第七章　§7.6　空間向量的概念與運(yùn)算-【北師大版】2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)（課件+講義+練習(xí)）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.
第一部分落實(shí)主干知識
第二部分探究核心題型
1.空間向量的有關(guān)概念
2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量基本定理：空間兩個向量a，b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得_______.(2)共面向量基本定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得p＝______.(3)空間向量基本定理如果a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在_____的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________.
3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積向量a，b的數(shù)量積a·b＝______________.
|a||b|cs〈a，b〉
(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
a1b1＋a2b2＋a3b3
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)設(shè)點(diǎn)A，B是直線l上不重合的任意兩點(diǎn)，稱為直線l的方向向量.(2)如果一條直線l與一個平面α垂直，那么就把直線l的 n叫作平面α的法向量.
(3)空間位置關(guān)系的向量表示
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面.(　　)(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反.(　　)
(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(　　)
3.(選擇性必修第一冊P30例3改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定
以C1B1，C1D1，C1C所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
所以MN∥平面BB1C1C.
4.設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝______.
∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
例1　(1)(2023·淮安模擬)設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一條直線上，那么x＋y等于A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
題型一　空間向量的線性運(yùn)算
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ，
用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝－2a，則x等于A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)C.(0,6，－6) D.(6,6，－6)
由b＝－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).
(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).
例2　(1)下列命題正確的是A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C.若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D.若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使得a＝xb＋yc
題型二　空間向量基本定理及其應(yīng)用
若b＝0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯誤；因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿拥牧浚韵蛄縜，b，c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯誤；假設(shè)a，b，c至少有一個為0，則空間向量a，b，c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；假設(shè)b＝0，若a，c共線，則存在無數(shù)個實(shí)數(shù)對(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a，c不共線，則不存在實(shí)數(shù)對(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D錯誤.
(2)(多選)下列說法中正確的是A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此時向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；
可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C正確；
所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件，所以D正確.
應(yīng)用共線(面)向量定理證明點(diǎn)共線(面)的方法比較
由A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.
由空間向量的共面向量基本定理可知，點(diǎn)E，A，C，D1四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面ACD1上，
由等體積法得＝，
例3　如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；
題型三　空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用
則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
(2)求異面直線AC1與A1D夾角的余弦值；
＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，
設(shè)異面直線AC1與A1D的夾角為θ，
(3)求證：AA1⊥BD.
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算.
∵P－ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，
例4　如圖所示，在長方體ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn).(1)求證：B1E⊥AD1；
題型四　向量法證明平行、垂直
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由.
存在滿足要求的點(diǎn)P.假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，
設(shè)平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z).
所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，
(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.
跟蹤訓(xùn)練4　如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，BC＝2AB，AC＝，PB⊥AC.(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；
所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB?平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC?平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，四邊形BEQF是過B，Q兩點(diǎn)的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中點(diǎn)為H，連接PH，則PH⊥AB，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，
連接EF，因?yàn)锳C∥平面BEQF，AC?平面PAC，平面PAC∩平面BEQF＝EF，所以AC∥EF.
設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面BEQF的法向量，
由平面BEQF⊥平面PAD知n1⊥n2，則n1·n2＝3λ＋3λ－4＝0，
一、單項選擇題1.已知直線l的一個方向向量為m＝(x,2，－5)，平面α的一個法向量為n＝(3，－1,2)，若l∥α，則x等于A.－6　　　B.6　　　C.－4　　　D.4
若l∥α，則m⊥n，從而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.
由長方體的性質(zhì)可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，
3.已知平面α內(nèi)有一個點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是
4.如圖在一個120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，則CD的長為
5.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；
如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，
設(shè)平面B1EF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個法向量為n2＝(1,1,0)，平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1,1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，
所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯誤；因?yàn)閙與n2不平行，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯誤；因?yàn)閙與n3不平行，所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯誤.
6.已知梯形CEPD如圖(1)所示，其中PD＝8，CE＝6，A為線段PD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖(2)所示的幾何體.已知當(dāng)點(diǎn)F滿足 (0

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