專題30 數(shù)列求和5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1)).
2．分組求和法與并項(xiàng)求和法
(1)分組求和法
若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
3．錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．
4．裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項(xiàng)技巧
(1)eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
常用結(jié)論
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(n?n＋1??2n＋1?,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(n?n＋1?,2)))2.
一、單選題
1．（2024高二上·陜西西安·階段練習(xí)）數(shù)列9,99,999，…的前n項(xiàng)和為
A．（10n－1）＋nB．10n－1
C．（10n－1）D．（10n－1）－n
【答案】D
【詳解】試題分析：數(shù)列各項(xiàng)加1后得到的數(shù)列為10,100,1000，…，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為10的等比數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為，故選：D
2．（2024高二下·湖北·階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【分析】
根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，
∵函數(shù)，∴，
令，則，
∴，∴．
故選：B
3．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用裂項(xiàng)相消法求得，再由對(duì)任意的，不等式恒成立求解.
【詳解】解：由，
則，
，
，
因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，
所以，
解得或，
故選：A
4．（2024·浙江）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．
二、填空題
5．（2024高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，則的前n項(xiàng)和為．
【答案】
【分析】根據(jù)倒序相加法求得，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，又?br>所以
又因?yàn)椋?br>所以，即.
故答案為：.
6．（2024高二上·湖北黃岡·期末）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列是周期為的數(shù)列，結(jié)合周期性分析運(yùn)算.
【詳解】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項(xiàng)除以的余數(shù)，
可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，
一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列的前項(xiàng)的和.
故答案為：.
7．（2024高二上·上海黃浦·期中）數(shù)列的前n項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】先利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，然后可直接求出前n項(xiàng)和.
【詳解】觀察數(shù)列得到，
所以前n項(xiàng)和
.
故答案為：.
8．（2024高三下·全國(guó)·開學(xué)考試）現(xiàn)取長(zhǎng)度為2的線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則．
【答案】
【分析】先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
，
以此類推可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，
所以.
令，
則，
，
兩式相減得

所以.
所以.
故答案為：
9．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù)，則；數(shù)列滿足，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于 .
【答案】 /1007.5
【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【詳解】由，
得，所以，
設(shè)數(shù)列前項(xiàng)之和為，
則，
，
兩式相加得，所以，
即這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.
故答案為：；.
10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項(xiàng)和.
【詳解】設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，
又，
故
，
故，
故答案為：.
11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．
【答案】
【分析】先求出公比q，得到，直接用公式法求和.
【詳解】解：設(shè)的公比為，
由，的各項(xiàng)和為9，可得，
解得，
所以，
，
可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，
則數(shù)列的各項(xiàng)和為．
故答案為：．
12．（2024·全國(guó)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；
（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.
13．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則 .
【答案】46
【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，
從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，
，
相加得
所以，又，
所以對(duì)一切正整數(shù)，有；
故有.
故答案為：46.
14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．
【答案】/
【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗(yàn)證，故可采用倒序相加法求題設(shè)式子的值．
【詳解】∵①，
∴當(dāng)時(shí)，②，
①－②得，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)仍然成立，
∴．
∴當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故．
由于，
設(shè)
則，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是熟練掌握利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系求得，觀察猜測(cè)并發(fā)現(xiàn)為定值，從而利用倒序相加法即可求和．
15．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和．
【答案】
【分析】根據(jù)可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，繼而得的表達(dá)式，采用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【詳解】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
則，
兩式相減得：

故，
故答案為：
16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，則 .
【答案】4042
【分析】先判斷函數(shù)的對(duì)稱性，然后用倒序相加法求和..
【詳解】由，令可得，，
且，
則，
所以，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即
由已知，，
又
兩式相加可得，
所以，.
故答案為：4042.
17．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)和 .
【答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式利用分組求和得解.
【詳解】由題意，，
所以
故答案為：
18．（2024高二上·湖北黃岡·期末）已知的前項(xiàng)和為，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意令和，代入整理可得，利用并項(xiàng)求和結(jié)合等差數(shù)列求和運(yùn)算求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，
可得，，
兩式相加可得：，
故
，
解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題中出現(xiàn)，故應(yīng)討論的奇偶性，根據(jù)題意把相鄰的四項(xiàng)合并為一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，再進(jìn)行求和運(yùn)算，同時(shí)注意對(duì)的處理.
三、解答題
19．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】.
【詳解】分析：先求出的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)的形式選擇合理的求法方法.
詳解：因?yàn)椋?br>∴

.
點(diǎn)睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.
20．（2024高三上·河北·期末）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得當(dāng)時(shí)遞推式，和已知等式相減即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和，即得答案.
【詳解】（1）由題意得，①
當(dāng)時(shí)，，②
由①-②得，即，
又時(shí)，，滿足上式，
綜上，.
（2）由（1）可得，
故，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以
.
21．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系式，即可得出結(jié)論；
（2）錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，即，
又因?yàn)椋?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，，所以，
因?yàn)棰伲?br>所以②，
由①-②得：
，
所以．
22．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求和.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中所求寫出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，成等比?shù)列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
23．（2024高三上·海南·期末）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比數(shù)列的定義先證明再求解，
（2）由分組求和以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）由，得，
故，
所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
故．
（2），
所以
24．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
(1)求通項(xiàng)公式
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)列式求出和可得結(jié)果；
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，
又成等比數(shù)列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
25．（2024高三上·遼寧大連·期末）已知數(shù)列滿足：.設(shè).
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）結(jié)合題意構(gòu)造出，可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得的通項(xiàng)公式；
（2）由的通項(xiàng)公式得到，結(jié)合已知得到，即可得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由題意可知：，
，
故，
得，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
且，故；
（2）由（1）知，，即，
由題意知：，故，
故數(shù)列的前項(xiàng)和
.
26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求的前10項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)707
【分析】（1）分奇偶項(xiàng)討論結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可知當(dāng)時(shí)，
有，此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，
由題意可知，公差為2，則，
所以，（為奇數(shù)），
當(dāng)時(shí)，有，
即此時(shí)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，
由題意可知，公比為4，則，
所以，（為偶數(shù)），
綜上.
（2）由上可知
27．（2024·云南紅河·一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中公比，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，
（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等比求和公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比，所以，解得，
由，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，
則
．
28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前項(xiàng)積定義可得，再由等差數(shù)列定義即可得出證明，并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)的奇偶進(jìn)行分類討論即可得.
【詳解】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋?，解得以?br>當(dāng)時(shí)，，即，因此．
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
可得．
所以．
（2）由題意知
．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
．
所以（或）
29．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，得到，兩式相減即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，①，
②，
①－②得：，
∴，當(dāng)時(shí)，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
30．（2024高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其中為實(shí)數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，其前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)中心對(duì)稱性，整理方程，解得答案；
（2）根據(jù)倒序相加法，可得答案.
【詳解】（1）由題知，即，
整理得，解得；
（2）由題知，，且，
則，
又，
故，
即.
31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差數(shù)列，其公差不等于，其前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，且.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)記，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則和的通項(xiàng)公式可求；
（2）利用錯(cuò)位相減法求解出；
（3）先將的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)為，然后采用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
，
，即，
整理得，
，，
.
（2），
設(shè)，
則，
將以上兩式相減得：
，
.
（3），
.
32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用之間的關(guān)系，再結(jié)合累乘法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．
（2）表示出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．
【詳解】（1）結(jié)合題意：因?yàn)棰伲?br>當(dāng)時(shí)，②，
所以①-②得，即，
所以，
當(dāng)時(shí)，上式也成立.
故的通項(xiàng)公式．
（2）記，由（1）問(wèn)，
所以，
即，
所以，
所以③-④得，
即，整理得：．
33．（2024高三上·全國(guó)·期末）數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，可得答案.
（2）利用錯(cuò)位相乘法，可得答案.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，
解得，或，又，所以，
故，
（2）令，
則，
兩邊乘以得，，
錯(cuò)位相減整理得，，
所以.
34．（2024·吉林白山·一模）已知等比數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.
由已知，且，得，即（*）
易觀察，2是（*）方程的一個(gè)根，∴，
又恒成立，
∴，又，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
，
以上兩個(gè)式子相減得，，
∴.
35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．
(1)求證：；
(2)記的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，得到；由數(shù)列是等比數(shù)列得到解出或，再驗(yàn)證兩結(jié)果即可證明；
（2）表示出，用錯(cuò)位相減法求出，再結(jié)合簡(jiǎn)單放縮可求出范圍.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以．
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，，且．
消去，得．所以或．
若，則，且數(shù)列的公差，
所以，即，矛盾．
所以．
（2）由（1）得數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為．
所以，，所以．
兩邊同時(shí)乘以，得．
兩式相減，得．
所以．
由，，易得，所以，單調(diào)遞增，．
又，所以，即．
所以且，解得．
故的取值范圍是．
36．（2024高二上·湖南張家界·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．
(1)求與通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通過(guò)求首項(xiàng)、公差、公比來(lái)求得與通項(xiàng)公式.
（2）利用裂項(xiàng)求和法來(lái)求得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，解得，則；
，由于，則，
故解得，則.
（2），
所以.
37．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，繼而求出首項(xiàng)，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）求出的表達(dá)式，即可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得答案.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）得，，
，
故.
38．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．
(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）對(duì)已知條件因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義可證；
（2）利用累乘法求得，然后由裂項(xiàng)相消法可得.
【詳解】（1）由，
得對(duì)于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以數(shù)列是以1為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
則，
所以.
39．（2024高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，
(1)求
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先令求出首項(xiàng)，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時(shí)，代入并結(jié)合
等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出.
(2)由第一問(wèn)的公式，正好利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)抵消即可得出結(jié)果
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列
是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，
（2）由(1)可知，
，
40．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)求得.
（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
41．（2024高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出，判斷是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案；
（2）求出的表達(dá)式，可得的表達(dá)式，利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得答案.
【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），
則（），
當(dāng)時(shí)，，即，將代入，
解得，則，適合（），
所以，，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
42．（2024·四川攀枝花·二模）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式化簡(jiǎn)得到，從而求解.
（2）由（1）中結(jié)論得，然后利用分組并項(xiàng)求和，從而求解.
【詳解】（1）數(shù)列滿足,整理得：，
所以，即
又，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知，，，
所以
．
．
43．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，得數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求通項(xiàng)即可.
（2）利用數(shù)列分組法求和即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，
當(dāng)時(shí)，
，
所以，變形得，即，
數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，
所以，即
（2）由，所以，
所以
.
44．（2024高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，．
(1)若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出公差即可求出通項(xiàng)公式.
（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出的關(guān)系，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，再借助分組求和即得.
【詳解】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，，得，則，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．
（2）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且滿足，
則，
又，則化簡(jiǎn)得：，于是，
由，得，而，
因此數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
則，即，所以.
45．（2024高三上·廣東東莞·期末）數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合與之間的關(guān)系分析求解；
（2）由（1）可得，結(jié)合分組求和法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>若，則；
若，則；
且符合，
綜上所述：數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）由（1）可知：，
可得
，
所以.
46．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先構(gòu)造數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入條件，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)果可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式，并變形為，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)，采用累加法求和，最后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）由，則．又，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是遞增數(shù)列，所以．
綜上，
47．（2024高二下·福建廈門·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由退位相減法即可求得的通項(xiàng)公式；由即可求得的通項(xiàng)公式；
（2）先求出，當(dāng)時(shí)，由分組求和及等差、等比求和公式求得前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也符合，所以．
（2）由（1）知，，所以，當(dāng)即為偶數(shù)時(shí)，
，即；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以．
48．（2024高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，得出時(shí)，此兩式作差整理即可得到所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式得到所求；
（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，從而可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，
當(dāng)時(shí)，，①
，②
①-②得即，
∵，∴，∴，
∴是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則，∴；
（2）由上可知：，
所以，
，
∴，
∴.
49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出的值，即得公比，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，
所以,解得，所以公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
50．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,
由題意得:解得:，
所以的通項(xiàng)公式為，
即.
（2）令，則，
即
整理得：.
51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）倉(cāng)庫(kù)有一種堆垛方式，如圖所示，最高一層盒，第二層盒，第三層盒，第四層20盒，第五層30盒，，請(qǐng)你尋找至少兩個(gè)堆放的規(guī)律．
【答案】，
【分析】通過(guò)觀察堆垛方式，根據(jù)通項(xiàng)公式以及分組求和法求得正確答案.
【詳解】設(shè)．
按這個(gè)規(guī)律應(yīng)有
從正面看，方格個(gè)數(shù)為，側(cè)面方格個(gè)數(shù)為，都按自然數(shù)方式增長(zhǎng)．
層堆放總數(shù)：
．
52．（2024·廣東廣州·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列和為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，
（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從條到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
【答案】（1），；（2）11302．
【分析】（1）由，利用得出數(shù)列的遞推式，得數(shù)列是等差數(shù)列，求得后可得通項(xiàng)公式，再計(jì)算出；
（2）先看數(shù)列中前100項(xiàng)內(nèi)有多少項(xiàng)是中的項(xiàng)，從而可以確定中前100項(xiàng)的最后一項(xiàng)是中的第幾項(xiàng)，其中含有中的多少項(xiàng)，從而求得．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，
兩式相減得，，
因?yàn)?，所以?br>又，，所以，所以，
，；
（2），又，，因此，
所以．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查由求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法．在應(yīng)用公式求時(shí)要注意，即不包含，需另外計(jì)算，同樣如果求得的是遞推式，也要確認(rèn)遞推式是否是從開始的，否則需要要驗(yàn)證含有的項(xiàng)是否符合表達(dá)式．
53．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.
【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；
綜上所述：.
54．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）將代入可求出，從而進(jìn)出，故可求出；再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求出，代入可求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出，，進(jìn)而求出；
（2）由（1）求出，再由分組求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)的和.
【詳解】（1），解得：
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為
，，
，則：
又，得：
（2）
數(shù)列的前項(xiàng)的和：.
55．（2024高三下·湖南常德·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前n項(xiàng)的和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）對(duì)已知條件因式分解后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得出的通項(xiàng)公式，先證明為等差數(shù)列，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；
（2）求出的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法得出.
【詳解】（1）解：，
因?yàn)椋裕?br>又，所以是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，
，，
，
綜上，是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
．
（2）解：令，
①②，得，
，
．
56．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式得到關(guān)于基本量的方程組，解之即可求得；
法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式依次轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的方程組，解之即可求得；
（2）分類討論的通項(xiàng)公式，注意當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，從而利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）法一：
因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，
所以由，得，即，
兩式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，
所以由得，即，則，，解得或（舍去），
故，則，所以.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以
.
57．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；
(2)設(shè)，證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）先求出，然后將的換成，與原式相減可得，從而可得即可證明，求出通項(xiàng)公式，再分組可求和.
（2）先求出，可得出，裂項(xiàng)相消法求和，可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數(shù)列為等比數(shù)列
則，所以
則
（2）
所以
58．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）令解方程可得答案；
（2）利用可得答案；
（3）令，利用裂項(xiàng)相消可得答案.
【詳解】（1）令，，則舍去，
所以.
（2），
因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去，
，當(dāng)時(shí)，
，
（3）令
，
所以
59．（2024高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．
(1)和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；
(3)證明：．
【答案】(1)的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式建立方程組，求解即可；
（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案；
（3）由（1）得，證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，運(yùn)用不等式放縮法和裂項(xiàng)求和法可得證.
【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因?yàn)椋獾茫裕?br>由，可得①．由，得②，聯(lián)立①②，解得，由此可得．
所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．
（2）解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為
當(dāng)時(shí)，．
（3）解：由（1）得，所以：
當(dāng)時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
，
所以，得證．
60．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用前n項(xiàng)和公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）知，進(jìn)而求出，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，再利用并項(xiàng)求和法即可求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．則
，解得.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）知，，
所以.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
．
所以數(shù)列的前18項(xiàng)和為.
61．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并換元，利用累加法求通項(xiàng)作答.
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）由，得，
令，有，，
當(dāng)時(shí)，，
又滿足上式，于是，則，
當(dāng)時(shí)，，
又滿足上式，因此，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
62．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由得出，再計(jì)算，將代入，即可證明；
（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，代入，再裂項(xiàng)得，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，即
所以
（為常數(shù)），
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以為公比為的等比數(shù)列，
又，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：
．
63．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由兩邊取對(duì)數(shù)，可得，進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，從而求解；
（2）由，再由變形得，可得，求和可得，進(jìn)而得證.
【詳解】（1）由，且，則，
所以，而，
即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，
所以，所以.
（2），
由得，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
64．（2024·江西南昌·三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用化簡(jiǎn)式子得到，利用累加法即可求解；
（2）先由得，再求出，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，顯然，
所以，即，
所以
，
所以，又當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.
（2）由（1）知，則當(dāng)時(shí)，，
又也滿足，所以，
則，
則.
65．（2024·山東煙臺(tái)·三模）已知數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把題干條件等價(jià)變成，然后用累加法進(jìn)行求解；
（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.
【詳解】（1）由得，，
所以時(shí)，，
故，又，則，當(dāng)時(shí)，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因?yàn)椋?br>于是，
所以，．
故數(shù)列的前項(xiàng)和為．
66．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系及與的關(guān)系化簡(jiǎn)得出，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，再解不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以
所以，即.
又因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以
令，得，
所以集合中元素的個(gè)數(shù)為.
67．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項(xiàng)公式；
（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項(xiàng)求和即可得.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，?br>所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，
所以；
（2）
.
68．（2024高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)；
（2）先求出，再用裂項(xiàng)相消法求.
【詳解】（1）由已知①，
當(dāng)時(shí)，，即，解得，
當(dāng)時(shí)，②，
①②得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以
.
69．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求解；
（2）由（1）得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】（1）解：設(shè)公差為，
由題意得
解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
70．（2024·廣東汕頭·三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；
(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)；
（2）根據(jù)等差等比數(shù)列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50項(xiàng)中與各有多少項(xiàng)，分別求和即可．
【詳解】（1）由
得：
∵
是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列
∴
又當(dāng)時(shí)，得
當(dāng)，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；
（2）
（3）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．
由，（）得：，
∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；
∴．
71．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可得，進(jìn)而可得是，的等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)題意逐個(gè)項(xiàng)判斷、...之間的3個(gè)數(shù)，再分析組成項(xiàng)求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，取倒得，
所以，即，即，
因?yàn)?，所以是，的等比?shù)列，
所以.
（2）在之間有2個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，之間有個(gè)3，
合計(jì)個(gè)3，
所以.
72．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，利用，求出值即可得到的通項(xiàng)公式；再由題意得，結(jié)合可求出值，進(jìn)一步可得的通項(xiàng)公式；
（2）由，利用等比數(shù)列求和公式，結(jié)合分組求和即可求出．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
因?yàn)?，所以，解得，所以?br>由題意知：，因?yàn)?，所以?br>解得，所以；
（2）由（1）得，
.
73．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求其前項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意求出，則，兩式相減化簡(jiǎn)變形可得，從而得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；
（2）方法一：設(shè)，整理后與比較求出的值，則，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果；
方法二：利用錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
所以由題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
兩式作差得：，
化簡(jiǎn)得：即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）方法一：
設(shè)，
則有，比較系數(shù)得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
，
所以.
74．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若為前項(xiàng)的和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；
（2）由（1）得，進(jìn)而得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以.
兩式作差得，
整理得.
令，得，故對(duì)任意都成立.
所以的首項(xiàng)為1，故，所以是公比為2的等比數(shù)列.
所以的通項(xiàng)公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
75．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時(shí)，，
所以時(shí)，，
又時(shí)，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
綜上：
76．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組可求出，從而可求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，則可得，，，得，然后可列舉數(shù)列的前5項(xiàng)，從而可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
因?yàn)?br>則，解得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，則，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>所以．
（2）設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)與數(shù)列的第項(xiàng)相等，
則，，，
所以，，，
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則，
故的前5項(xiàng)之和．
77．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求和．
【答案】
【分析】先求的通項(xiàng)公式，再由分組求和法求解
【詳解】∵
，
∴．
78．（2024·天津津南·模擬預(yù)測(cè)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可；
（2）利用分組求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，
設(shè)，
則，
兩式相減得
，
所以；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，
設(shè)，
所以；
綜上所述：，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則
；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則
；
綜上所述：.
79．（2024·天津）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.
【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項(xiàng)公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬于中等題.
80．（2024·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(3)求證：.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，可得，，即可求得的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，利用，可判斷為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可；
（3）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.
方法一：由可得，利用錯(cuò)位相減法求得，進(jìn)而證明；
方法二：結(jié)合二項(xiàng)式定理可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，再利用錯(cuò)位相減法求解，即可證明；
方法三：用分析法證明，再結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和證明即可.
【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
，
化簡(jiǎn)得，
解得，，
∴，.
由已知，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，
即，
∴數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴，.
（2）由（1）可得，，
∴，
∴
（3）由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時(shí)，
，
根據(jù)“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當(dāng)，顯然成立，
∴，
∴
【點(diǎn)睛】證明數(shù)列不等式，放縮法是其中一種重要的方法，放縮的目的是為了轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列及相關(guān)數(shù)列，則可利用公式進(jìn)行求解，需注意放縮的范圍不能過(guò)大.
（一）
分組求和
(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．
(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．
題型1：分組求和
1-1．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；
（2）先確定數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，再利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
由得時(shí)，，
兩式相減得，
因?yàn)?，所以?br>所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，
所求和為.
1-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，已知，．
(1)求證：是等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明詳見解析
(2)
【分析】（1）通過(guò)湊配法證得是等比數(shù)列.
（2）利用分組求和法求得.
【詳解】（1）由，得，
即，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得.
所以
.
1-3．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1).
(2)
【分析】
（1）根據(jù)的關(guān)系即可得遞推關(guān)系，進(jìn)而可求解，
（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由且得
當(dāng)時(shí)，由得，所以.
所以，故，
又當(dāng)時(shí)，，適合上式.
所以.
（2）因?yàn)椋?，
所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)?2為公比的等比數(shù)列.
故數(shù)列的前2n項(xiàng)的和，

所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
1-4．（2024高三上·貴州貴陽(yáng)·期末）已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知條件可推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證得成立；
（2）由（1）可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）證明：因?yàn)棰?，②?br>①②可得，且，
所以，數(shù)列為常數(shù)列，且③，
①②可得，且，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
所以，④，
③④可得，則，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，
則
.
題型2：并項(xiàng)求和
2-1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數(shù)列為公差為2 的等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2），
，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.
2-2．（2024·河南·三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．
【答案】(1)；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再分奇偶求和作答.
【詳解】（1）設(shè)的公比為q，由，得，解得，
由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
（2）由（1）知，，，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，令，得；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，令，得，
所以或37.
2-3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求出和，可得通項(xiàng)公式；
（2）先求出，再利用并項(xiàng)求和法與等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，，
所以.
（2），
所以，
所以
.
2-4．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．
【答案】36
【分析】根據(jù)條件分奇偶項(xiàng)討論得，計(jì)算求和即可.
【詳解】由題意可得為奇數(shù)時(shí)，，
兩式相減得；
為偶數(shù)時(shí)，，兩式相加得，
故.
故答案為：36
（二）
錯(cuò)位相減法求和
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．
(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
題型3：錯(cuò)位相減法求和
3-1．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過(guò)題中關(guān)系，可得，進(jìn)而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.
【詳解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設(shè)，則，
兩式相減得，
從而
∴.
3-2．（2024·西藏日喀則·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）將、代入求，根據(jù)關(guān)系及遞推式可得，再次由關(guān)系及等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；
（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.
【詳解】（1）由題意①，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，②，
①－②得，
當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，所以時(shí)，
兩式相減得，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
3-3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）設(shè)數(shù)列 ?的前?項(xiàng)和為?，且?; 數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若 ?，求數(shù)列的前項(xiàng)和?.
【答案】(1)?
(2)
【分析】（1）利用前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系來(lái)解.
（2）使用錯(cuò)位相減法解數(shù)列前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.
當(dāng)時(shí)，兩式相減有
即.
因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
則.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為公差為，
則解得
所以.
則
①
②
所以①②得
即
解得
3-4．（2024高三下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且
(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；
(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，得出必為與無(wú)關(guān)的常數(shù)，即可求解；
（2）由，且，結(jié)合（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用“乘公比錯(cuò)位相減法”和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)符合題意，則必為與無(wú)關(guān)的常數(shù).
因?yàn)?
要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，
則，可得.
故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由，且，
由（1）知等差數(shù)列的公差，
所以，即，
所以
記：，
有，
兩式相減，得，
故.
（三）
裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律
(1)裂項(xiàng)原則
一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
(2)消項(xiàng)規(guī)律
消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
題型4：裂項(xiàng)相消法求和
4-1．（2024高二下·云南臨滄·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用推出，由等差中項(xiàng)法得為等差數(shù)列，根據(jù)與求出公差，可得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以為等差數(shù)列，
因?yàn)椋怨顬椋?br>所以.
（2），
∴
.
4-2．（2024·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減得：，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當(dāng)時(shí)，，故.
4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．
(1)求；
(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列可得計(jì)算可得.
（2）先根據(jù)（1）得出，再根據(jù)得出一側(cè)邊界，最后放縮后應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算證明即得
【詳解】（1）
而，是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
,
.
（2）,,,
，
，
.
4-4．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）時(shí)，，
時(shí)，
經(jīng)驗(yàn)證時(shí)滿足，
；
（2），
.
4-5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和與項(xiàng)的關(guān)系求得，進(jìn)而判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；
（2）由（1）求得，進(jìn)而，最后利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)閷?duì)也成立.
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
則公差，
故.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
故.
（四）
倒序相加法
將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．
題型5：倒序相加法
5-1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】
【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.
【詳解】由題設(shè)，，
所以，
即且n ≥ 2，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：.
5-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為 .
【答案】11
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【詳解】因，
設(shè)，則，故.
故答案為：11
5-3．（2024·廣西玉林·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．
【答案】44
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】由題意，可得，
設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，
則，解得，
則，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，
則
，
同理可得，，，，，
∴．
故答案為：

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