1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的 直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直.
(2)判定定理與性質定理
_____________________________
2.直線和平面的夾角(1)定義：平面的一條斜線與它在平面上的 所成的銳角，叫作這條直線與這個平面的夾角，一條直線垂直于平面，我們說它們的夾角是 ；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，就說它們的夾角是0°.(2)范圍：_______.
3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形稱為二面角.(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角.(3)二面角的范圍： .
4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是 ，就說這兩個平面互相垂直.
1.三垂線定理若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直.2.三垂線定理的逆定理若平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的投影垂直.3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.(　　)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(　　)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(　　)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(　　)
2.(多選)下列命題中不正確的是A.如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB.如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC.如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
若直線a垂直于平面α，則直線a垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項均不正確.
3.(2023·石嘴山模擬)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則下列說法錯誤的是A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱錐P－ABC的四個面都是直角三角形
因為PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則有BC⊥平面PAC，故B正確；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正確，故C錯誤.
4.過平面外一點P的斜線段是過這點的垂線段的 倍，則斜線與平面α的夾角是_____.
如圖，連接AB，由PB⊥α，知∠PAB是線段PA與平面α所成的角，
例1　(2024·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點C.(1)若點D是AC的中點，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；
題型一　直線與平面垂直的判定與性質
∵點B1在底面ABC內(nèi)的投影是點C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1?平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.
如圖，延長BC至點E，使BC＝CE，連接C1E，則B1C1綊CE，四邊形B1CEC1為平行四邊形，則C1E綊B1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE?平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，
證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質.(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.
跟蹤訓練1　如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；
如圖，連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因為CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因為A1C?平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.
(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.
如圖，連接B1A，AD1.因為B1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.
例2　(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
題型二　平面與平面垂直的判定與性質
(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因為∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因為A1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因為BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高.
如圖，過點A1作A1O⊥CC1于點O.因為平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因為A1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，
所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因為A1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，
所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.
(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性質的應用①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.
跟蹤訓練2　(2023·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥平面ABCD；
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA?平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.
(2)平面BEF∥平面PAD；
∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
例3　如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點P是AD1上的動點.(1)試判斷不論點P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結論；
題型三　垂直關系的綜合應用
是.∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴無論點P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.
(2)當P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P夾角的余弦值；
過點P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，如圖，則PE∥AA1，∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P的夾角.在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，
(3)求PB1與平面AA1D1D夾角的正切值的最大值.
由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D的夾角，
∴當A1P最小時，tan∠B1PA1最大，這時A1P⊥AD1，
已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內(nèi)的投影，設AC是α內(nèi)的任一過點A的直線，且BC⊥AC，C為垂足，又設AO與直線AB的夾角為θ1，AB與AC的夾角是θ2，AO與AC的夾角為θ，則cs θ＝cs θ1·cs θ2.
cs θ＝cs θ1·cs θ2的應用
典例　如圖，PA是平面α的斜線，∠BAC在平面α內(nèi)，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，則PA與平面α的夾角為________.
作P在α內(nèi)的正投影O，則O在∠BAC的平分線上，∠PAO為PA與平面α的夾角，所以cs∠PAC＝cs∠PAO·cs∠OAC，所以cs 60°＝cs∠PAO·cs 45°，
故∠PAO＝45°，所以PA與平面α的夾角為45°.
(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證.
跟蹤訓練3　(多選)如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體E－ABCD－F，且該八面體的各棱長均相等，則A.異面直線AE與BC的夾角為60°B.BD⊥CEC.平面ABF∥平面CDED.直線AE與平面BDE的夾角為60°
因為BC∥AD，所以∠EAD(或其補角)即為異面直線AE與BC的夾角，又AD＝DE＝AE，所以∠EAD＝60°，即異面直線AE與BC的夾角為60°，A正確；連接AC交BD于點O，則點O為正方形ABCD的中心，連接EF，根據(jù)正四棱錐的性質可知EF必過點O，且OE⊥平面ABCD，所以OE⊥BD，
又BD⊥AC，OE∩AC＝O，OE，AC?平面ACE，所以BD⊥平面ACE，又CE?平面ACE，所以BD⊥CE，B正確；由對稱性可知OE＝OF，OA＝OC，所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AF∥CE，又AF?平面CDE，CE?平面CDE，所以AF∥平面CDE，同理BF∥平面CDE，
又AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，C正確；由AE＝AF，OE＝OF，得AO⊥EF，在正方形ABCD中，AO⊥BD，又BD∩EF＝O，所以AO⊥平面BEDF，所以∠AEO即為直線AE與平面BDE的夾角，
設該八面體的棱長為2，
所以∠AEO＝45°，D錯誤.
一、單項選擇題1.若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為A.過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB.過點P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C.過點P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D.過點P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β
由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A是真命題；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B是假命題；根據(jù)面面垂直的性質定理知，選項C，D是真命題.
2.若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的投影O是△ABC的A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心
如圖所示，因為PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，則BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心.
3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC內(nèi)的投影H必在A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內(nèi)部
連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC內(nèi)的投影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上.
4.(2023·景德鎮(zhèn)模擬)已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是A.若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB.若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC.若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n
由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因為n∥β，則m⊥n，故B正確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故C錯誤；如圖，設α∩β＝l，在平面β內(nèi)作直線c⊥l，又因為α⊥β，則c⊥α，
又m⊥α，所以m∥c，因為n⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確.
5.劉徽注《九章算術·商功》“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”如圖1解釋了由一個長方體得到“塹堵”“陽馬”“鱉臑”的過程.
塹堵是底面為直角三角形的直棱柱；陽馬是一條側棱垂直于底面且底面為矩形的四棱錐；鱉臑是四個面都為直角三角形的四面體.
在如圖2所示由正方體ABCD－A1B1C1D1得到的塹堵ABC－A1B1C1中，當點P在下列三個位置：A1A中點，A1B中點，A1C中點時，分別形成的四面體P－ABC中，鱉臑的個數(shù)為A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
因為PA⊥平面ABC，則∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此時四面體P－ABC是鱉臑；
當點P為A1B的中點時，因為BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC為直角三角形.因為四邊形ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，則△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，則此時四面體P－ABC是鱉臑；當點P為A1C的中點時，
由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，則此時四面體P－ABC不是鱉臑.
6.在正三棱錐A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角為60°，則AC與平面BCD夾角的正切值為
取BC的中點為E，△BCD的中心為G，連接AE，DE，CG，AG，因為AB＝AC，BD＝CD，則AE⊥BC，DE⊥BC，可得二面角A－BC－D的平面角為∠AED，即∠AED＝60°，
因為三棱錐A－BCD為正三棱錐，則AG⊥平面BCD，且DE，CG?平面BCD，則AG⊥DE，AG⊥CG，
由AG⊥平面BCD，可知AC與平面BCD的夾角為∠ACG，
二、多項選擇題7.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，則下列結論正確的是A.CD⊥PDB.AB⊥PCC.平面PBD⊥平面PACD.E，F(xiàn)，C，D四點共面
如圖所示，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因為底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因為CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯誤；因為底面ABCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯誤；因為點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F(xiàn)，C，D四點共面，故D正確.
8.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝ ＝2，E為AB的中點，以DE為折痕把△ADE折起，使點A到達點P的位置，且PC＝ .則下列說法正確的有A.CD⊥平面EDP
對于A，∵E為AB的中點，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形EBCD為平行四邊形，又AB⊥BC，∴四邊形EBCD為矩形，∴CD⊥DE.
∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE?平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正確；
對于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE?平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE?平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，
對于C，∵CD⊥平面EDP，PD?平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角為∠PDE，
對于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD即為直線PC與平面EDP的夾角，
三、填空題9.在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有_____個.
在正方體中，側棱都和底面垂直，故在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共兩個.
10.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為 ，則它的側棱與底面夾角的正切值約為___________.
11.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足_______________________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)
DM⊥PC(或MB⊥PC)
連接AC，因為底面ABCD各邊都相等，所以AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因為PC?平面PAC，
所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，PC與平面MBD內(nèi)兩條相交直線垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
12.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在線段AB上存在點E，使得EC1⊥ED，則實數(shù)t的取值范圍是 ________.
因為C1C⊥平面ABCD，ED?平面ABCD，可得C1C⊥ED，由EC1⊥ED，EC1∩C1C＝C1，EC1，C1C?平面ECC1，可得ED⊥平面ECC1，所以ED⊥EC，在矩形ABCD中，設AE＝a,0≤a≤2，則BE＝2－a，由∠DEA＋∠CEB＝90°，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，當a＝1時，t2取得最大值1，即t的最大值為1；當a＝0或2時，t2取得最小值0，但由于t>0，所以t的取值范圍是(0,1].
四、解答題13.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為點P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求證：(1)CD⊥平面PBD；
因為AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°.又因為AD∥BC，所以∠DBC＝45°.又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.因為平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面PBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD.又BP?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.
(1)若M為PA的中點，求證：AC∥平面MDE；
連接PC，交DE于點N，連接MN，∵四邊形PDCE為矩形，∴N為PC的中點，在△PAC中，M，N分別為PA，PC的中點，∴MN∥AC，∵MN?平面MDE，AC?平面MDE，∴AC∥平面MDE.
(2)求直線PB與直線CD夾角的大?。?br/>∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD，∴∠PBA是直線PB與直線CD的夾角.∵四邊形PDCE為矩形，∴PD⊥CD，∵平面PDCE⊥平面ABCD，又PD?平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB，
∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，
又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∵PA?平面PAD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，∵AB＝1，
(3)設平面PAD∩平面EBC＝l，試判斷l(xiāng)與平面ABCD能否垂直？并證明你的結論.
l與平面ABCD垂直.證明如下：∵四邊形PDCE為矩形，∴EC∥PD，∵PD?平面PAD，EC?平面PAD，∴EC∥平面PAD，EC?平面EBC，∵平面PAD∩平面EBC＝l，∴EC∥l，則l∥PD，由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l(xiāng)⊥平面ABCD.
15.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則下列說法正確的是A.直線BD1⊥平面A1C1DB.三棱錐P－A1C1D的體積為定值
A項，如圖，連接B1D1，由正方體可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1?平面A1B1C1D1，則BB1⊥A1C1，因為B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BD1B1，所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1?平面BD1B1，所以A1C1⊥BD1.
同理，連接AD1，易證得A1D⊥BD1，因為A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1?平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正確；
B項， ＝ ，
因為點P在線段B1C上運動，
且C1到平面A1PD的距離即為C1到平面A1B1CD的距離，也為定值，
故三棱錐P－A1C1D的體積為定值，故B正確；
D項，因為直線BD1⊥平面A1C1D，所以若直線C1P與平面A1C1D夾角的正弦值最大，則直線C1P與直線BD1夾角的余弦值最大，即點P運動到B1C中點處，直線C1P與直線BD1的夾角為∠C1BD1，
設正方體棱長為1，在Rt△D1C1B中，
16.已知四邊形ABCD是正方形，將△DAC沿AC翻折到△D1AC的位置，點G為△D1AC的重心，點E在線段BC上，GE∥平面D1AB，GE⊥D1A.若CE＝λEB，則λ＝____，直線GB與平面D1AC夾角的正切值為____.
延長CG交AD1于點F，連接BF，則F為AD1的中點，如圖所示，因為GE∥平面D1AB，GE?平面CBF，平面CBF∩平面D1AB＝BF，
所以GE∥BF，因為點G為△D1AC的重心，所以CG＝2GF，所以CE＝2EB，λ＝2.取CA的中點O，連接OB，GB，GO，OD1，則OB⊥AC，設正方形ABCD的邊長為2，因為GE∥BF，GE⊥D1A，所以BF⊥D1A，又F為AD1的中點，所以AB＝D1B＝2，
因為D1O2＋OB2＝D1B2，所以OB⊥D1O，又AC∩D1O＝O，所以OB⊥平面D1AC，則GO為GB在平面D1AC上的投影，所以∠OGB或其補角為直線GB與平面D1AC的夾角，

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