1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4．柱、錐、臺、球的表面積和體積
常用結(jié)論
1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理)．
2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形，S原圖形＝2eq \r(2)S直觀圖．
一、單選題
1．（2024高三下·安徽·階段練習）已知幾何體，“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024高三·全國·對口高考）設(shè)有三個命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
3．（2024高二上·安徽合肥·階段練習）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A． 是棱臺B． 是圓臺
C． 不是棱柱D． 是棱錐
4．（2024·西藏拉薩·一模）位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．2B．1.71C．1.37D．1
5．（2024高三下·湖南長沙·階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肅張掖·模擬預測）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺部分的側(cè)面積約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A．B．C．D．
7．（2024·廣東梅州·三模）在馬致遠的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（ ）

A．B．C．D．
8．（2024高三上·廣東河源·開學考試）最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（ ）

A．B．C．D．
9．（2024高一下·陜西寶雞·期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A．B．C．D．
10．（2024高二下·安徽·階段練習）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.請根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·全國）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全國）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（ ）
A．B．C．D．
13．（2024高一·全國·課后作業(yè)）若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為（ ）
A．B．C．D．
14．（2004·重慶）如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（ ）
A．258B．234C．222D．210
15．（2024高一下·貴州黔西·期末）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習俗.地區(qū)不同，制作的粽子形狀也不同，黔西南州最出名的就是鮮肉的灰色粽子，其形狀接近于正三棱錐（如圖）.若正三棱錐的底面邊長為2，高為1，則該三棱錐的側(cè)面積為（ ）

A．B．C．D．
16．（2024·河南·模擬預測）在正四棱錐中，，若正四棱錐的體積是8，則該四棱錐的側(cè)面積是（ ）
A．B．C．4D．
17．（2024高三上·遼寧·期末）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（ ）
A．B．
C．D．
18．（2024高三上·廣東·階段練習）“李白斗酒詩百篇，長安市上酒家眠”，本詩句中的“斗”的本義是指盛酒的器具，后又作為計量糧食的工具，某數(shù)學興趣小組利用相關(guān)材料制作了一個如圖所示的正四棱臺來模擬“斗”，用它研究“斗”的相關(guān)幾何性質(zhì)，已知該四棱臺的上、下底的邊長分別是2、4，高為1，則該四棱臺的表面積為（ ）
A．B．32C．D．
19．（2024高三上·湖北·開學考試）已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長4，高為3，則其表面積為（ ）
A．36B．
C．D．48
20．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·廣東湛江·二模）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·福建）以邊長為的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于
A．B．C．D．
23．（2024高三上·全國·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
24．（2024·四川成都·二模）若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為，則該圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．
25．（2024高三上·河南·階段練習）佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美英．佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，側(cè)面積為，則該建筑的高為（ ）

A．B．C．D．
26．（2024高三上·河南·開學考試）圓臺軸截面面積為，上下底面半徑之比為，母線與底面所成角為，則圓臺側(cè)面積為（ ）
A．B．
C．D．
27．（2024高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為2和5，且母線與下底面所成為角的正切值為，則該圓臺的表面積為（ ）
A．B．C．D．
28．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu)．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度（單位：dm）分別為2，6，4，正三棱柱各棱長均相等，則該結(jié)構(gòu)表面積為（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成角，則此三棱柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
30．（2008·四川）若三棱柱的一個側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個側(cè)面都是有一個內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于
A．B．C．D．
31．（2024高三上·河南焦作·開學考試）把過棱錐的頂點且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個正三棱錐、一個正四棱錐、一個正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（ ）
A．B．
C．D．
32．（2024·廣東深圳·二模）設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·河南鄭州·模擬預測）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.意思是一個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列等式錯誤的是（ ）

A．B．
C．D．
34．（2024高三下·浙江杭州·階段練習）已知矩形中，，，是的中點，沿直線將△翻折成△，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·全國）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（ ）
A．B．C．D．
36．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）在《九章算術(shù)商功》中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭．在方亭中，，四個側(cè)面均為全等的等腰梯形且面積之和為，則該方亭的體積為（ ）
A．B．C．D．
37．（2024高三上·山西運城·期中）已知一個正四棱臺的上下底面邊長為、，側(cè)棱長為，則棱臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
38．（2024·河南·模擬預測）光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，在《中國名樓》站臺票紀念冊中，光岳樓與鸛雀樓、黃鶴樓、岳陽樓、太白樓、滕王閣、蓬萊閣、鎮(zhèn)海樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國十大名樓.其墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，光岳樓的墩臺上底面正方形的邊長約為32m，下底面正方形的邊長約為34.5m，高的4倍比上底面的邊長長4m，則光岳樓墩臺的體積約為（ ）

A．B．C．D．
39．（四川省仁壽第一中學校（北校區(qū)）2023-2024學年高三上學期9月月考文科數(shù)學試題）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
40．（2024高三上·江蘇蘇州·開學考試）若某圓柱體的底面半徑與某球體的半徑相等，圓柱體與球體的體積之比和它們的表面積之比的比值相等，則該圓柱體的高與球體的半徑的比值為（ ）
A．B．C．D．2
41．（2024·河南·模擬預測）圓錐的高為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（ ）.
A．B．C．D．
42．（2024高三上·福建廈門·階段練習）已知母線長為5的圓錐的側(cè)面積為，則這個圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
43．（2024高三下·河南開封·階段練習）木桶作為一種容器，在我國使用的歷史已經(jīng)達到了幾千年，其形狀可視為一個圓臺．若某圓臺形木桶上、下底面的半徑分別為，母線長為，木板厚度忽略不計，則該木桶的容積為（ ）
A．B．C．D．
44．（2024高三上·福建廈門·階段練習）用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺與圓錐的體積之比為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
45．（2024·全國）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
46．（2024·福建·模擬預測）等腰梯形的上下底邊之比為，若繞該梯形的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為，則該梯形的周長可能為（ ）
A．B．8C．D．16
47．（2024·河南·模擬預測）如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，為棱的中點，分別在棱上，且滿足取得最小值．記四棱錐、三棱錐的體積分別為，則（ ）

A．B．C．D．
48．（2024高三上·湖南·階段練習）若某正方體的棱長為，則（ ）
A．該正方體的體積為5B．該正方體的內(nèi)切球的體積為
C．該正方體的表面積為30D．該正方體的外接球的表面積為
三、填空題
49．（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為 ．

50．（2024高三·全國·對口高考）若正用斜二測畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當?shù)拿娣e為時，的面積為 ．
51．（2024高三下·上海寶山·開學考試）我們知道一條線段在“斜二測”畫法中它的長度可能會發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標系平面上一條長為4cm線段AB按“斜二測”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長度為 cm（結(jié)果用精確值表示）
52．（2024高三·全國·階段練習）如圖，梯形ABCD是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為 ．
53．（2024高三上·上海普陀·期中）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個半球，則完全展開后傘口的直徑約為 米（精確到整數(shù)）
54．（2024高一下·四川成都·階段練習）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為 ．
55．（2024·安徽·模擬預測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為 ．
56．（2024·安徽馬鞍山·模擬預測）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點共線，B，C，E三點共線，，，則PB＝ ．
57．（2024高三上·山西大同·階段練習）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為 ．

58．（2024高三·河北·專題練習）如圖，正方體的棱長為，點為的中點，在對角面上取一點，使最小，其最小值為
59．（2024高三上·四川成都·開學考試）如圖一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積為 .
60．（2024高二上·上海黃浦·階段練習）若長方體的對角線的長為，其長、寬、高的和是，則長方體的全面積是 ．
61．（2024·全國·模擬預測）正四棱錐P-ABCD的各條棱長均為2，則該四棱錐的表面積為 ．
62．（2024高三·全國·專題練習）一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3 cm和6 cm，高是cm．則三棱臺的斜高為 ；三棱臺的側(cè)面積為 ；表面積為 ．
63．（2024高三·全國·專題練習）若矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，求圓柱側(cè)面積的最大值為 ．
64．（2024高二上·北京海淀·期中）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側(cè)面積是 ．
65．（2024高三上·全國·專題練習）某地球儀上北緯緯線的長度為，該地球儀的半徑是 cm，
表面積是 cm2．
66．（2024·全國）已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長等于球的半徑，，且圓與圓所在的平面所成的一個二面角為則球的表面積等于 .
67．（2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（全國卷Ⅱ））設(shè)OA是球O的半徑,M是OA的中點,過M且與OA成角的平面截球O的表面得到圓C．若圓C的面積等于,則球O的表面積等于
68．（2024·全國）用平面截半徑為的球，如果球心到截面的距離為，那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為 ．
69．（2024高三上·廣東廣州·階段練習）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖l是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂點，B，C分別是圓柱的上?下底面圓的圓心，且，，底面圓的半徑為1，則該陀螺的表面積是 .

70．（2024高三·全國·專題練習）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)．如果四邊形ABCD是邊長為30 cm的正方形，那么這個八面體的表面積是 .

71．（2024高三上·天津北辰·階段練習）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上、下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為 ．
72．（2024高三上·云南昆明·階段練習）已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓?則該圓錐的體積為 .
73．（2024·浙江嘉興·模擬預測）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則此圓錐的體積是 ．
74．（2024高三上·廣東廣州·階段練習）已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為1，則圓臺的體積為 .
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點但不一定相等
延長線交于一點
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體
S表＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體
S表＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體
S表＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
（一）
1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
(2)在斜二測畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．
(3)在解決空間折線(段)最短問題時一般考慮其展開圖，采用化曲為直的策略，將空間問題平面化．
2.多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
3.最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．
題型1：基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征
1-1．（2024·新疆·模擬預測）下列命題中正確的是（ ）
A．有兩個平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.
B．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐.
C．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體.
D．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線.
1-2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列命題：
①有兩個面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；
②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；
③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；
④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
1-3．（2024高一下·山西呂梁·期末）下列說法正確的是（ ）
A．三角形的直觀圖是三角形B．直四棱柱是長方體
C．平行六面體不是棱柱 D．兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺
1-4．（2024高三·全國·專題練習）給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
題型2：直觀圖
2-1．（2024高一下·浙江寧波·期中）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為 .
2-2．（2024高一下·上海奉賢·期末）如圖，是用斜二測畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長度為 ．
2-3．（2024高一上·山東濟寧·階段練習）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為
2-4．（2024高二上·寧夏石嘴山·階段練習）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖形的面積是 ．
題型3：展開圖
3-1．（2024·山東青島·三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為 ．
3-2．（2024高二下·云南紅河·階段練習）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則 ．
3-3．（2024·安徽黃山·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為 .
題型4：最短路徑問題
4-1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（ ）.

A．B．C．D．
4-2．（2024高一下·河南開封·期中）如圖，已知正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點的最短路程為（ ）

A．B．C．D．6
4-3．（2024·遼寧·三模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長為的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（ ）
A．B．C．D．
4-4．（2024高一下·湖北武漢·期中）如圖，一個矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正三棱柱中，，，由頂點沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱)到達頂點，與的交點記為，則從點經(jīng)點到的最短路線長為（ ）
A．B．C．4D．
（二）
基本立體圖形的表面積的體積
1.（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
2.空間幾何體的體積的常用方法
公式法
規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補法
把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體
等體積法
通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
題型5：基本立體圖形的表面積
5-1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（ ）
A．8B．C．D．
5-2．（2024·河南鄭州·模擬預測）在一個正六棱柱中挖去一個圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（ ）．

A．B．
C．D．
5-3．（2024·安徽安慶·三模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（ ）

A．B．
C．D．
5-4．（2024·河北·模擬預測）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（ ）（，，）
A．B．C．D．
5-5．（2024高三下·海南?？凇て谥校┤鐖D是一個圓臺形的水杯，圓臺的母線長為12，上?下底面的半徑分別為4和2.為了防燙和防滑，該水杯配有一個皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計，則此杯套使用的皮革的面積為（ ）

A．B．C．D．
題型6：基本立體圖形的體積
6-1．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（ ）
A．B．C．D．
6-2．（2024高三上·山東青島·期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（ ）
A．18B．C．D．27
6-3．（2024高三上·湖北武漢·開學考試）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為米，側(cè)棱長為5米，則其體積為（ ）立方米.

A．B．24C．D．72
6-4．（2024·浙江·模擬預測）如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為20cm和10cm，側(cè)棱長為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（ ）

A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L
6-5．（2024高三上·廣西·階段練習）在棱長為2的正方體內(nèi)，放入一個以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為 ．

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