1.借助長(zhǎng)方體，在直觀(guān)認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
1.基本事實(shí)1：過(guò) 的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)2：如果一條直線(xiàn)上的 在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi).基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有 過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).基本事實(shí)4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn) .
2.“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條 直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條 直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面.
3.空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系
直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 直線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；
異面直線(xiàn)：不同在 一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).
4.空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系
5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .6.異面直線(xiàn)所成的角(1)定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，我們把直線(xiàn)a′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).(2)范圍： .
1.過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).2.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn).(　　)(2)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種.(　　)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.(　　)(4)兩兩相交的三條直線(xiàn)共面.(　　)
2.(必修第二冊(cè)P147例1改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，直線(xiàn)BD1與直線(xiàn)AA1所成角的余弦值是
連接BD(圖略)，由于A(yíng)A1∥DD1，所以∠DD1B即為直線(xiàn)BD1與直線(xiàn)AA1所成的角，
3.(多選)給出以下四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的是A.不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)B.若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E 共面C.若直線(xiàn)a，b共面，直線(xiàn)a，c共面，則直線(xiàn)b，c共面D.依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面
反證法：如果四個(gè)點(diǎn)中，有3個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)，第4個(gè)點(diǎn)不在這條直線(xiàn)上，根據(jù)基本事實(shí)2的推論可知，這四個(gè)點(diǎn)共面，這與已知矛盾，故A正確；
如圖1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B錯(cuò)誤；
如圖2，a，b共面，a，c共面，但b，c異面，故C錯(cuò)誤；如圖3，a，b，c，d四條線(xiàn)段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D錯(cuò)誤.
圖2　　　 　 　圖3
4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則：(1)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件__________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；
∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件___________________時(shí)，四邊形EFGH為正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1　已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
題型一　基本事實(shí)的應(yīng)用
如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△C1D1B1的中位線(xiàn)，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.
(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)；
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn).
所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).
(3)DE，BF，CC1三線(xiàn)交于一點(diǎn).
因?yàn)镋F∥BD且EF0，連接AB1，B1C，則異面直線(xiàn)AC與PD所成的角就是∠ACB1或其補(bǔ)角.
解得x＝1(舍去負(fù)值)，
如圖所示，EF∥E1F1，則∠AE1F1即為所求.
(2)平面α過(guò)正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為
如圖所示，過(guò)點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD－A1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體，易知平面α為平面AF1E，則m，n所成的角為∠EAF1.∵△AF1E為正三角形，
一、單項(xiàng)選擇題1.若直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則A.直線(xiàn)上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B.直線(xiàn)上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C.直線(xiàn)上所有點(diǎn)都在平面外D.直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)
根據(jù)題意，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，那么由于直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在平面外，則直線(xiàn)在平面外，只能是直線(xiàn)與平面相交，或者直線(xiàn)與平面平行，那么可知直線(xiàn)上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi).
2.已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
由m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒(méi)有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交.由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線(xiàn)n確定平面α，而B(niǎo)，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi).
3.已知平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且B?l，又AC∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則β∩γ是A.直線(xiàn)CM B.直線(xiàn)BMC.直線(xiàn)AB D.直線(xiàn)BC
已知過(guò)A，B，C三點(diǎn)確定的平面為γ，則AC?γ.又AC∩l＝M，則M∈γ，又平面α∩平面β＝l，則l?α，l?β，又因?yàn)锳C∩l＝M，所以M∈β，因?yàn)锽∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.
4.如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，M為A1C1的中點(diǎn)，則AM與BC1所成角的余弦值為
如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以異面直線(xiàn)AM與BC1所成角就是直線(xiàn)DC1與直線(xiàn)BC1所成的角，即∠BC1D，因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，
5.四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線(xiàn)ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A.逐步變大 B.逐步變小C.先變小后變大 D.先變大后變小
由題可知初始時(shí)刻ED與BF所成的角為0，如圖1，故B，C錯(cuò)誤；在四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，F(xiàn)C?平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF?平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，
故D在平面BCFE內(nèi)的投影P一直落在直線(xiàn)CF上，如圖2，所以一定存在某一時(shí)刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE?平面DPE，所以BF⊥平面DPE，
故直線(xiàn)ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中先變大后變小，故A錯(cuò)誤，D正確.
連接BD，DF，AC，CG，CE，如圖，設(shè)BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即為BF與EG所成的角，
因?yàn)椤螾FB＋∠BFC＝180°，故cs∠BFC＝cs(180°－∠PFB)＝－cs∠PFB，
因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，故V三棱錐P－EFG＝V三棱錐C－EFG＝V三棱錐F－ECG，
因?yàn)镻A2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC為等腰直角三角形，
二、多項(xiàng)選擇題7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線(xiàn)A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是A.C1，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)B.C1，M，O，C四點(diǎn)共面C.C1，O，B1，B四點(diǎn)共面D.D1，D，O，M四點(diǎn)共面
∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD?平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)M和點(diǎn)C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線(xiàn)上，即C1，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)，故A，B正確；
根據(jù)異面直線(xiàn)的判定定理可得BB1與C1O為異面直線(xiàn)，故C1，O，B1，B四點(diǎn)不共面，故C不正確；根據(jù)異面直線(xiàn)的判定定理可得DD1與MO為異面直線(xiàn)，故D1，D，O，M四點(diǎn)不共面，故D不正確.
將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，
連接MF，則AM∥BF，AM＝BF，所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以AB∥MF，又四邊形MCFD為正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；
長(zhǎng)方體的體積V1＝1×1×2＝2，
長(zhǎng)方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，
連接MN，交AD于點(diǎn)O，因?yàn)镸N∥BC，所以∠AOM(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)AD與BC所成的角，
三、填空題9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直線(xiàn)，P為空間中一點(diǎn).若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線(xiàn)l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為_(kāi)_______.
∵m?α，n?β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，即P∈l.
10.如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線(xiàn)的有_____對(duì).
畫(huà)出該正方體的直觀(guān)圖如圖所示，易知異面直線(xiàn)有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3對(duì).
在平面ABD中，過(guò)E作EG∥AB，交DB于點(diǎn)G，連接GF，如圖，
則GF∥CD，∴∠EGF(或其補(bǔ)角)即為AB與CD所成的角，
∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.
12.(2023·長(zhǎng)春模擬)如圖，在底面為正方形的棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱CC1，BB1，CF，AF的中點(diǎn)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)M，N，若線(xiàn)段MN與線(xiàn)段AE，BD1都不相交，則稱(chēng)點(diǎn)M與點(diǎn)N可視，下列與點(diǎn)D不可視的為_(kāi)________.(填序號(hào))
①B1；②F；③H；④G.
如圖所示，連接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱CC1，BB1的中點(diǎn)，所以EF∥BC，又底面ABCD為正方形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四邊形EFAD為梯形，所以DH與AE相交，DF與AE相交，故②③不可視；
因?yàn)锽1D1∥DB，所以四邊形B1D1DB是梯形，所以B1D與BD1相交，故①不可視；因?yàn)镋FAD為梯形，G為CF的中點(diǎn)，即G?EF，則D，E，G，A四點(diǎn)不共面，所以DG與AE不相交，若DG與BD1相交，則D，B，G，D1四點(diǎn)共面，顯然D，B，B1，D1四點(diǎn)共面，G?平面DBB1D1，所以D，B，G，D1四點(diǎn)不共面，即假設(shè)不成立，所以DG與BD1不相交，即點(diǎn)G與點(diǎn)D可視，故④可視.
四、解答題13.已知ABCD是空間四邊形，如圖所示(M，N，E，F(xiàn)分別是AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)).(1)若直線(xiàn)MN與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)O，證明：B，D，O三點(diǎn)共線(xiàn)；
因?yàn)镸∈AB，N∈AD，AB?平面ABD，AD?平面ABD，所以MN?平面ABD，因?yàn)镋∈CB，F(xiàn)∈CD，CB?平面CBD，CD?平面CBD，所以EF?平面CBD，由于直線(xiàn)MN與直線(xiàn)EF相交于點(diǎn)O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，則O∈BD，所以B，D，O三點(diǎn)共線(xiàn).
(2)若E，N為BC，AD的中點(diǎn)，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求異面直線(xiàn)AB與DC所成角的余弦值.
連接BD，作BD的中點(diǎn)G，并連接GN，GE，如圖所示，在△ABD中，點(diǎn)N，G分別是AD和BD的中點(diǎn)，且AB＝6，
在△CBD中，點(diǎn)E，G分別是BC和BD的中點(diǎn)，且DC＝4，
則異面直線(xiàn)AB與DC所成的角等于直線(xiàn)GE與GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的補(bǔ)角，
又NE＝2，由余弦定理得
14.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).(1)線(xiàn)段PA上是否存在一點(diǎn)G，使得點(diǎn)D，C，E，G共面？若存在，請(qǐng)證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
存在.當(dāng)G為PA的中點(diǎn)時(shí)滿(mǎn)足條件.如圖，連接GE，GD，則GE是△PAB的中位線(xiàn)，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四點(diǎn)共面.
(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積.
15.(多選)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線(xiàn)段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是A.DP∥平面AB1D1B.三棱錐C－AD1P的體積為定值C.平面PB1D⊥平面ACD1
對(duì)于A(yíng)，連接DB，C1D，AB1，D1B1，因?yàn)锽C1∥AD1，BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因?yàn)镈B∥D1B1，DB?平面AB1D1，D1B1?平面AB1D1，所以DB∥平面AB1D1，
又DB∩BC1＝B，DB，BC1?平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP?平面BDC1，所以DP∥平面AB1D1，故A正確；
對(duì)于B，由點(diǎn)P在線(xiàn)段BC1上運(yùn)動(dòng)知平面AD1P即平面AD1C1B，故點(diǎn)C到平面AD1P的距離不變，且△AD1P的面積不變，所以三棱錐C－AD1P的體積不變，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅蜠CC1D1為正方形，
則CD1⊥C1D，而AD⊥平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以CD1⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D?平面AB1C1D，
則CD1⊥平面AB1C1D，而DB1?平面AB1C1D，因此DB1⊥CD1，同理DB1⊥CA，又CD1∩CA＝C，CD1，CA?平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1，又DB1?平面PB1D，則平面PB1D⊥平面ACD1，故C正確；
對(duì)于D，由AD1∥BC1，異面直線(xiàn)DP與AD1所成角即為DP與BC1所成角，又△DBC1為等邊三角形，當(dāng)P與線(xiàn)段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，
設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，球O的半徑為R，
又因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1，A1P?平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，
設(shè)正方形A1B1C1D1的中心為O1，連接O1P，OO1，

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.4 空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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