專題36 向量法求空間角6題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．異面直線所成的角
若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直線與平面所成的角
如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面與平面的夾角
如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
一、單選題
1．（2024高三上·安徽滁州·期末）如圖，在正方體中，分別為棱，，的中點(diǎn)，則與MN所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體邊長為2，從而利用向量夾角余弦公式求出答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體邊長為2，則，
故，
則與MN所成角的余弦值為.

故選：A
2．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與的所成角為45°時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（）
A．圓B．直線C．拋物線D．橢圓
【答案】C
【分析】建系，利用空間向量結(jié)合線線夾角分析運(yùn)算.
【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為1，則，設(shè)，
可得，，
因?yàn)橹本€與的所成角為，
則，化簡(jiǎn)可得，
所以點(diǎn)Q的軌跡為拋物線.
故選：C.

3．（2024高二下·江蘇·階段練習(xí)）在長方體中，為空間內(nèi)一點(diǎn)，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，異面直線與所成角為，則當(dāng)線段的長度取最小值時(shí)，的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的運(yùn)算確定的位置，再根據(jù)異面直線與所成角為可確定點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，即可求出長度的最小值為，進(jìn)而求出的值.
【詳解】由，得，即，
所以點(diǎn)在直線上.又異面直線與所成的角為，為底面內(nèi)一點(diǎn)，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，因此要使長度最小，則、、共線，且.因?yàn)?，，所以，，此時(shí)，又因?yàn)榕c反向，所以.
故選：B.
4．（2024高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面是邊長為3的正方形，，且，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】由于，
所以，由于平面，
所以平面，而四邊形是正方形，所以，
由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)異面直線與所成角為，
則.
故選：C

5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）柏拉圖多面體是因柏拉圖及其追陮者對(duì)正多面體的研究而得名.如圖是棱長均為的柏拉圖多面體，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：取的中點(diǎn)，連接，，求得，，則可求得，進(jìn)一步求得,按向量夾角公式求解即可；法二;接，，交于點(diǎn)，連接.分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,用向量夾角公式坐標(biāo)運(yùn)算求解即可
【詳解】方法一由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，
四邊形，均是邊長為的正方形，
柏拉圖多面體的側(cè)面均為等邊三角形.如圖（1），
取的中點(diǎn)，連接，，
則.
同理可得.
所以
取的中點(diǎn)，連接，，則，且
又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，
所以且，
則四邊形為平行四邊形，所以.
同理可得.
設(shè)，的夾角為，則，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選:
方法二連接，，交于點(diǎn)，連接.
易知平面.
因?yàn)?，，所?br>如圖（2），
以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
，，
因?yàn)辄c(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，
所以，，，，
則，,
設(shè)，的夾角為，則
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不易將兩條異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線時(shí)，則可利用向量法來求兩異面直線所成的角.第一種方法是利用已知向量表示所求向量，第二種方法是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，兩種方法最終都轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角的余弦值.
二、多選題
6．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）正方體中，P是體對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A．異面直線與所成的角的最小值為
B．異面直線與所成的角的最大值為
C．對(duì)于任意的P，存在點(diǎn)M使得
D．對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，
設(shè)正方體的邊長為1，則，
設(shè)，，則，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，
A.當(dāng)時(shí)，，，故A正確；
B.當(dāng)時(shí)，，，故B正確；
C.設(shè)，，則，
，
當(dāng)時(shí)，無解，故C錯(cuò)誤；
D.，令，得，
即對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得，故D正確.
故選：ABD.

7．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）
A．與所成角的余弦值為
B．過三點(diǎn)A、M、的截面面積為
C．四面體的內(nèi)切球的表面積為
D．E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．
【答案】AD
【分析】
對(duì)于A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解；對(duì)于B，作出過三點(diǎn)A、M、的截面，即可求其面積；對(duì)于C，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求解；對(duì)于D，利用幾何作圖，作出過E、M、F三點(diǎn)的截面，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，則,
則，
與所成角的范圍為，故與所成角的余弦值為，A正確；
對(duì)于B，設(shè)N為的中點(diǎn)，連接MN，則，且，
則梯形即為過三點(diǎn)A、M、的截面，
，則梯形高為，
故梯形面積為為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，四面體的體積等于正方體體積減去四個(gè)角上的直三棱錐的體積，
即，
該四面體的棱長為，其表面積為，
設(shè)四面體內(nèi)球球半徑為r，則，
故四面體的內(nèi)切球的表面積為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖，延長ME和的延長線交于J，則≌，
則，設(shè)H為的中點(diǎn)，則，
連接HJ，則≌，則，
故G為的中點(diǎn)，故，
同理延長交于L，連接LH，交于K，
K即為的中點(diǎn)，則K，E在確定的平面內(nèi)，
則六邊形即過E、M、F三點(diǎn)的截面，是六邊形，D正確，
故選：AD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何中的線線角、截面、以及內(nèi)切球問題，難度較大，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間向量以及等體積法和幾何作圖解決問題.
三、填空題
8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為
【答案】
【分析】以為基底，運(yùn)用空間向量求解.
【詳解】設(shè) ，則，
；
故答案為： .
9．（2024·河南開封·二模）已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為，長度的最小值為．
【答案】雙曲線
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平面內(nèi)過且與垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由已知，，，，，
∵點(diǎn)在平面內(nèi)，∴設(shè)，則，，
∵直線與直線所成的角為，
∴，
兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，
∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線.
，
∵點(diǎn)軌跡方程為，∴，且，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：雙曲線，
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題第二個(gè)空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長度最小，使用空間向量運(yùn)算，可以有效避免這種直覺上的錯(cuò)誤.
10．（2024高三上·河北唐山·期末）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】連接交于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可求得的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出的最小值，即可求得的最大值.
【詳解】連接交于點(diǎn)，平面，平面，則，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，
，、平面，平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、，
易知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槠矫?，所以，?br>設(shè)點(diǎn)，其中，則，
由已知可得，
因?yàn)?，解得，即點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)?，則，可得，且，可得，
所以，點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，、平面，，?br>且，
所以，.
故答案為：.
11．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長為1，是棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】方法1：通過作平行線找出異面直線AB與EG所成角，設(shè)，在直角三角形中用x表示出，將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域即可.
方法2：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法求得異面直線AB與EG所成角的余弦值的范圍，進(jìn)而求得其正弦值的范圍即可.
【詳解】方法1：取的中點(diǎn)N，連接，如圖所示，

則，面，
所以異面直線AB與EG所成角即為，，
設(shè)，（），
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，即： .
方法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，
所以，（），
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
12．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是 .
【答案】
【分析】連接，即為異面直線與AD所成的角，解三角形即可．
【詳解】，即為異面直線與AD所成的角，

連接，在中，
正四棱柱的底面邊長為1，高為3，
，
，，
∴，，
.
故異面直線與AD所成角的余弦值是．
故答案為：．
13．（2024高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，則線段的長為
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出的最大值，從而確定Q點(diǎn)在上的位置，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)槠矫婺?，所以兩兩垂?
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
因?yàn)?設(shè)，
又，則，
又，從 ,
設(shè) ，
則,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為,
即直線與所成角的余弦值的最大值為，
而直線與所成角的范圍為，
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，故此時(shí)直線與所成角最小，
又因?yàn)椋裕?br>故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得的夾角的余弦的最大值，即可確定Q點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問題時(shí)，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用向量解決問題，可以簡(jiǎn)化題目的難度.
四、解答題
14．（2024高三上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，得到點(diǎn)到平面的距離即為的長，由勾股定理求出答案；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面及平面所成的角相等列出方程，求出的值.
【詳解】（1）
如圖，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.
因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平面?br>又平面平面平面，所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離即為的長，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，?br>所以，故，，
因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫?br>又，由勾股定理得，
即點(diǎn)到平面的距離為.

（2）
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線分別為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，
由，得.
.
設(shè)平面的法向量為，
由，
由，解得，
令，得，故，
又易知平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，與平面所成角為，
則，∴ ，
整理得，由，得.
15．（2024·河南開封·三模）如圖，在圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點(diǎn)，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行和面面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）連接，
在中，分別為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>在矩形中，，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>（2）過點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接
由題可知平面，且，所以平面
則，又，平面，
所以平面，
∴在平面內(nèi)射影為，
則即為與平面所成的角，所以
在中，由可知
則，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，
過點(diǎn)垂直于平面為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，

設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，，所以，
所以，
因?yàn)槎娼菫殇J二面角，
所以二面角的余弦值為.
16．（2024高三上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC；
(2)已知，，又二面角的大小為45°，求PD的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)12
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接.先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）先證明為正三角形，再以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用向量法求得，從而可解.
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接.

在中，分別為的中點(diǎn)，所以.
在菱形中，因?yàn)椋?br>所以.
所以四邊形為平行四邊形，所以.
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以.
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
連接，，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
在菱形中，，即為正三角形.
因?yàn)?，所?
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，
則，
因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量?
設(shè)平面的法向量為，
則，所以，
取，則，所以，
由題意，二面角的大小為，
所以，解得（舍負(fù)）.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以的長為12.
17．（2024高三上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為棱中點(diǎn)，且平面．

(1)求證：；
(2)若，二面角的大小為，求三棱錐的內(nèi)切球半徑．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由線面垂直判斷定理證明線面垂直，再由線面垂直得出線線垂直即可；
（2）由空間向量法計(jì)算二面角求得,再根據(jù)公式計(jì)算求得內(nèi)切球半徑.
【詳解】（1）中，為中點(diǎn)，∴，
又∴平面平面平面，平面，
所以平面，又平面.
（2）在Rt中，，∴，設(shè)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則
設(shè)為平面的法向量，則有
，令，得，
取為平面的法向量，，解得
∴，該三棱錐的表面積記為，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>則
，
由得
綜上：.
18．（2024·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系以及棱長，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)定理可證明線線垂直，再利用面面垂直的判定定理即可證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)利用空間向量可求出表示出二面角的表達(dá)式，解方程即可求得線段的長．
【詳解】（1）易知，，，平面，
平面，
又平面，所以
由直角梯形，，，，
可得，又，得；
又，平面，所以平面
又平面，可得平面平面
（2）取的中點(diǎn)，連接，，

，，
又平面平面，平面平面，平面，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，又，
故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)
系，則，，，，，
設(shè)，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
所以，令，得，，
即
平面的一個(gè)法向量為
可得，解得或(舍)
即為的中點(diǎn)，易知，
故線段的長為.
19．（2024高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）在長方體中，，.點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；
(2)若二面角的余弦值為，求線段的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，即可證明，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，
所以且，且，
所以且，
∴四邊形為平行四邊形，可知，
平面，平面，
∴平面.
（2）設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，由及，
即，則，
設(shè)平面的法向量為，
由及，即，則，
設(shè)二面角為，所以，
即，解得或（舍去），
所以.
20．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且．

(1)證明：底面；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，證明且，可得底面ABCD．
（2）證明側(cè)面PBC，則為二面角的平面角，得，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量求二面角的余弦值．
【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，
面，所以，
同理，側(cè)面底面，且側(cè)面底面，
底面是矩形，，底面，所以面，
面，所以，
底面，，所以底面ABCD．
（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且，所以．
因?yàn)閭?cè)面，且，則側(cè)面，側(cè)面，所以，
側(cè)面，，所以側(cè)面，
側(cè)面，，
所以為二面角的平面角，
當(dāng)時(shí)，中，由，得，
因?yàn)锳D，AB，AP三線兩兩垂直，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，，，，，
設(shè)平面FAE的法向量為，則，即，
令，得，，則；
設(shè)平面PAE的法向量為，由，即，
令，得，，所以，
設(shè)二面角為，則．
21．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）易證得四邊形為平行四邊形，由此可得，結(jié)合，由線面垂直的判定可得結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用體積橋可求得結(jié)果.
【詳解】（1）在三棱臺(tái)中，為中點(diǎn)，則，
又，，
，四邊形為平行四邊形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
（2），，，
又，，平面，平面，
連接，，，為中點(diǎn)，；
以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，則，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，解得：，，；
又平面的一個(gè)法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
22．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，四邊形是梯形，，平面與平面互相垂直，．

(1)求證：．
(2)若二面角為，求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理先證，再證線面垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，由二面角計(jì)算BC長，將多面體分割為四棱錐和三棱錐，分別計(jì)算其體積即可.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面,所以；
（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦危裕Y(jié)合平面，可知兩兩垂直．故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

易知平面的一個(gè)法向量為，
假設(shè)，則，，
設(shè)平面的法向量為，所以，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槎娼菫?，所以?br>解得．
易證，所以．
因?yàn)?，平面平面，平面平面?br>所以平面，所以是三棱錐的高．
，
因?yàn)槠矫妫允撬睦忮F的高．
，
所以多面體的體積.
23．（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）過作于，連接，根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可得底面，設(shè)，求出，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解；
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，過作于，連接，
因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面面，
所以底面，
設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，
在菱形中，，則為等邊三角形，
則，
所以四棱錐的體積，
解得；
（2）取的中點(diǎn)，連接，則，
以的方向?yàn)檩S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，
，令，得，
則，
故平面與平面所成二面角的正弦值為.

24．（2024·河北張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；
（2）利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法進(jìn)行求解.
【詳解】（1）如圖，連接，交于，連接.
因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為的中點(diǎn).又，故.
又，且，所以，所以.又，所以，所以.
因?yàn)槠矫?，，所以平?
又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
故，，.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，即，令，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以也是平面的一個(gè)法向量.
所以.
所以平面與平面夾角的余弦值.

25．（2024高三上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；
(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可證平面PBD，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，根據(jù)垂直關(guān)系求點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則
又因?yàn)锳BCD為菱形，則，
且，平面PBD，
所以平面PBD，則平面，
故平面平面PBD.
（2）由題意可知：，平面ABCD，
故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
設(shè)，則，
可得，解得，即，
可得，
因?yàn)椋瑒t，解得，所以，
由題意可知：平面PAC的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，可得，
則，
令，則，可得
則，
所以平面PAC與平面ACE所成角的余弦值為.
26．（2024高三上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，平面ABCD，，‖，‖，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)．

(1)求證：‖平面CPM；
(2)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求線段QN的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】
（1）連接EM，則根據(jù)題意可證得四邊形EMCF為平行四邊形，則‖，然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，
（2）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求即可.
【詳解】（1）證明：連接EM，因?yàn)椤?，‖，?br>所以‖，，所以四邊形ABQP為平行四邊形，
又點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn)，
則‖，，，
所以‖，且，
所以四邊形EMCF為平行四邊形，所以‖，
又平面CPM，平面CPM，
所以‖平面CPM；
（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，
因?yàn)?，所以兩兩垂直?br>所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，，
，，，，
設(shè)平面QPM的一個(gè)法向量為，則，
令，則；
設(shè)，則，
所以，，
由題意直線DN與平面QPM所成的角為，
則，解得或（舍），
所以，即線段QN的長為．

27．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；
(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時(shí)，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由正六邊形的性質(zhì)可得，即可證；
（2），由此可得，再求平面與平面的法向量，代入公式即可得．
【詳解】（1）證明：連接，，，六邊形為正六邊形，則，

在翻折過程中，，平面，平面，
所以平面．
（2）連接，分別交于，，則，，
翻折過程中，平面，平面，，
，，所以平面，同理平面，
所以平面平面．又因?yàn)椋?br>則三棱柱為直三棱柱，，，
且，，．
設(shè)，所以，
．
所以，即，，，為二面角的平面角，
即平面平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則,,，，，,2,，,3,，,2,，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，
令得，同理可得平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，觀察圖可知其為銳角，則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
28．（2024·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)點(diǎn)在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，可得，再由線面垂直的判定定理得平面，從而得到，再由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，求出平面的一個(gè)法向量，由線面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面為菱形，，，
所以為邊長為的等邊三角形，
作交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面?br>平面，可得，
又，，平面，可得平面，
因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，
，平面，所以平面；
（2）由（1）知，平面，，取做的中點(diǎn)，連接，
則，所以平面，
以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，
設(shè)，可得，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，可得，
可得，
解得舍去，或，所以.
29．（2024·廣東廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質(zhì)知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，結(jié)合垂直關(guān)系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】（1）連接，
分別是線段的中點(diǎn)，，
底面四邊形為正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，解得：，，；
設(shè)直線與平面所成角為，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距離為，
.

30．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在四棱錐S﹣ABCD中，已知底面ABCD為菱形，若.

(1)求證：SE⊥平面ABCD；
(2)若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求μ的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）利用菱形的性質(zhì)及線線垂直證線面垂直即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面夾角計(jì)算即可.
【詳解】（1）由底面ABCD為菱形，得，
又平面，∴平面，
∵平面，∴，
又平面，∴平面，
∵平面，∴，
又平面，
∴平面；
（2）由（1）結(jié)論，可以以點(diǎn)E坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取，則，
由，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則由，
取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
直線的方向向量為，
記直線與平面所成角為θ，
則，
解得或μ＝3(舍)，∴.

31．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”證明線線垂直，結(jié)合勾股定理證明直線垂直，從而由線面垂直判定定理得平面，利用線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)三角形的面積最小，得到是的中點(diǎn)，建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：連接

，，是的中點(diǎn)
，是的中點(diǎn)
，
，
平面
平面，平面，，
在三棱柱中，，
，，
，
平面，
平面，．
（2）連接，由（1）可知，
平面，平面
平面，
，要使的面積最小，則最小，
又，△是等腰直角三角形
即時(shí)，最小，是的中點(diǎn)，
如圖，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，,0,，
設(shè),,，則，即，得，，，
即,,，
，則，
，,,，
設(shè)平面的法向量為,,，
由，得，即，令，則，，即，
設(shè)直線與平面所成角為，
則,，
即直線與平面所成角的正弦值為．
32．（2024高二上·河北張家口·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，，．
(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)在線段上，直線與直線所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可證得平面，則，利用勾股定理可證得，結(jié)合，由線面垂直的判定可得結(jié)論；
（2）作，垂足為，作，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)線線角的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）四邊形為正方形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，；
，，又，平面，
平面.
（2）作，垂足為，作，交于，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
由（1）知：，，，，
，，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，，
設(shè)，則，，
，解得：，
，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，
即平面與平面夾角的余弦值為.
33．（2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在直線上，求直線與平面所成角的最大值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3).
【分析】（1）由線面平行的判定定理證明；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求兩平面夾角的余弦值；
（3）設(shè)，則，由向量法求出線面角的正弦值，由不等式的性質(zhì)得最大值．
【詳解】（1）因?yàn)楹途鶠榈妊苯侨切?，且?br>所以，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，所以，?br>設(shè)平面的法向量為，
則，得，令，則，
設(shè)平面的法向量，
由，
令，得，
因?yàn)椋?br>所以平面與平面夾角的余弦值是.
（3）設(shè)，則，
設(shè)與平面所成的角為，則
要使最大，則，
所以時(shí)等號(hào)成立，
所以，所以與平面所成角的最大值為.
34．（2024高三上·廣東河源·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)中位線得出線線平行關(guān)系，然后根據(jù)線面平行的判定說明；
（2）先證明兩兩垂直，以此來建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求二面角.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以//平面.
（2）因?yàn)槭钦切危瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，又因?yàn)椋?br>所以平面，平面，所以，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，即直線兩兩垂直，
以為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗倪呅问敲娣e為的矩形，，所以，
由已知得，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
∴，∴，令，得，.
∴，設(shè)與平面所成的角為，
則.
所以與平面所成角的正弦值為.
35．（2024高三上·湖南長沙·假期作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，得到，進(jìn)而證得平面，利用你線面垂直的性質(zhì)，即可證得；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，且，?br>在直角與直角中，可得，
所以，所以，
所以，所以.
因?yàn)榈酌妫酌?，所以?br>又，，且平面，所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所?
（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.

36．（2024高三·全國·對(duì)口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
(3)線段上是否存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求的長；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，點(diǎn)位于點(diǎn)處或位于的中點(diǎn)處，或.
【分析】（1）根據(jù)俯視圖計(jì)算可得，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證結(jié)論正確；
（2）根據(jù)俯視圖和側(cè)視圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算可證平面；
（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)N符合題意，設(shè)，利用空間直線與直線的夾角公式運(yùn)算可求出結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)俯視圖可知，，，，
所以，，
因?yàn)榈酌?，底面，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面.
（2）因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪?，根?jù)俯視圖可知，，
在直角三角形中，由，，，得，所以，
在直角三角形中，，，，所以，，
根據(jù)側(cè)視圖可知，，，
因?yàn)榈酌?，底面，所以，?br>以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，，，
因?yàn)?，所以?br>又平面，所以平面.

（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)N，使與所成角的余弦值為，
設(shè)，則，
則，
依題意可得，解得或，
所以點(diǎn)位于點(diǎn)處或位于的中點(diǎn)處，
所以或.
37．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；
(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知的面面垂直證明線面垂直和線線垂直，再通過線面垂直證明面面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線所成的角，求得棱錐的高，可解棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，
因?yàn)槠矫嫫矫鍼AB，平面平面，平面，
所以平面PAB，平面PAB，所以，
因?yàn)?，又平面PAD，，所以平面PAD，
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
設(shè)，
則，因?yàn)椋裕?br>所以，，
因?yàn)楫惷嬷本€BE與PA所成角為，所以，
化簡(jiǎn)得，解得（舍），所以；
所以，平面ABCD，
四棱錐，底面是邊長為2的正方形，棱錐的高為2，
所以四棱錐的體積為.
38．（2024高三上·云南昆明·期中）圖1是由正方形和正三角形組成的一個(gè)平面圖形，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，為的中點(diǎn)，如圖2．

(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連交于點(diǎn)，連,易得，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）取中點(diǎn)，先證明平面，再以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取平面的一個(gè)法向量，求得平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，由求解.
【詳解】（1）證明：連交于點(diǎn)，連．

由為正方形知為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故，
又平面且平面，
所以平面．
（2）取中點(diǎn)，連，由為等邊三角形得．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，
平面就是坐標(biāo)平面，故可取其法向量，
設(shè)平面一個(gè)法向量為，
即，則，
令，則，得，
記平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
39．（2024高三上·遼寧·期中）直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，，分別為的中點(diǎn)且在平面上的射影是的重心.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，證得，且，得到四邊形為平行四邊形，得出，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；
（2）因?yàn)?，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在平面上的射影是的重心，列出方程求得，再求得平面和平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，分別連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，
又因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?
（2）解：因?yàn)椋詾樵c(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，且，則，
因?yàn)闉榈闹匦模?，可得，?br>又因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的射影是的重心，
則，解得，
所以，可得，
又由向量，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
因?yàn)槠矫妫?，所以平面的一個(gè)法向量，
可得，所以二面角的平面角的余弦值．
.
40．（2024·全國）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；
（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．
【詳解】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，
因?yàn)椋?，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因?yàn)椋?，即有?br>，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．
41．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．

(1)證明：平面FND；
(2)若P為FC的中點(diǎn)，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)勾股定理的逆定理得到，再根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，并且利用勾股定理的逆定理得到，最后利用線面垂直的判定定理證得平面FND；
（2）先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，再寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，最后利用向量的夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得結(jié)果．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD中，，，，，
M為AD的中點(diǎn)，且，
∴四邊形ABNM為正方形，且邊長為1，
∴題圖2中，四邊形EMNF是邊長為1的正方形，故，
又，，∴，∴，
又，，平面MDCN，平面MDCN，
∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，
易知，∴，∴，
又，平面，平面，
∴平面；
（2）解法一：由（1）知平面MDCN，又，
以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，
∴，，，
設(shè)平面FND的法向量為，則，
令，令，則，∴，
設(shè)平面PND的法向量為，則，
令，則，，∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值為．
解法二：如圖，取NC的中點(diǎn)O，連接PO，則，
∴平面MDCN，
∵平面MDCN，∴，
過O作，垂足為H，連接PH，則就是二面角的平面角，

又，，∴，∴，
∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，
∴二面角的正弦值為．
42．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體ABCDPQ中，四邊形ABCD為菱形，，，，平面平面ABCD，平面ABCD，．
(1)證明：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，通過證明平面，或通過證明為正三角形來證得.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值．
【詳解】（1）解法一：
如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
∴，∴．
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
∴平面ABCD．∵平面ABCD，∴，
∴P，O，C，Q四點(diǎn)共面．
∵四邊形ABCD為菱形，，
∴為正三角形，∴．
∵，平面POCQ，平面POCQ，
∴平面，
∵平面POCQ，∴．

解法二：
如圖，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
∵，，∴，，
∴，．
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
∴平面ABCD．
∵平面ABCD，∴，
又，∴四邊形POCQ為平行四邊形，∴．
∵四邊形ABCD為菱形，，
∴為正三角形，∴，∴

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，．
設(shè)平面PBD的法向量為，則，
令，則，，∴．
設(shè)平面QBD的法向量為，則，
令，則，，∴．
∴，
由圖可知二面角為銳二面角，
∴二面角的余弦值為．

【點(diǎn)睛】有關(guān)二面角問題的求解方法
①幾何法：根據(jù)二面角平面角的定義尋找二面角的平面角，通過解三角形求平面角的三角函數(shù)值，解題步驟為“一找、二作、三證、四解”．
②向量法：對(duì)于二面角的大小問題，先求出平面，的法向量，，再求出與的夾角，在內(nèi)取一點(diǎn)A，在內(nèi)取一點(diǎn)B，設(shè)二面角的大小為，若與同號(hào)，則；若與異號(hào)，則．
③面積射影定理法：（其中平面多邊形及其射影的面積分別是S，，它們所在平面所成的銳二面角為）．
43．（2024高三上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，平面平面，且．

(1)求證：平面平面;
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面;
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得二面角的正弦值.
【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，
則為的中位線，則，，
又，，則，
則四邊形為平行四邊形，則，
平面平面，平面平面，
平面，，可得平面，
又平面，則，則，
又中，，則,
又平面，則平面，
又，則平面，
又平面，則平面平面.
（2）當(dāng)時(shí)，由，可得為等邊三角形，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)B作，垂足為B，
又由（1）可得平面，則兩兩垂直，
以B為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則,
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，則，則；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，則，則；
則，
設(shè)二面角的大小為，則，
又，則

則二面角的正弦值為．
44．（2024高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱柱的所有棱長均為1．
(1)從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立；
①；②為直角；③平面平面．
(2)設(shè)點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．在（1）中條件都成立的情況下，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角最大．
【答案】(1)證明見解析；
(2)是棱上靠近的四等分點(diǎn)．
【分析】（1）作出輔助線，若選①②，由三線合一得到，由勾股定理逆定理得到，從而得到線面垂直，證明出面面垂直；若選①③，由面面垂直得到線線垂直，由勾股定理逆定理得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，得到垂直關(guān)系；若選②③，三線合一得到，由面面垂直得到線線垂直，從而由勾股定理得到；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，故，求出平面的法向量，求出，得到直線與平面所成的角的最大值，得到點(diǎn)是棱上靠近的四等分點(diǎn)．
【詳解】（1）如圖，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
若選①②：由于是等邊三角形，故．
由為直角，故；又，故．
因?yàn)?，平面?br>于是平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以．
因?yàn)?，所以?br>又，因此，故，即．
又，，平面，
故平面，
而平面，
所以平面平面．
若選①③：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
由于是等邊三角形，故．
又平面平面平面，平面平面，
故平面．
而平面，故，即，
所以．
又，故，所以，即．
結(jié)合，，平面，
可得平面，
又平面，
因此．
又，故，即為直角．
若選②③：設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，
由于是等邊三角形，故．
由為直角，故；
又，故．
因?yàn)?，平面?br>于是平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>所以平面．
又平面，所以，即．
因?yàn)?，所以?br>又，故．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
于是．
點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，可設(shè)，即，
故．
于是．
又．
設(shè)是平面的法向量．
，令，可得，
故．
設(shè)直線與平面所成的角為，
故
，
可見當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)點(diǎn)是棱上靠近的四等分點(diǎn)．
45．（2024·浙江·一模）如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；
(2)求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）由面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由線面夾角的向量公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，
連接，則，
在中，，
所以，
因?yàn)?，，平面，且?br>從而平面，
又平面，
所以，
因?yàn)?，，平面，且?br>所以平面，
又平面，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>又是中點(diǎn)，，所以，
因?yàn)椋?，平面，且?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以．

（2）
由（1）知，平面，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則、、、，
則，，，
由得，，所以，
所以，，
設(shè)面的法向量為，由得，，取，則，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
46．（2024高三上·湖北·期中）如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，，，的中點(diǎn)分別為，，，且.

(1)證明：平面平面.
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）先有勾股定理可以確定，然后通過證明平面，從而可證平面平面；
（2）連接，，可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈冗吶切?，分別是的中點(diǎn)，且，
所以，則.
又因?yàn)?，所以，?
因?yàn)?，且，BC,BD包含在面PBC內(nèi)
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面.
（2）連接，，由已知可得，
又由（1）知平面平面，且平面平面，
所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，，
則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
47．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在如圖所示的多面體MNABCD中，四邊形ABCD是邊長為的正方形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為Q，平面ABCD，，，點(diǎn)P是棱DM 的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)求直線CN和平面AMN所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)平面ABCD可得，結(jié)合可得平面，進(jìn)而求證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面．
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，
所以，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，
又，平面，平面，
所以平面，而平面，
所以．
（2）由題意，，，互相垂直，
所以分別以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，．
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以由，得，
令，可得，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，
所以直線CN和平面AMN所成角的正弦值為.

48．（2024高三上·廣西·階段練習(xí)）如圖：四棱雉中，底面為矩形，為直角三角形，的面積是面積的倍．
(1)求證：平面平面；
(2)為上的一點(diǎn)，四棱錐的體積為四棱錐體積的一半，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，，可證得，,利用面積及勾股定理逆定理證得，得證線面垂直后可得面面垂直；
（2）由體積得是中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，
，
，，
又為直角三角形，則為直角，，
取中點(diǎn)，連接，，是矩形，∴,
又，
，
，
，
，
，平面，平面，
平面平面平面；
（2）由（1）可知，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)，
，
為中點(diǎn)，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
，
令，
，
設(shè)直線與平面所成夾角為，則，
直線與平面所成夾角的正弦值為．
49．（2024高三上·北京·期中）如圖1所示，在等腰梯形，，垂足為，將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點(diǎn)為棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，求證：平面
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）取點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得答案；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理得，利用勾股定理得，最后由線面垂直的判定定理可得答案；
（3）以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出、平面的一個(gè)法向量，由線面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）取點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，連接，
所以，，
在等腰梯形，，，
所以，可得，，
所以四邊形為平行四邊形，，
又因?yàn)槠矫?，平?br>所以平面；
（2）連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>平面，，可得平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以，，，可得，即，
且，平面，
所以平面；
（3）以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，
所以，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
可得，即，令，可得，，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
50．（2024高二上·廣東潮州·階段練習(xí)）如圖，在正方體中， E、F分別是，CD的中點(diǎn)，
(1)求證：平面ADE；
(2)求異面直線EF，CB1所成的角
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，再由線面垂直的判定定理證明即可.
（2）用向量表示出，，由求出直線EF，CB1方向向量的夾角，進(jìn)而可求異面直線的夾角.
【詳解】（1）以D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
不妨設(shè)正方體的棱長為1，
則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），
則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），
則，，
所以，.
所以，
因?yàn)?平面ADE, 平面ADE,
所以平面ADE.
（2）以D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
不妨設(shè)正方體的棱長為1，
則（1，1，1），C（0，1，0），
故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－, ，，
，
設(shè)異面直線EF，CB1所成的角為，所以
則異面直線EF，CB1所成的角為.
51．（2024·北京）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．
（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，
由于為正方體，為中點(diǎn)，故，
從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，
據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，
當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，
即點(diǎn)為中點(diǎn).
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，
則：，
從而：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
設(shè)平面的法向量為：，則：
，
令可得：，
從而：，
則：，
整理可得：，故（舍去）.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
52．（2024·上海楊浦·三模）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)是圓錐的頂點(diǎn)，是圓柱下底面的一條直徑，、是圓柱的兩條母線，是弧的中點(diǎn)．

(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成的角的大?。?br>（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】（1）由圓柱和圓錐的性質(zhì)可知底面圓，又是弧的中點(diǎn)，
所以兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
所以，，
所以，
所以異面直線與所成的角的大小為.
（2）由（1）可得，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取可得平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離.
【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的大小、點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
53．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）

(1)求點(diǎn)到面的距離；
(2)求四棱錐外接球的體積；
(3)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可證得平面平面，取中點(diǎn) ，連接，則有兩兩垂直，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解，
（2）連接，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，連接，求出其長度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，
（3）由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.
【詳解】（1）由，，，得，，
因?yàn)榇怪逼椒郑?br>所以，
所以為平面與平面的二面角的平面角，
所以，，所以為等邊三角形，
取中點(diǎn) ，連接，所以，
因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
因?yàn)?br>所以為二面角的平面角，
所以，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)的一個(gè)法向量為，則
，令，則
又，
所以點(diǎn)到面的距離；
（2）連接，由，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，
為正三角形，則外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，
過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，
如圖所示，連接，則即球的半徑.
在中，，
則，
在中，，
所以由勾股定理得，
則球的體積；

（3）設(shè)，由得，
所以，得，，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為（），
則
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)直線與平面所成角最大，
即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大.

54．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）在長方體中，是棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)若異面直線與所成角為，求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證得，從而利用面面垂直的判定定理即可得證；
（2）結(jié)合（1）中條件，利用異面直線所成角求得，從而求得與平面的法向量，由此利用空間向量法即可得解.
【詳解】（1）依題意，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．

依題意得，
則，
所以，則，
又，在平面內(nèi)，所以平面，
又平面，則平面平面．
（2）依題意得．
則，
解得（負(fù)值舍去），
故，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，故；
則，
所以與平面所成角的正弦值為．
55．（2024·北京）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以，同理，
所以為直角三角形，
又因?yàn)?，?br>所以，則為直角三角形，故，
又因?yàn)椋?br>所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，
所以二面角的大小為.
56．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在梯形中，，，，，與交于點(diǎn)，將沿翻折至，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.

(1)證明：；
(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）求得，進(jìn)而得到，證明平面PMC即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，解得，，即可求出其體積.
【詳解】（1），，
，
，
，
即，，
，，又，
平面PMC，平面PMC，
平面PMC，
∴；
（2）直角中，，
，
，
，，，
則
由（1）平面PMC，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
設(shè)，其中，
所以，，，
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，
則，
取，，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，
則，
取，則，
，
解得，或，.
則或
故或.
（一）
異面直線所成的角
用向量法求異面直線所成的角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系．
(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．
(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．
題型1：異面直線所成的角
1-1．（2024高二上·北京豐臺(tái)·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)異面直線與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值．
【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>所以，
，
，
所以；

（2），
設(shè)異面直線與所成角的大小為，
則，
故異面直線AM與BC所成角的余弦值為．
1-2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，點(diǎn)E為四邊形的中心，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，則異面直線BF與CE所成角的余弦值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：作出輔助線，找到異面直線BF與CE所成角，求出各邊長，利用余弦定理求出答案；
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求出異面直線的夾角；
法三：設(shè)，，，表達(dá)出，，求出兩向量數(shù)量積和模長，利用求出答案.
【詳解】法一：如圖所示，取的中點(diǎn)G，連接FG，EG，

因?yàn)辄c(diǎn)E為四邊形的中心，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以或其補(bǔ)角就是異面直線BF與CE所成的角．
設(shè)該三棱柱的底面邊長為2，正三棱柱的側(cè)面積是底面積的倍，
則，
所以．連接BG，
則，，．
在中，由余弦定理得，所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為，
法二：設(shè)，則由題得，所以．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，所在直線分別為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，故，
所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為．
法三：設(shè)，則由題得，所以．
設(shè)，，，則，，，的夾角為，
，，，
，
，
，
所以
，
所以異面直線BF與CE所成角的余弦值為.
故選：B．
1-3．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若，求異面直線與所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，先證明平面平面，進(jìn)而得證平面．
（2）由題，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，連接，
∵是正方形，，分別是棱，的中點(diǎn)，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵是的中點(diǎn)，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵，直線在平面內(nèi)，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．

（2）由題意可得，，，兩兩互相垂直，
如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，，，，，
，，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
題型2：已知線線角求其他量
2-1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：；
(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）由題可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABCD，進(jìn)而即得；
（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.
【詳解】（1）在中，，E為AD的中點(diǎn)，
，又平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面ABCD，又平面ABCD，
.
（2）如圖，連接EC，由條件知，，
所以四邊形BCDE為矩形，又平面ABCD，平面ABCD，
所以，又平面，
所以平面，平面，
所以，又BF與CD所成的角為，，
從而，在中，，
同理在中，，
，
為等邊三角形，即，
在中，，，得，
以E為原點(diǎn)，分別以EA，EB，EP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，
，.
設(shè)平面BEF的法向量為，
則，令，得，
易知平面ABE的一個(gè)法向量為，
則，
平面BEF和平面ABE夾角的余弦值為.
2-2．（2024高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)若點(diǎn)在線段上，，且異面直線與成30°角，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平面，即可證明；
（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，并分別求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：∵平面平面，且平面平面，，且平面，
∴平面，平面，∴，
∵，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）因?yàn)?，過點(diǎn)作垂直于平面，
以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
所以
設(shè)，，，
，，
因?yàn)楫惷嬷本€與所成30°角，
，
，
由題意知，平面的一個(gè)法向量為，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
所以，
所以，
平面和平面夾角的余弦值為.
2-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；
(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；
（2）設(shè)，則，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，?br>如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，
又因?yàn)?，則，所以，，
又因?yàn)槠矫?，所以，平?
（2）解：依題意，設(shè)，則，
所以，，，
由已知，得，
整理可得，解得或，
所以，線段的長為或.
（二）
利用空間向量求線面角的解題步驟
題型3：直線與平面所成的角
3-1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以?br>在平面中作，因?yàn)槠矫?，所以平面?br>如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
又平面的法向量可以為，
所以，所以平面平面.
（2）因?yàn)椋?br>設(shè)直線與平面所成角為，
則，即直線與平面所成角的正弦值為.
3-2．（2024高三上·江西贛州·期中）如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，.

(1)求；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）設(shè)，由題設(shè)可得、，進(jìn)而可得，結(jié)合求參數(shù)，即可得；
（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值即可.
【詳解】（1）設(shè)，又分別為的中點(diǎn)，則，
由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，
所以，且，
由，則，可得，
所以.
（2）作，構(gòu)建以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，
則，故，
若是面的一個(gè)法向量，則，
令，則，而，
所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

3-3．（2024·全國）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以；
（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，可取，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
3-4．（2024·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，過點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．
【詳解】（1）過點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）因?yàn)槠矫?，過點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為
由，得，取，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴．
題型4：已知線面角求其他量
4-1．（2024·重慶萬州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；
(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）先證明，根據(jù)線線平行判定定理平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明線線平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角的法向量公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）在圖1中，因?yàn)?，，?br>所以，，又，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，故，

在圖2中，因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?br>（2）由（1）知，，，
，平面，平面,
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，
在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，
因?yàn)椋矫鍭EB平面BCE，且，
所以點(diǎn)在平面的射影為中點(diǎn)，故，，
設(shè)，則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
不妨令，則，，
所以為平面的一個(gè)法向量．
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
整理得，解得或（舍），
所以為中點(diǎn)，所以.
4-2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn)，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；
(2)若點(diǎn)滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)答案見解析，
(2)或
【分析】（1）由線線平行即可找到直線，由等體積法即可求解體積，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解線面角，進(jìn)而可求解.
【詳解】（1）過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，（，分別為，的中點(diǎn)，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）
因?yàn)槭菆A的直徑，所以，，
所以，所以四邊形為矩形，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)槠矫妫瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
所以
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，
所以，，，
，
設(shè)平面的法向量為，則
即，不妨取，得
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
所以
所以，所以或
4-3．（2024·安徽黃山·三模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對(duì)角線和相交于點(diǎn)H，平面⊥平面，，，G是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．

(1)當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，由三角形中位線和邊長關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，即可證明平面；
（2）根據(jù)題意可知，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)利用空間向量即可表示出，進(jìn)而確定點(diǎn)位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角的正弦值為.
【詳解】（1）證明：
連接，如下圖（1）中所示：
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以是中點(diǎn)，
又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，且,
又且，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；

（2）以為原點(diǎn)，為軸，過且在平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（2）所示：
由平面⊥平面，，可知，
均為邊長為2的正三角形，
則有，
設(shè)，
則，
為平面的法向量，
所以，
解得（其中舍去）,所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，故可?。?br>設(shè)平面的法向量為，則有，
令，則，故可取
所以．
所以二面角的正弦值為．
即二面角的正弦值為.
（三）
利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法
(1)找法向量：分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大?。?br>(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，然后通過這兩個(gè)向量的夾角可得到平面與平面夾角的大?。?br>題型5：平面與平面的夾角
5-1．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；
（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，所以?br>因?yàn)闉檎叫?，所以?
因?yàn)椋矫?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以?
又因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)?，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?
同理可得，因?yàn)?，平面，所以平面?br>（2）
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為．
由（1）可知是平面的一個(gè)法向量，記為，
又平面的一個(gè)法向量為．
所以平面與平面夾角的余弦值等于．

5-2．（2024高三上·天津南開·期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，E是棱PB上一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面PBC；
(2)若E是PB的中點(diǎn)，
（i）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．
（ii）求平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）；（ii）．
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由兩平面的法向量垂直得證兩平面垂直；
（2）（i）由空間向量法求線面角；（ii）由空間向量法求面面角.
【詳解】（1）因?yàn)?，取AB中點(diǎn)M，連接CM，則，
又平面ABCD，平面ABCD，所以，
故以CM為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
所以．

因?yàn)椋?br>所以，
所以平面PBC，即為平面PBC的法向量．
設(shè)，
則．
設(shè)平面EAC的法向量為，，
則即
令，則．
因?yàn)?，所以平面平面PBC．
（2）因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以．
（i）設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，
則，
故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．
（i）顯然平面PDC的法向量為，
設(shè)平面PDC和平面EAC的夾角為，
則．
故平面PDC和平面EAC的夾角的余弦值為．
5-3．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是中點(diǎn)．底面為直角梯形，且．

(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意先證平面，進(jìn)而可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系，分別求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，底面，則，
由題意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨設(shè)，由題意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直線平面.
（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，

則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
設(shè)二面角為，則，
所以二面角的正弦值.
題型6：已知面面角求其他量
6-1．（2024·吉林長春·一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）由已知條件，先證明，再利用平面平面，可證平面，得到，又，可得平面，從而可證；
（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)位置，求出四棱錐的體積.
【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點(diǎn)，
，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，平面，
，又，平面，平面，
，
平面，平面，
.
（2）
如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
由題意可得兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，，
令，得，
，
又平面，是平面的一個(gè)法向量，，
令，解得或（舍）.
即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，
平面，且，
到平面的距離為，又四邊形的面積為3，
四棱錐的體積
6-2．（2024高三上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，平面四邊形是菱形，平面平面，，且，，．

(1)證明：
(2)若二面角是直二面角，求直線與直線所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（2）以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出平面和平面的一個(gè)法向量，由二面角是直二面角，求出，再由異面直線所成角求解即可.
【詳解】（1），，，
取的中點(diǎn)，連接，則，，
則，.
平面平面，面平面，，
面，平面，
平面，.
（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，可得，
由（1）得平面，平面，
分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
平面，，
，，
，．
設(shè)，，
由題設(shè)得，，，，
，，
設(shè)，，是平面的法向量，
則，取，得，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，1，
二面角是直二面角，
，解得，
，
直線與直線所成角的余弦值為

6-3．（2024·全國）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
【答案】(1)證明見解析；
(2)1
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；
（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
，
化簡(jiǎn)可得，，
解得或，
或，
.

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