diǎn)，可證明點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，由，結(jié)合兩點(diǎn)距離的幾何意義即可求解.
【詳解】
設(shè)Ax1,y1與Bx2,y2為圓上一點(diǎn)，
則，得，
，即為等腰直角三角形，
設(shè)為的中點(diǎn)，則，
得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
故，
所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為，
因此的最小值為.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分．
9. 已知直線，直線，則下列說法正確的是（）
A. 若，則或
B. 若，則
C. 直線過定點(diǎn)
D. 若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則
【答案】BC
【解析】
【分析】時(shí)，兩直線重合，可判斷A，利用兩直線垂直的充要條件判斷B，由求得直線過的定點(diǎn)即可判斷C，求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，結(jié)合三角形的面積公式列出方程即可求解.
【詳解】對于A，時(shí)，，即，，則兩直線重合，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，則，解得，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，解得，與的值無關(guān)，因此可得直線過定點(diǎn)，故C正確；
對于D，對于，令，得，令，得，
若直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則，解得，故D錯(cuò)誤．
故選：BC.
10. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為，則下列說法正確的是（）
A. 四葉草曲線有四條對稱軸
B. 設(shè)為四葉草曲線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過作兩坐標(biāo)軸的垂線，則兩垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積的最大值為
C. 四葉草曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為
D. 四葉草曲線的面積小于
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，將換為方程不變，換為方程不變，換為，換為方程不變，換為，換為方程不變，可知有四條對稱軸；對于B，設(shè)曲線第一象限任意一點(diǎn)為，則圍成矩形面積為，求最大值即可；對于C，設(shè)距離為，，即求的最大值即可；對于D，易得四葉草曲線在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，故四葉草面積小于即可判斷.
【詳解】對于A，將換為方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；
將換為方程不變，所以曲線關(guān)于軸對稱；
將換為，換為方程不變，所以曲線關(guān)于對稱；
將換為，換為方程不變，所以曲線關(guān)于對稱.故A正確；
對于B，設(shè)曲線第一象限任意一點(diǎn)為，則圍成矩形面積為，
則，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故B正確；
對于C，設(shè)距離為，，要求的最大值，即求的最大值，
顯然，，又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最大值為，故C錯(cuò)誤；
對于D，由C可知，得四葉草曲線在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)，
故四葉草面積小于，故D正確.
故選：ABD
11. 已知正方體棱長為1，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）
A. 當(dāng)時(shí)，則三棱錐體積為
B. 當(dāng)時(shí)，直線平面
C. 當(dāng)時(shí)，直線平面
D. 當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，則為的中點(diǎn)，利用錐體的體積公式求三棱錐的體積即可判斷A，先得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出可判斷B，利用向量法判線面平行，即可判斷C，推出點(diǎn)在平面上，并得到平面，且，又，故，求出點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，求出軌跡長度可判斷D.
【詳解】
對于A，當(dāng)時(shí)，，則為的中點(diǎn)，
則三棱錐的體積為，故A正確；
對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又，則，
故與不垂直，故直線與平面不垂直，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)平面的法向量為，
又，
則，解得，令，則，即，
由，且平面，
則直線平面，故C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，
故，即，故點(diǎn)在平面上，
連接，交平面于點(diǎn)，
由，，，
則，，
故⊥，且⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
又，
又，故，
故點(diǎn)M的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
故軌跡長度為，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)角的范圍等問題；
（1）解答方法：一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；
（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知直線：與直線，則這兩直線之間的距離為________．
【答案】
【解析】
【分析】先判斷兩直線平行，再利用公式求距離即可.
【詳解】直線與直線，
其中，所以，
所以兩直線之間的距離為，
故答案為：.
13. 在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，且△是正三角形，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，利用公式計(jì)算即可.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?br>因?yàn)椤魇钦切危裕?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
因此以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長為2，
，，，，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，
設(shè)異面直線與所成角為，
所以，
故答案為：.
14. 已知，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與圓相切，切點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________．
【答案】1或3
【解析】
【分析】設(shè)，，，按照直線斜率是否存在討論，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，由直線與圓相切，可知，聯(lián)立求解即可.
【詳解】設(shè)，，，
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，則，，
則，兩式作差得，
所以，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)為直線與圓的切點(diǎn)，
所以，所以，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不合題意；
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1或3.
故答案為：1或3.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
（1）求邊的垂直平分線的方程；
（2）求三角形的外接圓方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出及的中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線垂直求出，再由點(diǎn)斜式計(jì)算可得；
（2）設(shè)三角形的外接圓方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，即可得到、、的方程組，解得即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，所以，
所以直線的方程為，即；
【小問2詳解】
設(shè)三角形的外接圓方程為，
依題意可得，解得，
所以三角形的外接圓方程為，即.
16. 在直三棱柱中，△為等腰直角三角形，，點(diǎn)在側(cè)棱上，且滿足．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積等于零來證明即可；
（2）求出直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角的向量公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，設(shè)，則，

，
由，
所以；
【小問2詳解】
由題得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17. 已知橢圓的長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得關(guān)于，的方程，求解即可；
（2）聯(lián)立方程，根據(jù)求出范圍，再利用韋達(dá)定理和弦長公式列出關(guān)于的方程，求解即可.
【小問1詳解】
由題意得：，所以，
點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，
所以橢圓的方程為：．
【小問2詳解】
直線的方程為：
聯(lián)立，消去后，得關(guān)于的一元二次方程，
化簡得，
由題意知，解得或，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
所以，化簡得，解得，即，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
18. 如圖1所示的圖形中，四邊形為菱形，，和均為直角三角形，，，現(xiàn)沿和將和進(jìn)行翻折，使（在平面同側(cè)），如圖2（或圖3）

（1）證明：平面；
（2）如圖2，若平面，求點(diǎn)到平面距離；
（3）如圖3，若二面角為時(shí)，判斷平面與平面是否垂直？
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）不垂直
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面，再利用性質(zhì)定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；
（3）根據(jù)題意證明二面角的平面角為，再求出平面和平面的法向量，轉(zhuǎn)化為判斷法向量的數(shù)量積是否等于零，即可解決.
【小問1詳解】
由題，平面平面，所以平面，
四邊形為菱形，所以，又平面平面，
所以平面，、平面，
所以平面平面，又平面，所以平面.
【小問2詳解】
由題：平面，四邊形為菱形，，
取中點(diǎn)，連接，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以、、所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
故，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，
可取法向量為，
所以點(diǎn)到平面距離.
【小問3詳解】
由四邊形為菱形，，和均為直角三角形，
，所以，
取中點(diǎn)，連接，可得，
所以二面角的平面角為，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、所在直線分別為軸，軸，垂直于底面的軸建立空間直角坐標(biāo)，
則，
故，

設(shè)平面的法向量，
則，可取法向量，
設(shè)平面的法向量，
則，可取法向量，
因?yàn)椋圆淮怪保?br>所以平面與平面不垂直.
19. 已如橢圓的焦點(diǎn)在軸，離心率，點(diǎn)在直線上．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，若是橢圓上一點(diǎn)，且滿足，設(shè)直線和直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，證明：；
（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過作直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)和，在線段上取點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）滿是，證明：點(diǎn)在定直線上．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓的關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)的值.
（2）由（1）可設(shè)點(diǎn)，根據(jù)得出，再由點(diǎn)Q在橢圓上得出，用斜率公式即可求出的值；
（3）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線用坐標(biāo)表示，解方程組即可得到點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)所滿足的線性關(guān)系.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓E的半焦距為c，
由題意可得，解得，
故實(shí)數(shù)的值為.
小問2詳解】
設(shè)
已知，所以
由在橢圓上有：
所以.
【小問3詳解】
設(shè)，
由題意知，
令，則有，
所以，，
則有，即，
①③得：⑤
②④得：⑥，
⑤⑥：
又在橢圓上，
則有，，
所以的軌跡方程為：，
即點(diǎn)定直線上．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問定值問題首先根據(jù)題意將等量關(guān)系進(jìn)行表示后再化簡，必要時(shí)借助于直曲聯(lián)立，通過韋達(dá)定理減少計(jì)算量.第三問，動(dòng)點(diǎn)過定直線通常設(shè)出動(dòng)點(diǎn)后找到動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)所滿足的線性關(guān)系，一般計(jì)算量較大.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多